1 Seite 1 Kapitel 3 Die reellen Zahlen Kapitel 3 Die reellen Zahlen

Kapitel
Kapitel33
Die
Die reellen
reellen Zahlen
Zahlen
Inhalt
Inhalt
3.1
3.1 Was
Wassind
sindreelle
reelleZahlen?
Zahlen?
3.2
3.2 Wie
Wieviele
vielereelle
reelleZahlen
Zahlengibt
gibtes?
es?
3.3
3.3 Folgen
Folgen
3.4
3.4 Was
Wassind
sindreelle
reelleZahlen?
Zahlen? –– Teil
Teil IIII
3.5
3.5 Ungleichungen
Ungleichungenund
undBetrag
Betrag
3.6
3.6 Summen
Summen
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Mai 2005
Seite 2
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 1
1
3.1
3.1Was
Wassind
sindreelle
reelleZahlen?
Zahlen?
Eine
Eineausgesprochen
ausgesprochenschwierige
schwierigeFrage!
Frage!
Wir
Wirbezeichnen
bezeichnendie
dieMenge
Mengeder
derreellen
reellenZahlen
Zahlen(von
(vonder
derwir
wirnoch
nochnicht
nicht
wissen,
was
sie
ist)
mit
R.
wissen, was sie ist) mit R.
Wir
Wirkönnen
können natürlich
natürlich Beispiele
Beispiele von
von reellen
reellen Zahlen
Zahlen angeben:
angeben:
alle
natürlichen,
ganzen,
rationalen
Zahlen
sind
auch
alle natürlichen, ganzen, rationalen Zahlen sind auch reelle
reelle Zahlen
Zahlen
(d.h.
(d.h. RR ist
isteine
eineErweiterung
Erweiterungvon
von Q)
Q)
√2,
√5,
...
sind
reelle
Zahlen,
√2, √5, ... sind reelle Zahlen,
ππ ist
isteine
einereelle
reelleZahl,
Zahl,
...
...
Aber:
Aber:Wie
Wiekann
kannman
man alle
allereellen
reellen Zahlen
Zahlen beschreiben???
beschreiben???
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Seite 3
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
1.
1.Beschreibung
Beschreibungder
derreellen
reellenZahlen
Zahlen
Wir
Wirwerden
werdendie
diereellen
reellenZahlen
Zahlennicht
nichtexplizit
explizitkonstruieren,
konstruieren,sondern
sondern
verschiedene
Beschreibungen
angeben.
verschiedene Beschreibungen angeben.
1.
1.Beschreibung:
Beschreibung: Die
Die reellen
reellen Zahlen
Zahlen füllen
füllendie
dieZahlengerade
Zahlengerade
lückenlos
aus.
lückenlos aus.
Dies
Diesist
istdie
dieelementarste,
elementarste,aber
aberwichtigste
wichtigsteVorstellung.
Vorstellung.
Wir
Wirstellen,
stellen,dass
dasssich
sich an
anjeder
jederStelle
Stelleder
der Zahlengeraden
Zahlengeraden eine
eine Zahl
Zahl
befindet.
befindet.
Wenn
Wennwir
wirmit
miteinem
einemunendlich
unendlichdünnen
dünnenMesser
Messerdie
dieZahlengerade
Zahlengerade
anschneiden,
haben
wir
eine
reelle
Zahl
getroffen.
anschneiden, haben wir eine reelle Zahl getroffen.
Mit
Mitanderen
anderenWorten:
Worten:Die
Diereelle
reelleZahlengerade
Zahlengeradehat
hatkeine
keineLücke.
Lücke.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 2
2
2.
2.Beschreibung
Beschreibungdurch
durchDezimalbrüche
Dezimalbrüche
Die
Diereellen
reellenZahlen
Zahlensind
sindgenau
genaudie
dieDezimalbrüche.
Dezimalbrüche.
