DREIECKSZAHLEN

DREIECKSZAHLEN
Hier siehst du Figuren, die aus Kreisen bestehen. Schon ab der zweiten Figur ergibt sich ein Dreieck. Die Anzahl der
Kreise, die ein Dreieck bilden, nennt man Dreieckszahlen. Man tut so, als ob auch der einzelne Kreis der ersten Figur
ein Dreieck bildet. Die erste Dreieckszahl ist also 1 (
).
Schreibe die jeweilige Dreieckszahl unter die Zeichnung.
Wie heißen die nächsten vier Dreieckszahlen?
Vielleicht ist es dir zu mühselig, so viele Kreise zu zeichnen, nur um sie dann abzählen zu können. Wie könnte man
die Zahlen noch herausfinden?
Gib eine Formel an, mit der man von der 8. zur 9. Dreieckszahl kommt. (Für die vierte Dreieckszahl lautet die Formel
.) Wie heißt die Formel zur Bestimmung der n-ten Dreieckszahl? Das Folgeglied, das vor
kommt heißt
.
Aber wie geht man vor, wenn die Zahl vor der gesuchten unbekannt ist? Betrachte noch einmal die Anzahl der Kreise
pro Zeile im vierten Dreieck. Was fällt dir auf? Was muss man tun, um die 30. Dreieckszahl auszurechnen?
Hinweis: Erinnere dich an die Summenformel von Gauß! Sieh im Heft, im Buch
oder im Internet nach, wenn du dich nicht mehr weißt, wie die Formel aussieht.
Wie heißt also die 30. Dreieckszahl?
QUADRATZAHLEN
Die Glieder der Folge
nennt man Dreieckszahlen. Welche Zahlen erhält man, wenn man jeweils zwei
aufeinander folgende Dreieckszahlen addiert?
Was hat dieses Gebilde mit den Dreieckszahlen zu tun? Ergänze die nächsten beiden Zeilen!
1
2
4
7
11
3
5
8
12
6
9
13
10
14
15
Was ist hier anders? Um welche Zahlen geht es hier?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
9
10
Beschreibe den Unterschied zwischen den beiden Dreiecken.
Trage in die Tabelle die ersten 10 Quadratzahlen ein.
1
2
3
4
5
6
7
8
Gib eine explizite Formel für die n-te Quadratzahl an.
Wie kann man die n-te Quadratzahl rekursiv bestimmen? Das Bild hilft dir weiter.
Überlege, wie viele Kreise in jedem Winkel liegen.
Wie lautet die rekursive Darstellung der Quadratzahlen? Kreuze die richtige Antwort an.



DIFFERENZENFOLGE
Was ist das nächste Glied der Folge
Zahlen.
? Tipp: Bilde die Differenzen von je zwei benachbarten
Was passiert, wenn du von diesen Differenzen wieder die Differenzen bildest?
Wie heißt das nächste Glied der ersten Differenzenfolge?
Wie heißt das neunte Glied der Ausgangsfolge?
Dieses Rezept hilft häufig weiter, wenn man das nächste Glied einer Folge sucht. Man bildet fortlaufend Differenzen,
bis man eine Gesetzmäßigkeit erkennt und wendet diese dann Schritt für Schritt an.
Probiere aus, ob man so auch das nächste Glied der Dreieckszahlenfolge
Wie ist es bei der Folge der Quadratzahlen
erhält.
?
Betrachte folgende Darstellung. Was hat dieses Bild mit der Zahlenfolge von oben (
) zu tun?
Man nennt dies die Folge der Fünfeckszahlen..
Man kann jede natürliche Zahl als Summe von höchstens
 drei Dreieckszahlen
 vier Viereckszahlen
 fünf Fünfeckszahlen
schreiben
Zum Beispiel ist
Probier es auch mit den Zahlen
und
aus!
DAS PASCAL'SCHE DREIECK
Hast du schon einmal etwas vom Pascal'schen Dreieck gehört? Am Rand steht immer die , alle anderen Zahlen
ergeben sich aus der Summe der beiden Zahlen, die darüber stehen. Erweitere das Pascal'sche Dreieck, bis es aus
zehn Zeilen besteht!
1
1
1
1
1
1
2
3
4
Im Pascal'schen Dreieck haben sich einige Folgen
versteckt. Welche? Kennzeichne die Folgen im
Pascal'schen Dreieck farbig und kreuze die richtigen
Antworten an.
Das Pascal'sche Dreieck ist also etwas für faule Leute: Man
braucht die Glieder der gesuchten Folge nicht mühsam
auszurechnen, sondern kann sie einfach ablesen.
1
3
6





1
4
1
Folge der natürlichen Zahlen
Folge der Dreieckszahlen (
)
Folge der Quadratzahlen (
Folge der Fünfeckszahlen (
)
Folge, die nur aus Einsen besteht (konstante Folge)
Nach einer Fete verabschieden sich die Freunde mit einem Handschlag, das heißt, jeder gibt jedem die Hand. Wie
viele Handschläge gibt es, wenn sich zwei Freunde verabschieden? Wie ist es bei 3 oder 4 Freunden? Fertige eine
Skizze an, um die Anzahl der Handschläge herauszufinden.
Um welche Zahlenfolge handelt es sich? Wie viele Handschläge gibt es, wenn sich 9 Freunde verabschieden?
Stell dir vor, du möchtest aus Tennisbällen eine Pyramide bauen. Die
Grundfläche besteht aus einem gleichseitigen Dreieck. Wie viele Bälle
benötigst du, um eine 10-stufige Pyramide zu bauen? Fülle die Tabelle aus!
Beginne bei der Berechnung mit der Spitze der Pyramide.
Die Zahlen, die die Gesamtzahl der Bälle angeben,
heißen Pyramidalzahlen. Findest du auch die Folge der
Pyramidalzahlen im Pascal'schen Dreieck? Markiere sie
farbig!
Anzahl (i)
d. Stufen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Bälle, die in der iten Stufe
dazukommen
Gesamtzahl
der Bälle
1
3
6
1
4
10
DIE FIBONACCI-ZAHLEN
Hobbygärtner Herr Waldmann schneidet den mittlerweile 7-jährigen Zierbaum an der Wand vor seinem Haus sehr
sorgfältig. Dabei geht er folgendermaßen vor:


