Topologie - of Daniel Schielzeth

Topologie
1. Metrische Räume
• Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X × X → IR heißt Metrik, falls gilt:
a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y
b) d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ X
c) d(x, z) = d(x, y) + d(y, z) ∀ x, y, z ∈ X.
(X, d) heißt dann metrischer Raum.
• Sei X ein K-Vekrorraum, K ∈ {IR, C}. Eine Abbildung k · k : X → IR heißt Norm, falls gilt:
a) kxk ≥ 0 ∀ x ∈ X und kxk = 0 ⇔ x = 0.
b) kλxk = |λ| · kxk ∀ x ∈ X ∀ λ ∈ K.
c) kx + yk ≤ kxk + kyk ∀ x, y ∈ X. (Dreiecksungleichung)
• Sei X ein K-Vektorraum. < ., . > : K × K → K heißt Skalarprodukt, falls gilt:
a) < x, x >≥ 0 ∀ x ∈ X, < x, x >= 0 ⇔ x = 0
b) < ., . > ist bilinear
c) < x, y >= < y,¯x > ∀ x, y ∈ K.
√
• Jedes Skalarprodukt iduziert eine Norm (kxk := < x, y >), jede Norm induziert eine Metrik (d(x, y) := kx − yk).
Eine Norm wird durch ein Skalarprodukt induziert ⇔ kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ). Es hat dann die Form
< x, y >= 21 (kx + yk2 − kxk2 − kyk2 .
• Sei (X, d) ein metrischer Raum.
a) Bε (x) := {y ∈ X | d(x, y) < ε}
b) O ⊆ X heißt offen :⇔ ∀ x ∈ O ∃ ε > 0 : Bε (x) ⊆ O.
c) x ∈ M ⊆ X heißt innerer Punkt von M :⇔ ∃ ε > 0 : Bε (x) ⊆ M .
2. Topologische Räume
• Sei X eine Menge. X ⊆ P(X) heißt Topologie auf X, falls gilt:
a) ∅, X ∈ X
b) O1 , O2 ∈ X ⇒ O1 S
∩ O2 ∈ X
c) Oi ∈ X ∀ i ∈ I ⇒ i∈I Oi ∈ X .
(X, X ) heißt topologischer Raum. Die Elemente von X heißen offene Mengen.
• Eine Metrik induziert auf natürliche Weise eine Topologie (O ∈ X :⇔ ∀ x ∈ O ∃ ε > 0 : Bε (x) ⊆ O).
• Sei (X, X ) ein toopologischer Raum.
a) U ⊆ X heißt Umgebung von x ∈ X :⇔ ∃ O ∈ X : x ∈ O ⊆ U . U (x) := {U ⊆ X | U ist Umgebung von x}.
b) Sei M ⊆ X. x ∈ M heißt innere Punkt von M :⇔ M ∈ U(x).
• M ist offen ⇔ x ist innerer Punkt von M ∀ x ∈ M .
• Sei (X, X ) topologischer Raum, M ⊆ X.
a) M heißt abgeschlossen :⇔ X \ M ∈ X .
b) x ∈ X heißt Berührpunkt von M :⇔ ∀ O ∈ X , x ∈ O : O ∩ M 6= ∅.
c) M ◦ := {x ∈ M | x ist innerer Punkt von M } = {x ∈ M | M ∈ U (x)} heißt offener Kern von M .
d) M̄ := {x ∈ M | x ist Berührpunkt von M } heißt abgeschlossene Hülle von M .
S
• Sei (X, X ) topologischer Raum. M, M1 , M2 ⊆ X. Dann gilt: a) M ◦ = O∈T ,O⊆M O
T
b) M̄ = A⊆X abgeschlossen,M ⊆A M = X \ (X \ M )◦
c) M ◦ ⊆ M , (M ◦ )◦ ) = M ◦ ..
d) M1 ⊆ M2 ⇒ M1◦ ⊆ M2◦ , M̄1 ⊆ M̄2
¯ M2 = M̄1 ∪ M̄2
e) (M1 ∪ M2 )◦ = M1◦ ∩ M2◦ , M1 ∪
¯ M2 ⊆ M̄1 ∩ M̄2 .
f) (M1 ∩ M2 )◦ ⊇ M1◦ ∪ M2◦ , M1 ∩
• Sei (X, X ) ein topolgischer Raum, M ⊆ X. Dann heißt ∂M := M̄ \ M ◦ der Rand von M . Die Elemente von ∂M
heißen Randpunkte von M .