Dezimalbrüche
können
endlich,
periodisch
Dezimalbrüche können endlich, periodischoder
odernichtperiodisch
nichtperiodischsein.
sein.
Endliche
Endliche(abbrechende)
(abbrechende)Dezimalbrüche
Dezimalbrüchesind
sindzum
zumBeispiel
Beispiel 3,14;
3,14;
2458493;
56568439,35.
2458493; 56568439,35.
Bei
Beiperiodischen
periodischenDezimalbrüchen
Dezimalbrüchenwiederholt
wiederholtsich
sichab
abeiner
einergewissen
gewissen
Stelle
eine
gewisse
Ziffernfolge
ständig.
Beispiel:
24,9
456
456
Stelle eine gewisse Ziffernfolge ständig. Beispiel: 24,9 456 456456...
456...
Wir
Wirnotieren
notierendies
dieswie
wie üblich
üblichauch
auchso:
so: 24,9
24,9456
456..
Ein
Einnichtperiodischer
nichtperiodischerDezimalbruch
Dezimalbruchist
isteiner,
einer,der
derkeine
keinePeriode
Periodehat.
hat.
Zum
ZumBeispiel
Beispielsind
sind √2
√2 und
und ππ keine
keine periodischen
periodischen Dezimalbrüche.
Dezimalbrüche.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Weitere
WeitereBeschreibungen
Beschreibungen
Wir
Wirwerden
werdenweitere
weitereBeschreibungen
Beschreibungender
derreellen
reellenZahlen
Zahlenangeben:
angeben:
als
Grenzwerte
von
Folgen,
durch
„Dedekindsche
Schnitte“
als Grenzwerte von Folgen, durch „Dedekindsche Schnitte“und
und
durch
durchdie
dieSupremumseigenschaft.
Supremumseigenschaft.
Dazu
Dazubrauchen
brauchenwir
wiraber
abernoch
nocheinige
einigeVorbereitungen.
Vorbereitungen.
Bereits
Bereitsjetzt
jetztkönne
könnewir
wiraber
aberbeweisen,
beweisen,dass
dasses
esüberabzählbar
überabzählbarviele
viele
reelle
Zahlen
gibt!
reelle Zahlen gibt!
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 3
3
3.2
3.2Wie
Wieviele
vielereelle
reelleZahlen
Zahlengibt
gibtes?
es?
Wir
Wirwissen:
wissen:die
dieMengen
Mengen ZZ und
und QQ sind
sindgleichmächtig
gleichmächtigzu
zu NN sind.
sind.
Ist
auch
R
gleichmächtig
zu
N?
Ist auch R gleichmächtig zu N?
Oder
Oderbesitzt
besitzt RR wesentlich
wesentlichmehr
mehrElemente
Elementeals
als N?
N?
Es
Esist
isteine
eineder
dergroßen
großenLeistungen
Leistungenvon
vonGeorg
GeorgCantor
Cantor(1845
(1845 --1918),
1918),
des
desErfinders
Erfindersder
derMengentheorie,
Mengentheorie,bewiesen
bewiesenzu
zuhaben,
haben,dass
dass RR
wesentlich
wesentlichmehr
mehrElemente
Elementewie
wie NN enthält:
enthält:Es
Esgibt
gibtkeine
keineMöglichkeit,
Möglichkeit,
die
reellen
Zahlen
zu
nummerieren!
die reellen Zahlen zu nummerieren!
Wir
Wirbezeichnen
bezeichnendie
dieMenge
Mengeder
derreellen
reellenZahlen
Zahlenzwischen
zwischen 00
(einschließlich)
(einschließlich)und
und 11 (ausschließlich)
(ausschließlich)mit
mitdem
demSymbol
Symbol [0,
[0,1).
1).
Man
Mannennt
nenntdies
diesein
ein „haboffenes
„haboffenesIntervall“;
Intervall“;dazu
dazuspäter.
später.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Überabzählbarkeit
Überabzählbarkeitvon
von RR
3.2.1
3.2.1Satz
Satz(Cantor).
