faktoeen in quadratischen zahlkörpern

EINDEUTIGKEIT DEE ZERLEGUNG IN PRIMZAHLFAKTOEEN IN QUADRATISCHEN ZAHLKÖRPERN
V O N G.
RABINOVITCH.
Ich betrachte im Folgenden quadratische Zahlkörper mit der Diskriminante
der Form
D = 1 - 4m.
Um Missverständnisse zu vermeiden will ich gleich ausdrücklich bemerken, dass
ich keine Ideale eingeführt denke und also nur mit Zahlen operiere. Es gilt in
diesem Falle der Grundsatz der Zahlentheorie nicht in jedem der betrachteten
Zahlkörper, und wenn ein solcher Körper gegeben ist, so kann man sich also fragen,
ob jede Zahl dieses Körpers nur auf eine Weise in Primzahlen zerlegt werden kann.
Mit dieser Frage beschäftige ich mich im Folgenden. Diese Frage kann auch so
formuliert werden : ist die Klassenzahl eines gegebenen Körpers gleich 1 oder
grösser ?
Dabei wende ich folgende Bezeichnungen an. Lateinische Buchstaben bezeichnen
ganze rationale Zahlen, griechische—ganze (im allgemeinen) irrationale, ä bezeichnet
die zu oc konjugierte Zahl. Jede Zahl £ des Körpers kann in der Form
dargestellt werden, wo
ist, und umgekehrt ist jede Zahl dieser Form eine ganze Zahl des Körpers.
Norm der Zahl £ ist
N% = x2 -f xy + my2.
Die
In einer Strassburger Dissertation zeigt Herr Jacob Schatunowsky, dass der
Euklidsche Algorithmus in solchen Körpern, wenn m > 3 ist, im allgemeinen nicht
anwendbar ist. Ich versuchte nun diesen Algorithmus zu verallgemeinern. Ein
Schritt dieses Algorithmus besteht bekanntlich in der Bildung der Zahl a — ßrj,
welche kleiner als die gegebenen Zahlen a und ß ist. Ich habe statt dessen den
Ausdruck
aC-ßy
betrachtet.
Dabei wurde ich zum folgenden Satze geführt.
ZERLEGUNG IN PRIMZAHLFAKTOREN IN QUADRATISCHEN ZAHLKÖRPERN
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Ist es möglich, sobald zwei Zahlen a und ß eines Zahlkörpers gegeben sind, von
denen keine durch die andere teilbar ist, zwei Zahlen £ und r) desselben Körpers zu
finden, welche der Ungleichung
0 < N(aC~ßv)<Nß
(1)
genügen, so ist die Klassenzahl des betreffenden Zahlkörpers gleich 1.
Um das zu beweisen, machen wir die Voraussetzung dass in einem Körper die
Ungleichung (1) immer lösbar ist. Wäre die Zerlegung einer Zahl in Primzahlen
nicht eindeutig, so müsste es, wie es leicht zu zeigen ist, im betreffenden Körper
Zahlen geben, die durch eine Primzahl IT teilbar sind, die aber als ein Produkt von
zwei Zahlen dargestellt werden können, von denen keine durch ir teilbar ist.
Betrachten wir die Normen aller Zahlen, die in bezug auf eine Primzahl TT diese
Eigenschaft haben, so muss es unter diesen Normen eine geben, welche nicht
grösser ist, als jede der andern. Es sei dies die Norm der Zahl \ A . Nach unserer
Voraussetzung müssen zwei Zahlen £ und TJ existieren von der Eigenschaft, dass
die Zahl
\ju — irr — 7}\
(2)
den Ungleichungen
genügt.
0<Nfi<N7r
(3)
0<Nfi<N\
(4)
Multiplizieren wir (2) mit A, so bekommen wir
yuA = £TTA -
vXA.
Der rechte Teil ist durch TT teilbar, also muss es auch //A sein. Die Zahl /JL ist
wegen (3) durch ir nicht teilbar, A auch nicht, also gehört die Zahl fjuA zu den
betrachteten. Es ist aber wegen (4)
A^A)<i\T(\A);
das widerspricht der Annahme, dass die Norm der Zahl \A nicht grösser ist, als
die Normen aller anderen solchen Zahlen, also ist die Zerlegung in Primzahlfaktoren
eindeutig, die Klassenzahl des betreffenden Körpers ist 1.
Die Umkehrung dieses Satzes ist auch richtig, ich werde sie aber nicht
benutzen.
Den eben bewiesenen Satz können wir auch in der folgenden Form aussagen :
Ist die Klassenzahl eines Körpers grösser als 1, so gibt es in diesem Körper zwei
solche Zahlen a und ß, .von denen keine durch die andere teilbar ist, dass die
Ungleichung
0<N(aC-ßr))<Nß
(1)
keine Lösungen besitzt. Ich teile nun beide Teile durch Nß (wie es Schatunowsky
in einem ähnlichen Falle tut) und bekomme
0<jv(|f-„)<l
Ich kann jetzt auch so sagen.
(5).