• X , Y seien Topologien auf X. X heißt feiner als Y :⇔ Y ⊆ X . Y heißt dann gröber als X .
• Sei X eine Menge.
a) X = {∅, X} heißt indiskrete Topologie.
b) X = P(X) heißt diskrete Topologie.
c) X = {M ⊆ X | X \ M ist endlich } heißt cofinite Topologie.
• Sei X eine Menge, S
S ⊆ P(X).
Dann gilt: T (S) = X Topologie,S⊆X S = {∅, X} ∪ { alle ∪ von endlichen ∩ von Elementen ausS} ist wieder Topologie.
• S ⊆ P(X) heißt Subbasis einer Topologie X :⇔ T (S) = X . B ⊆ P(X) heißt Basis von X :⇔ jede offene Menge ist
Vereinigung von Basiselementen.
• Sei (X, X ) ein topologischer Raum, B ⊆ P(X). Dann gilt:
a) B ist Basis von X ⇔ ∀ O
S∈ X ∀ p ∈ O ∃ B ∈ B : p ∈ B ⊆ O.
b) B ist Basis von T (B) ⇔ B∈B B = X, ∀ B1 , B2 ∈ B ∀ p ∈ B1 ∩ B2 ∃ B3 ∈ B : p ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2 .
• Ein topologischer Raum (X, X ) genügt dem 1. Abzählbarkeitsaxiom, falls X eine abzählbare Basis besitzt.
• Sei (X, X ) ein topologischer Raum, M ⊆ X.
a) A ⊆ M heißt dicht in M , falls M ⊆ Ā.
b) A ⊆ M heißt nirgndsdicht in M , falls M̄ = ∅
c) (X, X ) heißt separabel, wenn es eine abzählbare dicht Teilmenge von X gibt.
1
• a) Ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis ist separabel. b) Sei (X, d) ein metrischer Raum, Ā = X ⇒
L = {Bε (x) | ε ∈ Q, x ∈ A} bildet eine Basis der von d erzeugten Topologie. c) Ein metrischer Raum ist separabel
⇔ er besitzt eine abzählbare Basis.
• Sei X eine Menge, F ⊆ P(X) heißt Filter auf X, falls
a) ∅ 6∈ F , ∅ 6= F
b) F1 , f2 ∈ F ⇒ U1 ∩ U2 ∈ U (x)
c) F ∈ F , F ⊆ G ⇒ G ∈ F .
U (x) heißt Umgebungsfilter.
• Sei F ein Filter auf X. L ⊆ F heißt Filterbasis von F :⇔ ∀ F ∈ F ∃ B ∈ L : B ⊆ F . F = {F ⊆ X | ∃ B ∈ L : B ⊆ F }.
Eine Basis von U (x) heißt Umgebungsbasis.
• Ein topologischer Raum (X, X ) genügt dem 1. Abzählbarkeitsaxiom :⇔ ∀ x ∈ X existiert eine abzählbare Umgebungsbasis.
• Sei (X, X ) ein topologischer Raum, M ⊆ X.
a) x ∈ X heißt Häufungspunkt von M :⇔ ∀ U ∈ U (x) : U ∩ (M \ {x}) 6= ∅ ⇔ x ∈ M \¯{x}. b) x ∈ X heißt isolierter
Punkt von M , falls x ∈ M̄ und x kein Häufungspunkt von M ist.
• M̄ ist disjunkte Vereinigung seiner Häufungspunkte und isolierter Punkte. Die Punkte aus M̄ \M sind Häufungspunkte
von M , die isolierten Punkte liegen in M .
