und Drallsatz - Ing. Johannes Wandinger

1. Impuls- und Drallsatz
●
Impulssatz
–
●
Bewegung des Schwerpunkts des Körpers aufgrund vorgegebener Kräfte
Prof. Dr. Wandinger
Drallsatz
–
Drehung des Körpers
aufgrund vorgegebener
Momente
3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-1
1. Impuls- und Drallsatz
1.1 Bezeichnungen
1.2 Impulssatz
1.3 Drallsatz
Prof. Dr. Wandinger
3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-2
1.1 Bezeichnungen
ω
Körper K
rBP
rP
rB
O
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P
B
rSP
rBS
rS
3. Kinetik des starren Körpers
S
K
Dynamik 2 3.1-3
1.1 Bezeichnungen
●
●
Punkt O ist der Ursprung des ortsfesten Bezugssystems.
Punkt B ist ein körperfester Punkt, der als Ursprung eines
körperfesten Bezugssystems dient.
●
Punkt S ist der Schwerpunkt des Körpers.
●
Punkt P ist ein allgemeiner Punkt des Körpers.
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-4
1.1 Bezeichnungen
●
●
●
●
Vektor rBP ist der Ortsvektor des Punktes P im körperfesten Bezugssystem.
Vektor rBS ist der Ortsvektor des Schwerpunktes S im körperfesten Bezugssystem.
Vektor rSP ist der Vektor vom Schwerpunkt S zum Punkt
P.
Da der Körper starr ist, ändern sich die Vektoren rBP, rBS
und rSP für einen körperfesten Beobachter nicht.
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-5
1.1 Bezeichnungen
●
Geschwindigkeit des Punktes P:
–
–
Für einen körperfesten Beobachter ist Punkt P in Ruhe:
B
v P =0
Für einen Beobachter im ortsfesten Bezugssystem hat
Punkt P die Geschwindigkeit
v P =v B ×r BP
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-6
1.1 Bezeichnungen
●
Schwerpunkt S :
–
Im ortsfesten Bezugssystem gilt laut Definition
m r S =∫ r P dm
K
–
Daraus folgt für den Vektor r SP =r P −r S :
∫ r SP dm=∫ r P dm−∫ r S dm=m r S −r S m=0
K
–
K
K
Aus r BS =r BP −r SP
folgt weiter:
m r BS =∫ r BP dm
K
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-7
1.2 Impulssatz
●
dF
P
rP
O
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dm
dFi
Kräfte am freigeschnittenen Massenelement dm :
–
äußere Kräfte dF
–
innere Kräfte dFi
–
Die inneren Kräfte sind
die Kräfte, die die benachbarten Massenelemente auf das betrachtete Massenelement
ausüben.
3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-8
1.2 Impulssatz
●
●
Der Impulssatz für das
Massenelement lautet:
r̈ P dm=d F d F i
Integration über den Körper ergibt
∫ r̈ P dm=∫ d F ∫ d F i
K
●
K
K
Wegen Actio = Reactio
verschwindet das Integral
der inneren Kräfte:
∫ d F i =0
●
Das Integral über die
äußeren Kräfte ergibt die
resultierende Kraft:
∫ d F=F
K
●
Aus der Definition des
Schwerpunkts folgt:
m r S =∫ r P dm
K
 m r̈ S =∫ r̈ P dm
K
K
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-9
1.2 Impulssatz
●
Damit lautet der Impulssatz für den Körper:
m r̈ S = F
●
Der Schwerpunkt eines starren Körpers bewegt sich so,
als ob alle Kräfte an ihm angriffen und die gesamte Masse
in ihm vereinigt wäre.
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-10
1.3 Drallsatz
●
Aus dem Impulssatz für das Massenelement,
r̈ P dm=d F d F i
r BP × v̇ P dm=r BP ×d Fr BP ×d F i
folgt mit v P = ṙ P :
●
Integration über den Körper ergibt:
∫ r BP × v̇ P dm=∫ r BP ×d F ∫ r BP ×d F i
K
●
K
K
Die Beiträge der inneren Kräfte heben sich wegen Actio =
Reactio auf:
∫ r BP ×d F i =0
K
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-11
1.3 Drallsatz
●
Die Beiträge der äußeren Kräfte summieren sich zu dem
resultierenden Moment der äußeren Kräfte um den Punkt
B:
∫ r BP ×d F = M B
K
●
Damit bleibt:
∫ r BP × v̇ P dm= M B
K
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-12
1.3 Drallsatz
●
Das Integral lässt sich weiter umformen:
–
Zunächst gilt:
–
Wegen
B
v P =0
r BP × v̇ P =
d
r BP ×v P − ṙ BP ×v P

dt
gilt außerdem:
ṙ BP =×r BP und v P =v B ×r BP
–
Damit folgt:
ṙ BP ×v P = ×r BP  × v B ×r BP = ×r BP  ×v B
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-13
1.3 Drallsatz
–
Für das Integral gilt also:
d
r
×
v̇
dm=
∫ BP P ∫ dt  r BP ×v P  dm− ×∫ r BP dm ×v B
K
K
K
d
= ∫  r BP ×v P  dm− ×m r BS  ×v B
dt K