(Cantor). Es
Esgibt
gibtkeine
keinebijektive
bijektiveAbbildung
Abbildungvon
von NN auf
auf
[0,1).
Das
heißt:
Die
reellen
Zahlen
zwischen
0
und
1
sind
nicht
[0,1). Das heißt: Die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 sind nicht
abzählbar.
abzählbar.
Erst
Erstrecht
rechtist
istdie
dieMenge
Mengealler
allerreellen
reellenZahlen
Zahlennicht
nichtabzählbar!
abzählbar!
Beweis.
Beweis. („Cantorsches
(„CantorschesDiagonalverfahren“)
Diagonalverfahren“)
Der
Beweis
erfolgt
durch
Der Beweis erfolgt durchWiderspruch.
Widerspruch.
Wir
Wirnehmen
nehmenan,
an,dass
dasssich
sichdie
diereellen
reellenZahlen
Zahlenzwischen
zwischen 00 und
und 11
abzählen
lassen.
abzählen lassen.
Es
Esgibt
gibtalso
alsoeine
eineerste
erstereelle
reelleZahl
Zahl r1r1,,eine
einezweite
zweite r2r2,,eine
einedritte
dritte r3r3,,
usw.
usw.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 4
4
Erster
ErsterTrick
Trick
Erster
ErsterTrick:
Trick:Wir
Wirschreiben
schreibendie
dieZahlen
Zahlenzwischen
zwischen 00 und
und 11 inindieser
dieser
Reihenfolge
als
Dezimalbrüche
auf!
Reihenfolge als Dezimalbrüche auf!
rr1 ==0,
0,aa1111aa1212aa1313aa1414aa1515aa1616...
...
1
r2r ==0,
a
a
a
a
a
a
...
0, a21 a22 a23 a24 a25 a26 ...
2
21
22
23
24
25
26
rr3 ==0,
0,aa3131aa3232aa3333aa3434aa3535aa3636...
...
3
r4r ==0,
a
a
a
a
a
a
...
0, a41 a42 a43 a44 a45 a46 ...
4
41
42
43
44
45
46
rr5 ==0,
0,aa5151aa5252aa5353aa5454aa5555aa5656...
...
5
...
...
Beispiel:
Beispiel:Wenn
Wenn r1r1==0,
0,0925378929
0925378929 ist,
ist,so
soist
ist aa1111==0,
0,aa1212==9,
9,aa1313==
22 usw.
usw.Die
Dievierte
vierteNachkommastelle
Nachkommastellevon
von r7r wird
wirdmit
mit aa74 bezeichnet.
bezeichnet.
7
74
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Zweiter
ZweiterTrick
Trick
Zweiter
ZweiterTrick
Trick(genial!):
(genial!):Wir
Wirkonstruieren
konstruiereneine
einereelle
reelleZahl
Zahl tt zwischen
zwischen
00 und
1,
die
nicht
in
dieser
Liste
vorkommt!
und 1, die nicht in dieser Liste vorkommt!
Dies
Diesist
istein
einWiderspruch,
Widerspruch,denn
denndie
dieobige
obigeListe
Listesoll
solljajaalle
allereellen
reellen
Zahlen
zwischen
0
und
1
enthalten.
Zahlen zwischen 0 und 1 enthalten.
Konstruktion
Konstruktion von
von t:t: Die
Die Zahl
Zahl
nach
dem
Komma
die
Stellen
nach dem Komma die Stellen
tt hat
hat eine
eine Null
Null vor
vor dem
dem Komma
Komma und
und
bb1,, bb2,, bb3,,...
...
1
2
3
Für
Fürdie
dieZiffer
Ziffer bb11 ist
istnur
nurverboten,
verboten,dass
dasssie
siegleich
gleich aa1111 ist.
ist.Also
Also
unterscheidet
sich
t
wenigstens
an
der
ersten
Nachkommastelle
unterscheidet sich t wenigstens an der ersten Nachkommastelle
von
von r1r1..Somit
Somitist
istsicher
sicher tt ≠≠r1r1..