• Ein topologischer Raum (X, X ) heißt perfekt, falls jedes x ∈ X Häufungspunkt von X ist.
• (X, X ) nicht perfekt ⇔ ∃ x ∈ X : {x} ∈ X .
3. Stetige Abbildungen
• Seien (X, X ), (Y, Y) topologische Räume. f : X → Y heißt stetig, falls f −1 (O) ∈ X ∀ O ∈ Y.
• Seien (X, X ), (Y, Y), (Z, cZ) topologische Räume. Dann gilt: a) f : X → Y ist stetig ⇔ Urbilder abgeschlossener
Mengen sind abgeschlossen. b) X = Y . X ist feiner als Y ⇔ id : X → Y ist stetig. c) Sei S eine Subbasis von Y.
f : X → Y ist stetig ⇔ f −1 (S) ∈ X ∀ S ∈ S. d) f : X → Y und g : Y → Z stetig ⇒ (g × f ) : X → Y ist stetig.
• Seien (X, X ), (Y, Y) topologische Räume, f : X → Y . f heißt stetig in x ∈ X :⇔ f −1 (V ) ∈ U (x) ∀ V ∈ U (f (x)).
• Seien (X, X ), (Y, Y) topologische Räume. f : X → Y ist stetig ⇔ f ist stetig ∀ x ∈ X.
• Seien (X, X ), (Y, Y) topologische Räume, f : X → Y , x ∈ X. S1 (x) und S2 (x) seien Umgebungsbasen von x bzw.
f (x). Dann gilt: f ist stetig in x ⇔ ∀ B ∈ S2 (f (x)) ∃ A ∈ S2 (x) : f (A) ⊆ B.
• Seien (X, X ), (Y, Y) topologische Räume. f : X → Y heißt offen bzw. abgeschlossen, falls das Bild jeder offenen bzw.
abgeschlossenen Menge wieder offen bzw. abgeschlossen ist.
• Seien (X, X ), (Y, Y) topologische Räume f : X → Y bijektiv. f ist stetig ⇔ f −1 ist offen ⇔ f −1 ist abgeschlossen.
• Seien (X, X ), (Y, Y) topologische Räume.
a) f : X → Y heißt Homöomorphismus, falls f bijektiv ist und f und f −1 stetig sind. b) X und Y heißen homöomorph,
falls ein Homöomorphismus f : X → Y existiert.
• Für eine stetige, bijektive Abbildung f : X → Y gilt: f ist Homöomorphismus ⇔ f ist offen ⇔ f ist abgeschlossen.
• Seien (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) metrische Räume. f : X → Y stetig ⇔ ∀ x ∈ X1 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ y ∈ X1 ⇒ d2 (f (x), f (y)) <
ε.
4. Initiale und finale Konstruktoren
• Sei X eine Menge, (Xj , Tj ) seien topologische Räume und fj : X → Xj seien stetig ∀ j ∈ J.
a) Unter allen Topologien auf X, für die alle fj stetig sind, gibt es genau eine gröbste. Diese wird von der Subbasis
S := {f −1 (Oj ) | Oj ∈ Xj , j ∈ J} erzeugt und heißt initiale Topologie auf X bezüglich ((Xj , Xj ), fj , J).
b) Für jeden topologischen Raum (W, W) und jede Abbildung g : W → X gilt: g ist stetig ⇔ fj ◦ g ist bezüglich der
initialen Topologie bezüglich ((Xj , Xj ), fj , J) stetig ∀ j ∈ J.
c) Die Initialtopologie ist durch Eigenschaft (b) eindeutig festgelegt.
• a) Sei (Y, Y) ein topologischer Raum, X ⊆ Y , in : X → Y sei die Inklusion. Dann heißt X mit der Initialtopologie
bezüglich ((Y, Y), in) topologischer Unterraum in (Y, Y). Die Topologie heißt Unterraumtopologie oder Spurtopologie
oder auch induzierte Topologie.
b) Sei X = Xj∈J Xj , (Xj , Xj ) topologische Räume ∀ j ∈ J. pj : X → Xj seien die Projektionen.