●

Definition: Die Größe
L B =∫  r BP ×v P  dm
K
wird als Drall oder Drehimpuls bezüglich des Punktes B
bezeichnet.
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-14
1.3 Drallsatz
●
Damit lautet der Drallsatz in allgemeiner Form:
L̇ B −m  ×r BS  ×v B = M B
●
Der Drallsatz wird auch als Drehimpulssatz oder
Momentensatz bezeichnet.
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-15
1.3 Drallsatz
●
●
Speziell: Schwerpunkt als Bezugspunkt
–
Wird der Bezugspunkt B in den Schwerpunkt S gelegt, so
gilt rBS = 0.
–
Damit vereinfacht sich der Drallsatz zu
–
Die Änderung des Dralls bezüglich des Schwerpunkts ist
gleich dem Moment der äußeren Kräfte.
L̇ S =M S
Speziell: Bezugspunkt B ist ortsfest
–
Für einen ortsfesten Bezugspunkt B gilt vB = 0.
–
Der Drallsatz vereinfacht sich ebenfalls zu L̇ B =M B .
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-16
1.3 Drallsatz
●
Beispiel: Drall der
rollenden Scheibe
ω
vS
S
–
Die Scheibe rollt mit der
konstanten Schwerpunktsgeschwindigkeit vS
und der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω.
–
Gesucht ist der Drall bezüglich des Schwerpunkts.
A
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-17
1.3 Drallsatz
–
Geometrie:
●
Radius R
●
Dicke d
η
●
S
ξ
d
R
S
●
Die Mittelebene der Scheibe
liegt in der ξη-Ebene des körperfesten Koordinatensystems.
Der Ursprung des körperfesten
Koordinatensystems ist der
Schwerpunkt.
ξ
ζ
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-18
1.3 Drallsatz
–
Vektoren:
●
Allgemeiner Ortsvektor:
η
r SP = b  b  b 
●
Ortsvektor von Punkt A:
ω
r SA =−R b 
●
S
Winkelgeschwindigkeit:
=− b 
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ξ
rSP
rSA
P
A
3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-19
3.1 Drallsatz
–
Kinematik:
v P =v S ×r SP
–
η
Rollbedingung:
ω
v A =v S ×r SA =0

v S =−×r SA
=− R b ×b= R b
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3. Kinetik des starren Körpers
P
rSP
S
rSA
vS
ξ
vP
A
Dynamik 2 3.1-20
1.3 Drallsatz
–
Drall bezüglich Schwerpunkt:
●
Geschwindigkeit:
LS =∫  r SP ×v P  dm
K
v P =v S ×r SP = R b  − b  ×  b  b   b  
= R b − b   b = [  R  b − b  ]
●
Integrand:
r SP ×v P =  b  b   b   × [  R  b − b  ]
2
= [ − b −  R  b   R  b   b  ]
2
2
= [   b   R  b  −R  b −    b  ]
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3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-21
1.3 Drallsatz
●
dm= dV = d  dA
Integration:
d /2

∫   dm=∫ ∫
K
A

−d /2
2 =d /2

=∫ 
2
A
A

[
A
2

 d  dA
∫
−d /2
]

 R   d  dA
−d / 2
d /2
=∫  R 
A
−d /2
2
d /2
∫   R  dm=∫ ∫
[
∫
d d
dA=∫ 
−
dA=0
8 8
 =−d /2
A
[ ]
K

  d  dA=∫ 
d /2
]
 d  dA=0
∫ R  dm=R∫  dm=R S m=0
K
Prof. Dr. Wandinger
K
3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-22
1.3 Drallsatz
●
Das einzige Integral, das nicht verschwindet ist
[
d /2
2
2
2
2



d


dm=


∫
∫ ∫
K
A
−d /2
]
d /2
[
dA=∫  2 2 
A
∫
]
d  dA
−d /2
=d ∫  22  dA
A
●
In Polarkoordinaten gilt:
=r cos 
=r sin 
2 2=r 2
dA=r d  dr
Prof. Dr. Wandinger
3. Kinetik des starren Körpers
rdφ
dr
dφ
r
Dynamik 2 3.1-23
1.3 Drallsatz
●
Damit folgt:
2
2
2
R
 
∫     dA=∫ ∫ r
A
0
0
3
2
dr d =∫
0
4 r= R
r
4
[ ]
r =0
2
d =∫
0
R4
d
4
1
1
=  R4= R2 A
2
2
●
Ergebnis:
1 2
1
2
L S =−  d⋅ R A b=−  R m b 
2
2
Prof. Dr. Wandinger
3. Kinetik des starren Körpers
Dynamik 2 3.1-24