Die
DieZiffer
Ziffer bb22 darf
darfnicht
nichtgleich
gleich aa2222 sein.
sein.Daher
Daherunterscheidet
unterscheidetsich
sich tt
jedenfalls
an
der
zweiten
Nachkommastelle
von
r
;
somit
ist
jedenfalls an der zweiten Nachkommastelle von 2r ; somit ist tt≠≠ r2r ..
2
2
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 5
5
Der
DerWiderspruch
Widerspruch
Und
Undso
soweiter:
weiter:Die
DieZiffer
Ziffer bbi i wird
wirdso
sogewählt,
gewählt,dass
dass
Dann
unterscheidet
sich
t
an
der
i-ten
Stelle
Dann unterscheidet sich t an der i-ten Stellevon
von
bbi ≠≠ aaii ist.
i
ii ist.
rir,,also
alsoist
isttt≠≠ rir..
i
i
So
Soerhalten
erhaltenwir
wireine
einereelle
reelleZahl
Zahl tt==0,
0,bb11bb22bb33...
... zwischen
zwischen00und
und1.
1.
Behauptung:
Behauptung:Die
DieZahl
Zahl tt steht
stehtnicht
nichtininobiger
obigerListe!
Liste!
Warum?
Wenn
t
auf
der
Liste
wäre,
müsste
t
gleich
Warum? Wenn t auf der Liste wäre, müsste t gleicheiner
einerZahl
Zahlrir sein.
sein.
i
Wir
Wirhaben
habenaber
aberschon
schongesehen,
gesehen,dass
dassdies
dies(wegen
(wegen bbi i≠≠ aaii)ii)nicht
nichtder
der
Fall
sein
kann.
Fall sein kann.
Widerspruch!
Widerspruch!Dieser
DieserWiderspruch
Widerspruchkommt
kommtvon
vonder
derAnnahme
Annahmeher.
her.
Also
ist
die
Annahme
falsch.
Also ist die Annahme falsch.
Daher
Daherist
istdie
dieMenge
Menge [0,
[0,1)
1) nicht
nichtabzählbar.
abzählbar.
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Seite 11
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Folgerungen
Folgerungen
Definition:
Definition:Eine
Eineunendliche
unendlicheMenge
Mengeheißt
heißtüberabzählbar,
überabzählbar,wenn
wennsie
sie
nicht
abzählbar
ist.
Wenn
eine
Menge
überabzählbar
ist,
hat
sie
also
nicht abzählbar ist. Wenn eine Menge überabzählbar ist, hat sie also
eine
einehöhere
höhereStufe
Stufeder
derUnendlichkeit
Unendlichkeitals
alseine
eineabzählbare
abzählbareMenge.
Menge.
3.2.2
3.2.2Folgerung.
Folgerung.Die
DieMenge
Menge RRder
derreellen
reellenZahlen
Zahlenist
istüberabzählbar.
überabzählbar.
3.2.3
3.2.3Folgerung.
Folgerung.Es
Esgibt
gibtunendlich
unendlichviele,
viele,sogar
sogar überabz
überabzählbar
ählbarviele
viele
irrationale
Zahlen!
irrationale Zahlen!
Beweis.
Beweis. Wenn
Wenndie
dieMenge
Mengeder
derirrationalen
irrationalenZahlen
Zahlenabzählbar
abzählbar wäre,
wäre,
dann
wäre
auch
R
abzählbar,
denn
die
Vereinigung
von
zwei
dann wäre auch R abzählbar, denn die Vereinigung von zwei
abzählbaren
abzählbarenMengen
Mengenist
istwieder
wiederabzählbar:
abzählbar:Widerspruch!
Widerspruch!
