Vorlesung “Logik” Wintersemester 2014/15 Universität Duisburg

Werbung
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Geschichte der Logik
Vorlesung “Logik”
Wintersemester 2014/15
Universität Duisburg-Essen
Beginn in Griechenland: Aristoteles (384–322 v.Chr.)
untersucht das Wesen der Argumentation und des logischen
Schließens
Verschiedene Werke, u.a.: Analytica priora, Analytica
posteriora
Barbara König
Übungsleitung: Dr. Sander Bruggink, Dennis Nolte
Barbara König
Logik
Seither: Weiterentwicklung der Logik, Formalisierung,
Verwendung in der Mathematik und Informatik
1
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
15
Logik
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Syllogismen (I)
Syllogismen (II)
Aristoteles entwickelte den Begriff des Syllogismus:
Alle Dackel sind Hunde
Alle Hunde sind Tiere
Dann sind alle Dackel Tiere
A syllogism is discourse in which, certain things being
stated, something other than what is stated follows of
necessity from their being so. I mean by the last phrase
that they produce the consequence, and by this, that no
further term is required from without in order to make
the consequence necessary.
Keine Blume ist ein Tier
Alle Hunde sind Tiere
Dann ist keine Blume ein Hund
Wenn alle Menschen sterblich sind und
Sokrates ein Mensch ist,
dann ist Sokrates sterblich.
Barbara König
Logik
Alle P sind M
Alle M sind S
Alle P sind S
Alle Delfine leben im Meer
Alle Delfine sind Säugetiere
Dann leben einige Säugetiere im Meer
16
Barbara König
Logik
(Barbara)
Kein P ist M
Alle S sind M
Kein P ist S
(Cesare)
Alle M sind P
Alle M sind S
Einige S sind P
(Darapti)
17
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Verschiedene Logiken
Aussagenlogik (I)
George Boole (1848)
Es gibt viele verschiedene Logiken:
Aussagenlogik
Prädikatenlogik höherer Stufe
Verknüpfung von Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein
können, mit einfachen Operatoren
(und; oder; nicht; wenn . . . , dann . . . )
Modale und temporale Logiken
Beispiel:
Prädikatenlogik (1. Stufe)
Intuitionistische Logik
Aussagen: “Es regnet”, “Die Straße ist nass”
...
Verknüpfungen:
Es regnet und die Straße ist nass.
Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.
Wenn die Straße nicht nass ist, dann regnet es nicht.
Wir beschäftigen uns in dieser Vorlesung nur mit Aussagenlogik
und Prädikatenlogik 1. Stufe.
Barbara König
Logik
18
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Logik
19
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Aussagenlogik (II)
Prädikatenlogik
Der Stoff im Bereich “Aussagenlogik” umfasst unter anderem:
Frege, Peano, Russell (Ende des 19. Jahrhunderts)
Syntax der Aussagenlogik:
Was sind Operatoren? Was ist eine Formel? Welche Formeln
sind syntaktisch korrekt?
Mit der Prädikatenlogik kann man zusätzlich
Beziehungen zwischen “Objekten” beschreiben
Semantik der Aussagenlogik:
Was ist die Bedeutung einer Formel? Welche Formeln sind
allgemeingültig, d.h. immer wahr? Welche Formeln sind
unerfüllbar, d.h. immer falsch?
existentielle Aussagen treffen: “es gibt ein x, so dass . . . ”
universelle Aussagen treffen: “für jedes x gilt, dass . . . ”
Beispiel: Für jede natürliche Zahl x gilt, dass es eine natürliche
Zahl y gibt, so dass x kleiner als y ist.
Verfahren und Methoden, die überprüfen, ob eine Formel
allgemeingültig oder unerfüllbar ist
Barbara König
Logik
20
Barbara König
Logik
21
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Anwendungen in der Informatik (I)
Anwendungen in der Informatik (II)
Theorembeweiser: Der Computer beweist mathematische
Sätze
automatischer Beweis von wichtigen Sätzen im Bereich der
Booleschen Algebren
Modellierung und Spezifikation: Eindeutige Beschreibung von
komplexen Systemen
Verifikation: Beweisen, dass ein Programm das gewünschte
Verhalten zeigt
Logische Programmiersprachen: Prolog
Schaltkreisentwurf: Schaltkreise lassen sich als logische
Formeln darstellen
Entwurf und Optimierung von Schaltungen
Außerdem: Logik ist ein Paradebeispiel für Syntax und formale
Semantik
Datenbanken: Formulierung von Anfragen an Datenbanken
Abfragesprache SQL (Structured query language)
Ein Zitat von Edsger W. Dijkstra:
Informatik = VLSAL (Very large scale application of logics)
Künstliche Intelligenz: Schlussfolgerungen automatisieren,
insbesondere in Expertensystemen
Barbara König
(In Anspielung auf VLSI = Very large scale integration, ein Begriff
aus dem Chipdesign)
22
Logik
Barbara König
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Logik
23
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Formale Syntax und Semantik
Probleme mit natürlicher Sprache (I)
Auch wenn die Beispiele bisher mit natürlicher Sprache beschrieben
wurden, werden wir in der Vorlesung meist auf natürliche Sprache
verzichten.
