Bewegungsgleichung relativistisch

SS 16
1. Übung zu Physik4
Kern- und Teilchenphysik
Präsenzaufgabe - Musterlösung
4. Bewegungsgleichung relativistisch (anknüpfend an Aufgabe 3[kinetische Energie])
In der klassischen Mechanik zeigt die Beschleunigung immer in Richtung der Kraft:
bzw. a  F / m
F  ma
Beobachtet bzw. gemessen wird eine Beschleunigung, als Ursache wird eine Kraft
angenommen und die Proportionalitätskonstante wird als träge Masse definiert.
Wie ist das in der relativistischen Physik?
Antwort:
F
dp d (m v )
d

 m a  mv
dt
dt
dt
(in Intertialsystemen, also a 
dv
)
dt
Falls der Betrag der Geschwindigkeit sich ändert gibt es also einen Zusatzterm!
Bei einer Kreisbahn, die mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen wird,
ist das also nicht der Fall.
Beispiel: LHC im Kollisionsmodus (nach dem Beschleunigungsvorgang).
Im nächsten Schritt sollte man d/dt berechnen:
Zuerst:
d (v  v ) / dt  2v  dv / dt  2v  a  2 v a// , wobei a/ / die Tangentialbeschleunigung ist.
Damit:

1
2

3
2
va
d d  v 
1  v   2  d v 2
 1  2    1  2   2 
  3 2 //
dt dt  c 
2  c   c  dt
c
und


d 

3 v a/ /
3
F  m a  v
v
  m  a   a  ,
  m a  
2
dt 
c



mit  = v/c.
Nun könnte man nun noch versuchen, a freizustellen.
Hierzu würde man obige Gleichung mit  multiplizieren.
Eine Referenz dazu ist Bettini, Introduction to Elementary Particle Physics, Kap. 1.2.
2
2


 
Der wesentlichen Punkte sind hier also:
 Kraft und Beschleunigung sind nicht mehr parallel.
 Die Masse nicht mehr Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung.
 Die Beschleunigung ist nun eine Funktion von Kraft und Geschwindigkeit.
Für eine lineare Bewegung erhält man:
1  2   2 
F  m  a   3 2a   m a 1   2  2   m a 
 m 3a , also nicht F  m a !

2
 1 

Die Regel, in der relativistischen Physik überall m durch m zu ersetzen, ist also nicht sinnvoll!