Q Dann heißt X mit
der Initialtopologie bezüglich der pj das topologische Produkt oder Produktraum. Er wird mit j∈J Xj bezeichnet.
Die Topologie heißt Produkttopologoie.
• a) Sei (Y, Y) topologischer Raum. Eine Basis der Spurtopologie auf X ⊆ Y ist gegeben durch S = {in−1 (O) | O ∈
Y} = {O ∩ X | O ∈ Y}.
b) Sei (X, X ) topologischer Unterraum von (Y, Y). Dann gilt: in : X → Y offen bzw. abgeschlossen ⇔ X offen bzw.
abgeschlossen in Y .
• Seien (Xj , Xj ) topologische Räume ∀ J ∈ J. Bj sei Basis von Xj ∀ j ∈ J. Dann gilt:
a) {Xj∈J Xj | Bj ∈ Lj ∪Q
{Xj }} und {Xj∈J OJ | Oj ∈ Xj , OJ = Xj e
∀ j ∈ J} sind Basis der Produkttopologie.
b) Die Projektionen pi : j∈J Xj → Xi sind stetig und offen. Sie sind bijektiv, falls alle Xj 6= ∅.
• Erfüllt ein topologischer Raum das 1. oder 2. Abzählbarkeitsaxiom, so tut dies auch jeder Unterraum.
Q
• Ein Produkt j∈J Xj von nichtleeren topologischen Räumen Xj genügt dem 1. AA ⇔
a) alle Xj genügen dem 1.AA und
b) alle bis auf abzahlbar viele Topologien sind indiskret
• Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heißt Einbettung von X on Y :⇔ f ist Homöomorphismus
von X und injektiv.
• f : X → Y ist Einbettung ⇔ f stetig, injektiv, f : X → f (X) ist offen.
2
• Sei X eine Menge, (XI, Xi ) topologische Räume, fj : Xj → X ∀ j ∈ J.
a) Unter allen Topologien auf X bezüglich derer alle fj stetig sind, gibt es genau eine feinste. Sie ist durch X = {O ⊆
X | fj−1 (O) ∈ Xj ∀ j ∈ J} gegeben und heißt finale Topologie bezüglich ((Xj , Xj ), fj , J).
b) Sei X finale Topologie auf X. Dann gilt für jeden topologischen Raum (W, W) und jede Abbildung g : X → W : g
stetig ⇔ g ◦ fj stetig ∀ j ∈ J.
c) Die finale Topologie ist durch (b) eindeutig festgelegt.
• a) Sei (X, X ) ein topologischer Raum, R eine Äquivalenzrelation, nat : X → X/R die kanonische Projektion.
Die Finaltopologie auf X/R bezüglich nat heißt Quotiententopologie. Versehen mit dieser Topologie heißt X/R
Quotientenraum oder Faktorraum.
n
x∈A
b) Sei (X, X ) ein topologischer Raum, A ⊆ X. XA := (X \ A) ∪ {A}. f (x) := x
A x 6∈ A . Auf XA wählt man
die Finaltopologie bezüglich f und sagt, daß XA durch Identifizierung der Punkte aus A entstanden ist. XA ist
Quotientenraum bezüglich R = 4 ∪ A × A.
S
c) Seien (Xi , Xi ) pw. disunkte topologische Räume. Dann heißt j∈J XJ mit der finalen Topologie bezüglich der
S
Inklusion inj : Xj → j∈J XJ topologische Summe oder Coprodukt von (Xj , Xi ). Sind die Xj nicht pw. disjunkt, so
`
geht man zur Familie (Xj × {j})j∈J über ( j∈J Xj ). d) Seien (X, X , (Y, Y) topologische Räume, X ∩ Y = ∅, A ⊆ X,
f : A → Y . Auf X ∪ Y betrachte folgende ÄR: R := 4 ∪ (A, f (A)) ∪ (f (A), A) ∪ {(z1 , z2 ) ∈ A × A | f (z1 ) = f (z2 )}.
