Ergänzungsheft Erfolg im Mathe-Abi

Ergänzungsheft Erfolg im
Mathe-Abi
Hessen Prüfungsaufgaben Grundkurs 2012
Grafikfähiger Taschenrechner (GTR),
Computeralgebrasystem (CAS)
Dieses Heft enthält Übungsaufgaben für GTR und CAS sowie die GTR- und CAS-Abituraufgaben
der Jahre 2009 bis 2011. Es ergänzt das Buch «Erfolg im Mathe Abi 2012 Hessen, Prüfungsaufgaben Grundkurs»
Freiburger-Verlag.de
3
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Analysis
1
Ganzrationale Funktion – Kugelstoßen (GTR / CAS) ....................................................... 5
2
Exponentialfunktion – Sonnenblume (GTR / CAS) .......................................................... 6
3
Exponentialfunktion – Medikament (GTR / CAS) ............................................................ 7
4
Exponentialfunktion – Tannensetzling (GTR / CAS) ........................................................ 8
5
Exponentialfunktion – Fischteich (GTR / CAS) ................................................................ 9
6
Exponentialfunktion – Fischteich (CAS) ......................................................................... 10
7
Exponentialfunktion – Abkühlung (CAS) ........................................................................ 11
8
Exponentialfunktion – Pharmaunternehmen (CAS) ........................................................ 12
Tipps .......................................................................................................................................... 13
Lösungen ................................................................................................................................... 19
Aufgaben Abitur 2009 .............................................................................................................. 45
Aufgaben Abitur 2010 .............................................................................................................. 59
Aufgaben Abitur 2011 .............................................................................................................. 79
Stichwortverzeichnis ................................................................................................................ 93
1. Ganzrationale Funktion – Kugelstoßen (GTR CAS)
Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Kugelstoßen (GTR CAS)
Tipps ab Seite 13, Lösungen ab Seite 19
a) Für jedes t > 0 ist eine Funktion ft gegeben durch
1
ft (x) = tx3 − 3tx2 + 9tx ; x ∈ IR.
4
Ihr Graph sei Kt .
Untersuchen Sie Kt auf gemeinsame Punkte mit der x-Achse, Extrem- und Wendepunkte.
Zeichnen Sie K1 und K 1 für 0 6 x 6 8.
2
Jede Kurve Kt schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Berechnen Sie ihren Inhalt in
Abhängigkeit von t.
b) Die Gerade x = u (0 < u < 6) schneidet die x-Achse im Punkt Q und die Kurve K 1 im
Punkt P.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass das Dreieck OQP maximalen Flächeninhalt hat.
c) Beim Kugelstoßen wird eine Kugel im Punkt A aus einer Höhe von 2,0 m unter einem
Winkel von α = 42◦ bezüglich der Horizontalen abgestoßen und landet im Punkt B auf dem
Boden. Als Weite werden 18, 6 m gemessen. Die Flugbahn der Kugel kann näherungsweise
durch eine Parabel beschrieben werden.
Bestimmen Sie die Gleichung der Flugbahn, berechnen Sie dabei die Parameter auf drei
Stellen hinter dem Komma.
Unter welchem Winkel β trifft die Kugel auf dem Boden auf ?
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Tipps
2. Exponentialfunktion – Sonnenblume (GTR CAS)
Tipps
Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Kugelstoßen (GTR CAS)
a) Schnittpunkte mit der x-Achse erhalten Sie durch ft (x) = 0.
Extrempunkte erhalten Sie mit Hilfe der 1. Ableitung, die Null sein muss. Mit Hilfe der 2.
Ableitung können Sie Hoch- und Tiefpunkte unterscheiden. Beachten Sie, welche Werte t
annehmen kann.
Wendepunkte erhalten Sie mit Hilfe der 2. Ableitung, die Null sein muss. Überprüfen Sie
die Existenz mit Hilfe der 3. Ableitung.
Zur Flächenberechnung verwenden Sie die Nullstellen als Integrationsgrenzen und bestimmen eine Stammfunktion von ft (x).
b) Skizzieren Sie die Problemstellung.
Bestimmen Sie die Koordinaten von Q und P in Abhängigkeit von u.
Überlegen Sie, wie lang die Grundseite und die Höhe des Dreiecks in Abhängigkeit von u
sind und stellen Sie eine Flächeninhaltsfunktion A = 12 · g · h für das Dreieck auf.
Bestimmen Sie das Maximum der Flächeninhaltsfunktion durch zweimaliges Ableiten oder
mit Hilfe des GTR.
c) Bestimmen Sie die Koordinaten von A und B.
Für die Steigung im Punkt A verwenden Sie die Formel m = tan α .
Verwenden Sie als Ansatz eine allgemeine Parabelgleichung, leiten Sie diese ab und bestimmen Sie mit Hilfe der Punkte A und B sowie der Steigung m in A die drei Paramer der
Parabelgleichung.
Berechnen Sie die Steigung im Punkt B und den Auftreffwinkel mit der Formel m = tan β .
2 Exponentialfunktion – Sonnenblume (GTR CAS)
a) Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhalten Sie durch Einsetzen von x = 0 in f t (x), den
Schnittpunkt mit der x-Achse durch Lösen der Gleichung ft (x) = 0.
Extrempunkte berechnen Sie mit Hilfe der 1. Ableitung, Wendepunkte mit Hilfe der 2.