Problem: Zuordnung von Wahrheitswerten zu natürlichsprachigen
Aussagen ist problematisch.
Beispiele:
Natürliche Sprache
Es regnet und die Straße ist nass.
Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.
Für jede natürliche Zahl x gilt,
dass es eine natürliche Zahl y gibt,
so dass x kleiner als y ist.
Beispiele:
Formalisierung
R ∧N
R→N
∀x∃y (x < y )
Jede gerade Zahl größer als 4 ist die Summe zweier
Primzahlen. (Goldbach’sche Vermutung, unbewiesen)
Dieser Satz hat zwei Vehler.
Frage: Warum nicht natürliche Sprache?
Barbara König
Logik
24
Barbara König
Logik
25
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Probleme mit natürlicher Sprache (II)
Probleme mit natürlicher Sprache (III)
Problem: Natürliche Sprache ist oft schwer verständlich.
Beispiel: Auszug aus der “Analytica Priora” von Aristoteles
Die Aussage: If the middle term is related universally to one of the extremes, a particular negative syllogism must result whenever the middle term
is related universally to the major whether positively or negatively, and particularly to the minor and in a manner opposite to that of the universal
statement.
Der Beweis: For if M belongs to no N, but to some O, it is necessary that N
does not belong to some O. For since the negative statement is convertible,
N will belong to no M: but M was admitted to belong to some O: therefore
N will not belong to some O: for the result is reached by means of the first
figure. Again if M belongs to all N, but not to some O, it is necessary that
N does not belong to some O: for if N belongs to all O, and M is predicated
also of all N, M must belong to all O: but we assumed that M does not
belong to some O. And if M belongs to all N but not to all O, we shall
conclude that N does not belong to all O: the proof is the same as the
above. But if M is predicated of all O, but not of all N, there will be no
syllogism.
Barbara König
Logik
Problem: Natürliche Sprache ist mehrdeutig.
Beispiel:
Ich sah den Mann auf dem Berg mit dem Fernrohr.
26
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Barbara König
Logik
27
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Ich sah den Mann . . .
Ich sah den Mann . . .
(((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr)
Barbara König
Logik
((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr)
28
Barbara König
Logik
29
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Ich sah den Mann . . .
Ich sah den Mann . . .
((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr))
Barbara König
Logik
(Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr))
30
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Barbara König
31
Logik
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Ich sah den Mann . . .
Ich sah den Mann . . .
(((Ich sah den Mann) auf dem
Berg) mit dem Fernrohr)
((Ich sah (den Mann auf dem
Berg)) mit dem Fernrohr)
((Ich sah den Mann) (auf dem
Berg mit dem Fernrohr))
5 mögliche
Interpretationen!
(Ich sah ((den Mann auf dem
Berg) mit dem Fernrohr))
(Ich sah (den Mann (auf dem
Berg mit dem Fernrohr)))
(Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr)))
Barbara König
Logik
32
Barbara König
Logik
33
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Inhalt der Vorlesung
Logik-Tools
Aussagenlogik:
Aussagenlogik:
SAT-Solver: Überprüfen der Erfüllbarkeit von
aussagenlogischen Formeln
limboole (http://fmv.jku.at/limboole/)
Grundbegriffe, Normalformen und Äquivalenz
Resolution
Prädikatenlogik:
Prädikatenlogik:
Grundbegriffe, Normalformen und Äquivalenz
Herbrand-Theorie
Resolution
Grundlagen der Logikprogrammierung
Barbara König
Logik
Anschauliche Lehrsoftware für die Prädikatenlogik
Tarski’s World
Theorembeweiser für die Prädikatenlogik 1. Stufe
(basierend auf Resolution)
otter (http://www.cs.unm.edu/~mccune/otter/)
34
Barbara König
Logik
35
Herunterladen