Also
Alsomuss
mussdie
dieMenge
Mengeder
derirrationalen
irrationalenZahlen
Zahlen überabzählbar
überabzählbarsein.
sein.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 6
6
3.3
3.3Folgen
Folgen
Definition:
Definition: Eine
EineFolge
Folgereeller
reellerZahlen
Zahlenist
isteine
eine(unendliche)
(unendliche)Folge
Folge aa11,,
aa2,, aa3,,...
...von
vonreellen
reellenZahlen
Zahlen aai..
2
3
i
Beispiele:
Beispiele:
1,
1,2,
2,3,
3,4,
4,5,
5,...
...
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1, 1, 1, 1, 1, 1,...
...
11–1,
–1,1,
1,–1,
–1,1,
1,–1,
–1,1,
1,...
...
1,
1/2,
1/3,
1/4,
...
1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
3,
3,1,
1,4,
4,1,
1,5,
5,9,
9,...
...
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Seite 13
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Schreibweisen
Schreibweisenfür
fürFolgen
Folgen
Für
Fürdie
dieFolge
Folge aa11,, aa22,, aa33,,...
...schreiben
schreibenwir
wirauch
auch (a
(ann)) oder
oder (a
(ann)n∈N
)n∈N..
Beispiele:
Beispiele:
(n)
,
(n)n∈N
n∈N ,
(1)
(1)n∈N ,,
n∈N
n+1
((–1)
((–1)n+1)n∈N
)n∈N
(1/
)
.
(1/n n∈N
) .
n n∈N
Eine
EineFolge
Folgemuss
mussnicht
nichtmit
mitder
derNummer
Nummer 11 beginnen;
beginnen;
auch
(a
)
ist
eine
Folge.
auch (an n) ≥ 5 ist eine Folge.
n n≥5
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 7
7
Schreibweise
Schreibweise
Die
Dieeinzige
einzigeRegel:
Regel:Für
Fürjedes
jedes nn muss
mussklar
klarsein,
sein,was
was aann ist!
ist!
Eine
EineFolge
Folgekann
kanndurch
durch eine
eineFormel
Formelangegeben
angegebenwerden.
werden.
Man
Mankann
kannaber
aberauch
auch zwei
zwei(oder
(odermehrere)
mehrere)Formeln
Formelnverwenden:
verwenden:
aan ==1,
1,falls
falls nn ungerade
ungeradeist
ist
n
aan == –n,
falls
n
gerade
ist.
–n, falls n gerade ist.
n
Man
Mankann
kanneine
eineFolge
Folgeaber
aberauch
auch verbal
verbal beschreiben:
beschreiben:
2
aan ist
n
2
,
falls
n
eine
Primzahl
ist;
ist n , falls n eine Primzahl ist;
n
sonst
sonstist
ist aann==1,
1,
es
essei
seidenn
denn nn==2005;
2005;inindiesem
diesemFall
Fallist
ist aann gleich
gleichder
derAnzahl
Anzahlder
der
Hörer
der
WGMS
IV.
Hörer der WGMS IV.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Konvergente
KonvergenteFolgen:
Folgen:Die
DieVorstellung
Vorstellung
Wichtig
Wichtig und
und zentral
zentral für
fürdie
dieAnalysis
Analysisist
istder
derKonvergenzbegriff.
Konvergenzbegriff.
Vorstellung:
Vorstellung:Eine
EineFolge
Folgekonvergiert,
konvergiert,wenn
wenndie
dieFolgenglieder
Folgengliedereiner
einer
gewissen
Zahl
(dem
„Grenzwert“)
beliebig
nahe
kommen.
gewissen Zahl (dem „Grenzwert“) beliebig nahe kommen.
Diese
Dieseintuitive
intuitiveVorstellung
Vorstellungwollen
wollenwir
wirpräzisieren.
präzisieren.
Beispiele:
Beispiele:
konvergent
konvergentJ
J
nicht
konvergent
nicht konvergentL
L
1,
1,1/2,
1/2,1/3,
1/3,1/4,
1/4,...