Ableitung. Die Asymptote erhalten Sie durch x → ±∞.
b) Die Gleichung der Wendetangente bestimmen Sie mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form:
y − y1 = m · (x − x1 ). Verwenden Sie als Punkt (x1 | y1 ) den Wendepunkt, die Steigung m
erhalten Sie durch Einsetzen des x-Werts des Wendepunkts in die 1. Ableitung.
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Lösungen
1. Ganzrationale Funktion – Kugelstoßen (GTR CAS)
Lösungen
Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Kugelstoßen (GTR CAS)
a) Es ist ft (x) = 14 tx3 − 3tx2 + 9tx ; t > 0
Für die Ableitungen gilt:
3
ft 0 (x) = tx2 − 6tx + 9t
4
3
ft 00 (x) = tx − 6t
2
3
ft 000 (x) = t
2
Gemeinsame Punkte mit der x-Achse erhält man durch ft (x) = 0:
1 3
1 2
2
tx − 3tx + 9tx = 0 ⇒ x
tx − 3tx + 9t = 0
4
4
Daraus folgt, dass entweder x1 = 0 oder 14 tx2 − 3tx + 9t = 0 ist. Lösen der quadratischen
Gleichung mit Hilfe der pq- oder abc-Formel ergibt x2 = 6.
Somit sind N1 (0 | 0) und N2 (6 | 0) gemeinsame Punkte von Kt mit der x-Achse.
Extrempunkte erhält man durch ft 0 (x) = 0.
3 2
4 tx − 6tx + 9t = 0. Lösen mit der pq- oder abc-Formel ergibt: x 1 = 2 und x2 = 6.
Die zugehörigen y-Werte sind y1 = ft (2) = 8t und y2 = ft (6) = 0.
Zur Untersuchung auf Hoch- oder Tiefpunkte setzt man die x-Werte in f t 00 (x) ein.
ft 00 (2) = −3t < 0 ⇒ H (2 | 8t)
ft 00 (6) = 3t > 0 ⇒ T (6 | 0)
Wendepunkte erhält man durch ft 00 (x) = 0.
3
tx − 6t = 0 ⇒ x = 4
2
Der zugehörige y-Wert ist y = ft (4) = 4t.
Wegen ft 000 (4) = 23 t > 0 folgt: W (4 | 4t) ist Wendepunkt von ft (x).
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1. Ganzrationale Funktion – Kugelstoßen (GTR CAS)
Lösungen
Den Flächeninhalt der von der Kurve und der x-Achse eingeschlossenen Fläche erhält man
mit Hilfe des Integrals. Die Integrationsgrenzen sind die Nullstellen:
A(t) =
Z 6
0
ft (x) dx =
Z 6
1
0
3
2
tx − 3tx + 9tx dx
4
6
9
1 4
tx − tx3 + tx2
16
2
0
1
9 2
9
1
4
3
= t ·6 −t ·6 + t ·6 −
t · 04 − t · 0 3 + t · 02
16
2
16
2
=
= 27t
Der Flächeninhalt beträgt damit 27t FE.
b) Es ist f1 (x) = 14 x3 − 3x2 + 9x mit t > 0
Für den Flächeninhalt des Dreiecks OQP gilt: A = 12 · g · h. Für die Grundseite g gilt:
g = OQ = u, für die Höhe h gilt: h = QP = f 1 (u) = 41 u3 − 3u2 + 9u.
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1. Ganzrationale Funktion – Kugelstoßen (GTR CAS)
Lösungen
Damit gilt für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von u:
A(u) =
1
3
9
1 3
1
·u·
u − 3u2 + 9u = u4 − u3 + u2
2
4
8
2
2
Mit Hilfe des GTR bestimmt man das Maximum: u = 3.
Der y-Wert des Punktes P ist
y = f1 (3) =
1 3
· 3 − 3 · 32 + 9 · 3 = 6, 75
4
Damit hat der Punkt P die Koordinaten P (3 | 6, 75).
c)
Die Flugbahn der Kugel ist näherungsweise eine Parabel, daher kann man als Ansatz
g(x) = ax2 + bx + c wählen mit a, b, c ∈ IR, a 6= 0.
Im Punkt A (0 | 2) ist der Abstoßwinkel α = 42◦ , d.h. die Steigung der Tangente im Punkt
A ist m = tan 42◦ ≈ 0, 900 = g 0 (0).
Da g 0 (x) = 2ax + b, gilt:
g 0 (0) = 2a · 0 + b = 0, 900 ⇒ b = 0, 900.
Setzt man A (0 | 2) in g(x) ein, so erhält man: a · 02 + b · 0 + c = 2 ⇒ c = 2.
Setzt man B (18, 6 | 0) in die Funktion g(x) ein, so erhält man: a · 18, 6 2 + b · 18, 6 + c = 0
bzw.
345, 96a + 0, 9 · 18, 6 + 2 = 0 ⇒ a ≈ −0, 054.
Somit hat die Parabel die Gleichung:
g(x) = −0, 054x2 + 0, 9x + 2
Um den Auftreffwinkel β zu bestimmen, berechnet man die Tangentensteigung in B (18, 6 | 0)
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1. Ganzrationale Funktion – Kugelstoßen (GTR CAS)
Lösungen
mit Hilfe von g 0 (x) = −0, 108x + 0, 9:
g 0 (18, 6) = −0, 108 · 18, 6 + 0, 9 ≈ −1, 109
Aus tan β = −1, 109 folgt β ≈ −47, 96◦.
Die Kugel trifft also unter einem Winkel von 47, 96◦ auf dem Boden auf.
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