1.¨Ubungsblatt zur Quantenmechanik

Institut für Theoretische Physik
O. Lauscher, C. Mayrhofer
Dozent: T. Weigand
Universität Heidelberg
Sommersemester 2011
1. Übungsblatt zur Quantenmechanik
Besprechung der Präsenzaufgaben: 15.04.2011
Aufgabe 1.1:
Gegeben sei ein x–x’–y Polarisator, wie in der Vorlesung besprochen. Leiten Sie das Intensitätsverhältnis
Ivor x’
= cos2 φ sin2 φ
(1)
Inach y
her, wobei Ivor x’ und Inach y die Intensitäten vor dem Polarisator x’ bzw. nach dem Polarisator y sind. Desweiteren ist die Raumrichtung des Polarisators x’ gegeben durch:
~ex0 = cos φ ~ex + sin φ ~ey .
(2)
Vergleichen Sie das Ergebins der x–x’–y Polarisatoranordnung mit der einer x–y Polarisatoranordnung, das heißt nach Herausnahme des mittleren x’ Polarisators.
Definition 1.1. Gegeben sei ein Quadrupel (V, K, +, ·), wobei V eine Menge von Objekten
ist, im folgenden Vektoren genannt, und K ein Körper bezüglich der Operation + und ·.
Wir bezeichnen (V, K, +, ·) als Vektorraum über K, falls folgende Eigenschaften erfüllt
sind:
1. (V, +) ist eine Abelsche Gruppe, das heißt:
(a) ∀ |xi, |yi ∈ V
⇒
(b) ∀ |xi, |yi |zi, ∈ V
|xi + |yi ∈ V .
⇒
(c) ∃|Oi ∈ V : ∀|xi ∈ V
(d) ∀ |xi ∈ V
⇒
∃| − xi ∈ V
(e) ∀ |xi, |yi ∈ V
⇒
(|xi + |yi) + |zi = |xi + (|yi + |zi) .
|xi + |Oi = |xi .
:
|xi + | − xi = |Oi .
|xi + |yi = |yi + |xi .
2. Die Multiplikation mit Skalaren:
(a) α ∈ K, |xi ∈ V
(b) ∀ |xi ∈ V
⇒
⇒
α |xi ∈ V .
1 |xi = |xi .
(c) α, β ∈ K, |xi ∈ V
⇒
(α · β) |xi = α(β |xi) .
(d) α, β ∈ K, |xi, |yi ∈ V ⇒ (α+β) |xi = α |xi+β|xi∧α(|xi+|yi) = α|xi+α|yi .
Ist K der Körper der komplexen Zahlen, so bezeichen wir den Vektorraum als komplexen
Vektorraum.
Definition 1.2. Eine Menge von Vektoren {|x1 i, . . . , |xn i} wird als linear unabhängig
bezeichnet, falls die Gleichung
a1 |x1 i + . . . + an |xn i = |Oi
(3)
nur die triviale Lösung a1 = . . . = an = 0 besitzt. Im Falle einer nichttrivialen Lösung
sind die Vektoren linear abhängig.
1
Definition 1.3. Eine Norm auf einem komplexen Vektorraum V ordnet jedem Vektor
|xi ∈ V eine reelle Zahl |||xi|| zu mit den Eigenschaften
1. ∀|xi ∈ V : |||xi|| ≥ 0 and |||xi|| = 0 ⇔ |xi = |Oi,
2. ∀|xi ∈ V, α ∈ C: ||α|xi|| = |α| |||xi||,
3. ∀|xi, |yi ∈ V : |||xi + |yi|| ≤ |||xi|| + |||yi||.
Definition 1.4. Ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum V ist eine positiv
definite hermitesche Sesquilinearform (·, ·) : V × V → C, das heißt für |xi, |yi, |zi ∈ V
und αi ∈ C gelten die folgenden Bedingungen:
1. (|xi, α1 |yi + α2 |zi) = α1 (|xi, |yi) + α2 (|xi, |zi) .
2. (|xi, |yi) = (|yi, |xi)∗ .
3. (|xi, |xi) ≥ 0 .
4. (|xi, |xi) = 0 ⇔ |xi = |Oi .
Aufgabe 1.2:
1. Beweisen Sie mit Hilfe der obigen Definition eines Vektorraums, dass
0 · |xi = |Oi
(4)
gilt.
2. Zeigen Sie, dass die Menge der komplexen Polynome ein Vektorraum über C ist.
3. Beweisen Sie, dass in einer Menge von linear unabhängingen Vektoren {|x1 i, . . . , |xn i}
kein Vektor |xi i durch eine Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann. Weiters zeigen Sie, dass in einer Menge linear abhängiger Vektoren zumindest ein Vektor existiert, so dass dieser durch die Linearkombination der anderen
gegeben werden kann.
4. Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Funktionen ein Vektorraum über R ist.
5. Beweisen Sie mit den Definitionen des Skalarprodukts die Schwarzsche Ungleichung:
|(|xi, |yi)|2 ≤ (|xi, |xi)(|yi, |yi) ∀ |xi, |yi ∈ V .
6. Zeigen Sie, dass ein Skalarprodukt eine Norm induziert, d.h.
p
|||xi|| := (|xi, |xi)
(5)
(6)
erfüllt die Eigenschaften in Definition 1.3.
7. Betrachten Sie die Menge der stetigen quadratintegrablen Funktionen ψ : R → C.
Quadratintegrabel bedeutet, dass
Z ∞
|ψ(x)|2 dx < ∞.
(7)
−∞
2
Zeigen Sie, dass diese Menge einen komplexen Vektorraum darstellt mit Skalarprodukt
Z ∞
(ψ, φ) =
ψ ∗ (x) φ(x).
(8)
−∞
Beachten Sie: Auch die Menge L2 (R), die Menge der quadratintegrablen (aber
nicht unbedingt stetigen) Funktionen ψ : R → C ist ein komplexer Vektorraum
mit obigem Skalarprodukt. Welche der Eigenschaften des Skalarprodukts sind nun
schwieriger zu zeigen?
3