...
1,
–1,
1,
–1,
1,
–1,
1, –1, 1, –1, 1, –1,1,
1,...
...
1000,
1000,100.000,
100.000,1.000.000,
1.000.000,1,
1,1/2,
1/2,1/3,
1/3,1/4,
1/4,...
...konvergent
konvergentJ
J
1,
1/2,
1,
1/3,
1,
1/4,
1,
1/5,
1,
1/6,
1,
1/7,
...
nicht
konvergent
1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, 1, 1/5, 1, 1/6, 1, 1/7, ... nicht konvergentL
L
1,
1,–1/2,
–1/2,1/4,
1/4,–1/8,
–1/8,1/16,
1/16,–1/32,
–1/32,...
...
konvergent
konvergentJ
J
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Seite 8
8
Konvergente
KonvergenteFolgen:
Folgen:Beschreibungen
Beschreibungen
Was
Wasbedeutet
bedeutet„konvergent“?
„konvergent“?Wir
Wirbeschreiben
beschreibendieses
diesesPhänomen
Phänomen
ininsechs
Schritten
mit
zunehmender
mathematischer
Präzision.
sechs Schritten mit zunehmender mathematischer Präzision.
Sei
Sei (a
(ann)) eine
eineFolge
Folge und
und aa eine
einereelle
reelleZahl.
Zahl.
0.
0.Beschreibung.
Beschreibung. Eine
Eine Folge
Folge von
von Punkten
Punkten der
der Zahlengerade
Zahlengerade nähert
nähert
sich
„immer
mehr“
einem
Punkt.
sich „immer mehr“ einem Punkt.
1.
1.Beschreibung.
Beschreibung. Eine
EineFolge
Folgekonvergiert,
konvergiert,wenn
wennsie
sieeinen
einen „Grenzwert“
„Grenzwert“
hat.
hat.
2.
2.Beschreibung.
Beschreibung. Die
DieFolge
Folge(a
(ann))konvergiert
konvergiertgegen
gegenden
denGrenzwert
Grenzwert a,
a,
wenn
die
Folgenglieder
a
mit
wachsendem
n
der
Zahl
a
immer
wenn die Folgenglieder an mit wachsendem n der Zahl a immer
n
näher
näherkommen.
kommen.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Definition
Definition
3.
3.Beschreibung.
Beschreibung. Die
DieFolge
Folge(a
(ann))konvergiert
konvergiertgegen
gegenden
denGrenzwert
Grenzwert a,
a,
wenn
wennininjeder
jedernoch
nochso
sokleinen
kleinen „Umgebung“
„Umgebung“ von
von aa fast
fastalle
alle
Folgenglieder
Folgenglieder aann liegen.
liegen.
4.
4.Beschreibung
Beschreibung(und
(undschon
schonfast
fastdie
dieformale
formaleDefinition):
Definition):Die
DieFolge
Folge
(a
(an)) konvergiert
konvergiertgegen
gegenden
denGrenzwert
Grenzwert a,
a,wenn
wennfür
fürjedes
jedes(noch
(nochso
so
n
kleine)
kleine) εε>>00 ab
abeiner
einergewissen
gewissenNummer
Nummer NN alle
alle Folgenglieder
Folgenglieder
höchsten
den
Abstand
ε
von
a
haben.
höchsten den Abstand ε von a haben.
5.
5. Beschreibung
Beschreibung (die
(die formale
formale Definition):
Definition): Die
DieFolge
Folge (a
(ann)) konvergiert
konvergiert
gegen
eine
reelle
Zahl
a
(ihren
Grenzwert),
wenn
es
für
jede
gegen eine reelle Zahl a (ihren Grenzwert), wenn es für jedereelle
reelle
Zahl
Zahl εε>>00 eine
eineNummer
Nummer NN gibt,
gibt,so
sodass
dassfür
füralle
alle Folgenglieder
Folgenglieder aann
mit
mit nn ≥≥NN die
dieUngleichung
Ungleichung a
an–a
–a<< εε gilt.
gilt.
n
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Mai 2005
Seite 18
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 9
9
Beispiele
Beispiele
(a)
(a) Die
DieFolge
Folge (1/n)
(1/n) konvergiert
konvergiertund
undhat
hatden
denGrenzwert
Grenzwert aa==0.