Jeder neue Trieb wird im ersten und im zweiten Jahr von allen neuen Seitentrieben befreit.
Ab dem dritten Jahr wird jedem Trieb in jedem Jahr genau ein neuer Trieb gelassen.
Skizziere den Baum von Herrn Waldmann. Lege eine Tabelle an, aus der die Anzahl der Äste pro Jahr hervorgeht.
Wie viele Äste hat der Baum am Ende des 6. Jahres?
Wie kommt man von der zweiten zur dritten Zahl? Und von der dritten zur vierten?
Herr Waldmann verrät dir die Formel zur Berechnung der Anzahl der Äste seines Zierbaums pro Jahr:
Versuche in Worten auszudrücken, was diese Formel bedeutet.
Diese Folge nennt man Fibonacci-Folge.
Die Fibonacci-Zahlen gehen zurück auf den italienischen Mathematiker Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci. In
seinem Rechenbauch "liber abaci" (1202) sind die Fibonacci-Zahlen das Ergebnis folgender Aufgabe:
"Das Weibchen eines Kaninchenpaares gebiert von Vollendung des zweiten Lebensmonats an allmonatlich ein neues
Kaninchenpaar. Man berechne die Anzahl der Kaninchenpaare nach 12 Monaten, wenn zu Anfang ein neugeborenes
Kaninchenpaar vorhanden ist."
Fibonacci-Zahlen kommen in der Natur häufig vor:


Kakteen-Stacheln sind oft in Spiralen angeordnet. Die Anzahl der Spiralen, die nach rechts gehen und derjenigen,
die nach links gehen, sind aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen.
genau so funktioniert's für die Spiralen der Sonnenblumenkerne, Ananas, Tannenzapfen
Betrachte die ersten 12 Fibonacci-Zahlen. Teile von zwei benachbarten Fibonacci-Zahlen immer die größere durch
die kleinere. Trage die Ergebnisse auf dem Zahlenstrahl ein.
Die Zahl
heißt Goldene Zahl, weil dieses Verhältnis als besonders ästhetisch empfunden wird.
Sieh dir die gegebene Formel und das dazugehörige Bild an.
Was wird hier dargestellt? Formuliere in einfachen Worten!
steht jeweils für die -te Fibonacci-Zahl.
ARITHMETISCHE UND GEOMETRISCHE FOLGEN
ARITHMETISCH
GEOMETRISCH
Eine Folge heißt arithmetisch, wenn man von einem
Folgeglied zum nächsten kommt, indem man eine
bestimmte Zahl dazuzählt;
heißt Differenz der
arithmetischen Folge.
Eine Folge heißt geometrisch, wenn man durch
Multiplikation mit einem Faktor (=konstanter
Quotient) zum nächsten Folgeglied kommt, wobei
und
.
rekursiv:
rekursiv:
explizit:
explizit :
Der Graph einer arithmetischen Folge besteht aus
einzelnen Punkten, durch die man eine Gerade legen
kann.
Die Funktion, auf deren Graph der Graph einer
geometrischen Folge liegt, heißt Exponentialfunktion.
Von drei aufeinander folgenden Gliedern ist das mittlere
immer das arithmetische Mittel der beiden anderen, z.B.
.
Für drei aufeinander folgende Glieder ist das mittlere
immer das geometrische Mittel der beiden anderen, z.B.
.
Entscheide, ob es sich um arithmetische oder geometrische Folgen handelt. Gib gegebenenfalls die Differenz
den Quotienten an.
a)
b)
c)
Gib die Geradengleichung an auf der die Glieder der Folge
oder
d)
e)
f)
mit
und der Differenz
liegen.
Vergleiche die Geradengleichung mit der expliziten Darstellung der arithmetischen Folge
deren Punkte auf der Geraden liegen.
Gib eine Geradengleichung an, auf der die Punkte der arithmetischen Folge
,
liegen.
Ein DIN A1 Bogen hat die Seitenlängen 84,09 cm und 59,46 cm. Aus jedem DIN Bogen entsteht der nächstkleinere
durch Halbieren entlang der Mittellinie der längeren Seite.
Bestimme die Seitenlänge der DIN A2, DIN A3, DIN A4 und DIN A5 Bögen. Suche eine Funktionsvorschrift für die
Folge der Flächeninhalte der DIN Bögen. Wie müssten die Maße eines DIN A0 Bogens sein?
Wie ist die Tonleiter aufgebaut?
Um die gleichmäßig temperierte Tonleiter zu gewinnen, wird das Intervall einer Oktave in 12
gleich große Teilintervalle zerlegt. Dabei versteht man unter dem Intervall zweier Töne den
Quotienten ihrer Schwingungszahlen. Das Intervall einer Oktave ist 2, das heißt, dass der
höhere Ton genau doppelt so oft pro Zeiteinheit schwingt, wie der tiefere. Der Quotient eines
Teilintervalls der gleichmäßig temperierten Tonleiter ist
(ungefähr
).
Welche Schwingungszahl hat der 7. Zwischenton im Oktavintervall, wenn der Grundton eine
Schwingungszahl von 440 Hz hat.