In einem Zahlkörper, wo die Klassenzahl > 1 ist,
musss es störende Brüche geben; dabei nenne ich einen
e
Bruch -= störend, wenn es
unmöglich ist, die Ungleichung (5) zu befriedigen.
27—2
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G. RABINOVITCH
Es leuchtet unmittelbar ein, dass wenn ein Bruch -= störend ist, auch die
ß
Brüche
ß*C'.
ßS'
wo £ eine beliebige Zahl bedeutet, störend sein müssen. Indem ich diese Bemerkung
anwende, zeige ich leicht, dass wenn in einem Zahlkörper störende Brüche vorhanden
sind, notwendig störende Brüche von der Form
2-^
(6),
q
wo p ^ q ^ m ist, existieren müssen.
Unser bisheriges Ergebniss können wir auch so aussprechen. Die Klassenzahl
eines Körpers ist grösser oder gleich 1 je nachdem es unter den Brüchen (6) störende
gibt oder nicht. Betrachten wir jetzt die Normen der Zähler dieser Brüche, also die
m — 1 Zahl
p2—p + m
(p — 1, ..., m ~ 1)
(7),
und nehmen zunächst an, dass alle diese Zahlen Primzahlen sind. Ist dann q eine
von 1 verschiedene Zahl < m, so sind die Zahlen p2—p + m und q relative Primzahlen
und es gibt zwei Zahlen x und y, die der Gleichung
(p2 — p + m) x — qy — 1
genügen.
Diese Gleichung können wir aber in der Form
-—
(p - * ) x - y = -
p— ' ò .
nicht störend ist
9.
Es gibt also keine störenden Brüche von der Form (6), also
schreiben, und in dieser Form zeigt sie, dass der Bruch
a N (- ) = —
< 1 ist
\qj q2
ist die Klassenzahl des Körpers gleich 1.
Ist eine von den Zahlen
p2 —p + m
(p ~ 1, ..., m - 1)
(7)
(rational) zusammengesetzt, so kann sie einerseits als Produkt von rationalen Zahlen
dargestellt werden, andernseits als Produkt der Zahlen p — ^ und p — Sr. Es ist
leicht zu zeigen, dass p — ^ und p — ^ Primzahlen sind. Wir haben also in der Zahl
p2 — p + m ein Beispiel einer Zahl, die in zwei verschiedene Reihen von Primfaktoren
zerlegt werden kann, die Klassenzahl ist also grösser als 1.
Wir haben somit den Satz gewonnen :
Die Klassenzahl eines quadratischen Körpers ist grösser oder gleich 1, je nachdem
in der Reihe der Zahlen
p2 — p + m
(p =1, ..., m — 1)
zusammengesetzte Zahlen vorkommen oder nicht.
An dieses Resultat schliesse ich folgende Bemerkungen an.
ZERLEGUNG IN PRIMZAHLFAKTOREN IN QUADRATISCHEN ZAHLKÖRPERN
Es ist längst eine Anzahl von Zahlkörpern mit der Klassenzahl 1 bekannt.
sind dies die Zahlkörper mit den Diskriminanten
421
Es
- 7, - 11, - 19, - 43, - 67, - 163.
Es ist aber unbekannt, ob es weitere solche Körper gibt und ob die Zahl solcher
Körper endlich ist. Der mitgeteilte Satz führt diese Frage auf die folgende Frage
über die Verteilung der Primzahlen zurück.
Es gibt einige Primzahlen m, nämlich
2, 3, 5, 11, 17, 41
von der Eigenschaft, dass auch die Zahlen
p2 — p + m
(p = 1, ... , m - 1)
Primzahlen sind. Gibt es noch solche Primzahlen, und gibt es deren eine endliche
Anzahl oder eine unendliche ? Diese Frage ist, soweit ich weiss, ungelöst, und wir
haben also für die andere Frage keine Antwort bekommen.
In den speziellen Fällen lässt sich aber die rationalzahlentheoretische Frage
leicht beantworten. Die Zahlen der Reihe (7) können auch in folgender Weise
bekommen werden. Die erste ist m, die zweite m + 2, um die dritte zu bekommen
addiere ich zur zweiten 4, die vierte bekommt man aus der dritten indem man
6 addiert, dann kommt 8 u.s.f. Als Beispiel wähle ich die Zahl m = 11.
11+2
13+4
17+6
23+8
31 + 10
41 + 12
53 + 14'
67 + 16
83 + 18
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Diese kleine Rechnung beweist (da die Zahlen 11, 13 u.s.f. Primzahlen sind), dass
der Zahlkörper mit der Diskriminante D = l — 4 . 1 1 = — 43 die Klassenzahl 1 hat.
Für m = 41 bekommen wir die bekannte Funktion
p2-p+
4>l,
welche für die ersten 40 Werte von p Primzahlen ergiebt.
Zum Schluss erlaube ich mir eine Vermutung auszusprechen. Die oberflächliche
Betrachtung der Reihe (7) erlaubt in einem Falle die Klassenzahl des betreffenden
Körpers anzugeben, nämlich wenn diese Zahl gleich 1 ist. Vielleicht wird eine
genauere Untersuchung dieser Reihe erlauben die Klassenzahl in allen Fällen zu
erkennen.