Der Faktorraum (X∪, Y )/R wird mit X ∪f Y bezeichnet und heißt der durch Zusammenkleben von X mittels und
Y mittels f entstandene Raum.
• Sei (X, X ) topologischer Raum, Xj ∈ X ∀ j ∈ J Überdeckung von X. Dann ist X die Finaltopologie bzgl. aller
Inklusionen inj Xj → X, wobei Xj mit der Spurtopologie versehen ist.
• Seien (X, X ), (Y, Y) topologische Räume, Mj ⊆ X ∀ j ∈ J Überdeckung von X, f : X → Y mit f |Mj stetig ∀ j ∈ J.
f ist stetig, wenn eine der beiden Bed. erfüllt ist:
a) Mj ∈ cX ∀ j ∈ J
b) Alle Mj sind abgeschlossen und {Mj }j∈J ist lokalendlich, d.h. ∀ x ∈ X ∃ U ∈ U (x) : U ∩ Mj 6= ∅. für höchstens
endlich viele j ∈ J.
• Seien (X, X ), (Y, Y) topologische Räume, f : X → Y stetig. Sei Rf := {(x1 , x2 ) ∈ X × X | f (x1 ) = f (x2 )}. Dann
gilt:
a) ∃˙ f¯ : X/Rf → Y : f¯ ◦ nat = f . b) f¯ ist injektiv und stetig bezgl. der Quotiententopologie.
c) f offen oder abgeschlossen :⇔ f¯ ist Einbettung
d) f surjektiv ⇒ f¯ ist Homöomorphismus.
• Seien Y, Xi , i ∈ I topologische Räume.
Q
a) Seien fi : Y → Xi stetig ∀ i ∈ I ⇒ ∃˙ f : Y → i∈I Xi stetig mit fi = pi ◦ f ∀ i ∈ I f heißt induzierte Abbildung
in das Produkt (f = (fi )i∈I ).
`
b) Seien fi Xi → Y stetig ∀ i ∈ I ⇒ ∃˙ f : i∈I → Y : fi = f ◦ ini ∀ i ∈ I. f heißt induzierte Abbildung in das
Coprodukt.
5. Zusammenhang
.
• Ein topologischer Raum (X, X ) heißt zusammenhängend :⇔ ∀ O1 , O2 ∈ X , X = O1 ∪ O2 ⇒ O1 = ∅ oder O2 = ∅.
M ⊆ X heißt zusammenhängend :⇔ M ist bezgl. Spurtopologie zusammenhängend.
• Die Zusammenhangskomponente K(x) von x ∈ X ist die Vereinigung aller zusammenhängenden Mengen, die x
enthalten.
• a) Die zusammenhängenden Teilmengen von (IR, τn at) sind genau die Intervalle.
b) f : X → Y stetig, M ⊆ X zusammenhängend ⇒ f (M ) ⊆ Y zusammenhängend.
c) Zwischenwertsatz: Sei X zusammenhängend, f → IR stetig. ⇒ ∀ x, y ∈ X ∀ c ∈ [f (x), f (y)] ∃ z ∈ X : f (z) = c.
• Für einen topologischen Raum (X, X ) sind folgende Aussagen äquivalent:
a) (X, X ) ist zusammenhängend.
b) ∅, X sind die einzigen Mengen in X, die sowohl offen las auch abgeschlossen sind.
c) Jede stetige `
Abbildung f : X → [−1, 1] (mit diskreter Topologie) ist konstant.
∼ A B ⇒ A = ∅ oder B = ∅.
d) (X, X ) =
e) Jede stetige Abbildung f : X → IR erfüllt den ZWS.