0.
Denn
Dennfür
füralle
alle εε>>00 existiert
existiertein
ein NN mit
mit 1/N
1/N<<ε.ε.Dann
Danngilt
gilt
1/N
1/N––0
0==1/N
1/N ––00==1/N
1/N<<εε
Erst
Erstrecht
rechtgilt
giltdann
dannfür
füralle
alle nn ≥≥N:
N:
1/n
1/n––0
0==1/n
1/n ––00==1/n
1/n<<1/N
1/N<<ε.ε.
(b)
(b) Die
DieFolge
Folge ((n–1)/n)
((n–1)/n) konvergiert
konvergiertund
undhat
hatden
denGrenzwert
Grenzwert 1.
1.
Denn
sei
ε
>
0
beliebig.
Dann
existiert
ein
N
mit
1/N
<
ε.
Also
Denn sei ε > 0 beliebig. Dann existiert ein N mit 1/N < ε. Alsoist
ist
(N–1)/N
(N–1)/N––1
1== –1/N
–1/N== 1/N
1/N==1/N
1/N<<ε.ε.
Dann
gilt
auch
für
alle
n
≥
N:
Dann gilt auch für alle n ≥ N:
(n–1)/n
(n–1)/n––1
1== –1/n
–1/n== 1/n
1/n==1/n
1/n ≤≤1/N
1/N<< ε.ε.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Wann
Wannkonvergiert
konvergierteine
eineFolge
Folgenicht?
nicht?
Auch
Auchdas
daswerden
werdenwir
wirauf
aufverschiedenen
verschiedenenSprachebenen
Sprachebenenbeschreiben.
beschreiben.
1.
1.Beschreibung:
Beschreibung: Eine
EineFolge
Folge konvergiert
konvergiertnicht,
nicht,wenn
wennsie
siekeinen
keinen
Grenzwert
hat.
Grenzwert hat.
2.
2.Beschreibung:
Beschreibung: Die
DieFolge
Folge (a
(ann)) konvergiert
konvergiert nicht,
nicht,wenn
wennes
eskeine
keine
reelle
Zahl
gibt,
der
die
Folgenglieder
an
mit
wachsendem
n
reelle Zahl gibt, der die Folgenglieder an mit wachsendem n
immer
immernäher
näherkommen.
kommen.
3.
3.Beschreibung:
Beschreibung: Die
DieFolge
Folge (a
(ann)) konvergiert
konvergiertnicht,
nicht,wenn
wennes
esfür
fürjede
jede
Zahl
a
eine
kleine
„Umgebung“
von
a
gibt,
so
dass
außerhalb
Zahl a eine kleine „Umgebung“ von a gibt, so dass außerhalb
unendlich
unendlichviele
vieleFolgenglieder
Folgenglieder an
an liegen.
liegen.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 10
10
Formale
FormaleBeschreibung
Beschreibung
4.
4.Beschreibung:
Beschreibung: Die
DieFolge
Folge (a
(ann)) konvergiert
konvergiertnicht,
nicht,wenn
wennes
esfür
fürjede
jede
reelle
Zahl
a
ein
ε
>
0
gibt,
so
dass
unendlich
viele
Folgenglieder
reelle Zahl a ein ε > 0 gibt, so dass unendlich viele Folgenglieder
aan außerhalb
der ε-Umgebung von a liegen.
n außerhalb der ε-Umgebung von a liegen.
5.