• Sei (X, X ) ein topologischer Raum, A, BAi ⊆ X ∀ i ∈ I. Es gilt:
a) A zusammenhängend, A ⊆ B ⊆ A ⇒ B zusammenhängend
S
b) Ai zusammenhängend ∀ i ∈ I, ∀ x, y ∈ Z := i∈I Ai ∃ Verbindungskette, d.h. ∃ Ai1 , . . . , Ain : x ∈ Ai1 ,
Aij ∩ Aij+1 6= ∅ ∀ 1 ≤ j ≤ n − 1, y ∈ Ain ⇒ Z ist zusammenhängend.
T
S
c) i∈I Ai 6= ∅, Ai zusammenhängend ∀ i ∈ I ⇒ Z := i∈I Ai zusammenhängend.
d) Quotientenräume von zusammenhängenden Räumen sind wieder zusammenhängend.
• K(x) ist die größte zusammenhängende Menge, die x enthält. Es gilt:
a) K(x) ist abgeschlossen ∀ x ∈ X.
b) K(x) = K(y) oder K(x) ∩ K(y) = ∅ ∀ x, y, ∈ X.
c) O offen und abgeschlossen, x ∈ O ⇒ K(x) ⊆ O.
• Seien X, Y topologische Räume, X zusammenhängend, f : X → Y stetig ⇒ Gf := {(x, f (x)) | x ∈ X} ist zusammenhängend.
• Ein toppologischer Raum X heißt total unzusammenhängend :⇔ K(x) = {x} ∀ x ∈ X.
• Seien (XQ
i , Xi ) nichtleere topologische Räume ∀ i ∈ I. Dann gilt:
a) X := i∈I Xi ist zusammenhängend ⇔ Xi ist zusammenhängend ∀ i ∈ I.
Q
b) X = {Xi }i∈I ∈ X ⇒ K(x) = i∈I K(xi ).
• a) Ein Weg ist eine stetige Funktion f : [0, 1]τnat → X Dabei heißen f (0) bzw. f (1) Anfangs- bzw. Endpunkt.
b) W (x) := {y ∈ X | ∃ Weg von x nach y} heißt Wegkomponente von x. c) Ein topologischer Raum (X, X ) heißt
wegzusammenhängend :⇔ ∀ x, y ∈ X ∃ Weg von x nach y.
d) Ein topologischer Raum (X, X ) heißt lokal (weg)zusammenhängend :⇔ ∀ x ∈ X ∀ u ∈ U (x) ∃ V ∈ U (x)
(weg)zusammenhängend: V ⊆ U .
3
• Sei (X, X ) ein topologischer Raum. Dann gilt:
a) X (lokal) wegzusammenhängend ⇒ X (lokal) zusammenhängend.
b) X zusammenhängend und X lokal wegzusammenhängend ⇒ X wegzusammenhängend.
c) X lokal wegzusammenhängend ⇒ K(x) = W (x) ist offen und abgeschlossen.
d) W (x) ist der größte wegzusammenhängende Unterraum von X, der x enthält. W (x) = W (y) oder W (x) ∩ W (y) =
∅ ∀ x, y ∈ X.
Q
e) Xi 6= ∅ wegzusammenhängend ∀ i ∈ I ⇔ i∈I Xi wegzusammenhängend.
f) (Weg)zusammenhang und Anzahl der Weg- bzw. Zusammenhangskomponenten sind topologische Invarianten
• Bild !!
6. Folgen, Filter, Konvergenz
• a) Eine Folge (Xn )n∈IN in einem topologischen Raum X heißt konvergent gegen x ∈ X :⇔ ∀ U ∈ U (x) ∃ n0 ∈ IN :
x n ∈ U ∀ n ≥ n0 .
b) x ∈ X heißt Häufungspunkt (Hp) von (Xn )n∈IN :⇔ ∀ U ∈ U (x) ∀ n ∈ IN ∃ m ≥ n : xm ∈ U .
c) Eine Abb. f : X → Y heißt folgenstetig in x ∈ X :⇔ ∀ (Xn )n∈IN ⊆ X : Xn → x ⇔ f (Xn ) → f (x). d) f heißt
folgenstetig :⇔ f ist folgenstetig in x ∀ x ∈ X.
c Daniel Schielzeth, Berlin 2003.
4