5.Beschreibung
Beschreibung(formal):
(formal): Die
DieFolge
Folge (a
(ann)) konvergiert
konvergiertnicht,
nicht,wenn
wennes
es
für
alle
reellen
Zahlen
a
ein
ε
>
0
gibt,
so
dass
für
jede
Nummer
für alle reellen Zahlen a ein ε > 0 gibt, so dass für jede Nummer NN
gilt:
gilt:
Es
Esgibt
gibtein
einFolgenglied
Folgenglied aann mit
mit nn ≥≥N,
N,für
fürdas
dasdie
dieUngleichung
Ungleichung
a
ann–a
–a>> εε
gilt.
gilt.
Wenn
Wenneine
eineFolge
Folgenicht
nichtkonvergiert,
konvergiert,sagt
sagtman
manauch,
auch,sie
sie divergiert.
divergiert.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Beispiele
Beispiele
(a)
(a) Die
DieFolge
Folge 1,
1,2,
2,3,
3,4,
4,5,
5,...
...divergiert
divergiert(konvergiert
(konvergiertnicht).
nicht).
Denn
Dennwir
wirwählen
wählen εε==1.
1.Dann
Dannhaben
habenfür
fürjede
jedereelle
reelleZahl
Zahl aa unendlich
unendlich
viele
Folgenglieder
einen
Abstand
größer
als
ε
(=
1)
von
a.
viele Folgenglieder einen Abstand größer als ε (= 1) von a.
Dies
Diessind
sindalle
alleFolgenglieder,
Folgenglieder,die
diegrößer
größerals
als a+1
a+1 oder
oder
kleiner
kleinerals
als a–1
a–1 sind.
sind.
(b)
(b) Die
DieFolge
Folge 1,
1,–1,
–1,1,
1,–1,
–1,1,
1,...
... konvergiert
konvergiertnicht.
nicht.
Denn
ählen
fü
Denn wir
wir ww
ählen εε == 1/4.
1/4. Dann
Dann haben
haben ü
frr jede
jede reelle
reelle Zahl
Zahl aa die
die
Folgenglieder
1
oder
die
Folgenglieder
–1
einen
Abstand
>
1/4.
Folgenglieder 1 oder die Folgenglieder –1 einen Abstand > 1/4.
Also
Alsokann
kannkeine
keineZahl
Zahl aa ein
einGrenzwert
Grenzwertdieser
dieserFolge
Folgesein.
sein.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 11
11
Cauchy-Folge
Cauchy-Folge
Frage:
Frage: Kann
Kannman
mandie
dieKonvergenz
Konvergenzeiner
einerFolge
Folgeauch
aucherkennen,
erkennen,
wenn
man
den
Grenzwert
nicht
kennt?
wenn man den Grenzwert nicht kennt?
Definition.
Definition.Sei
Sei (a
(ann)) eine
eineFolge.
Folge.Man
Mansagt,
sagt,dass
dass (a
(ann)) eine
eine CauchyCauchyFolge
ist
bzw.
dass
die
Verdichtungseigenschaft
gilt,
wenn
es
Folge ist bzw. dass die Verdichtungseigenschaft gilt, wenn esfür
für
jedes
jedes(noch
(nochso
sokleine)
kleine) εε>>00 eine
eineNummer
Nummer NNso
sogibt,
gibt,dass
dassfür
füralle
alle
Folgenglieder
an
und
am
mit
n,
m
≥
N
die
Ungleichung
Folgenglieder an und am mit n, m ≥ N die Ungleichung
a
ann–a
–ann<< εε
gilt.
gilt.(A.-L.
(A.-L.Cauchy,
Cauchy,franz.Mathematiker,
franz.Mathematiker,1789
1789 ––1857)
1857)
Vorstellung:
Vorstellung:„Späte
„SpäteGlieder“
Glieder“ der
derFolge
Folgekommen
kommensich
sichimmer
immernäher.
näher.
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Seite 23
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Konvergente
KonvergenteFolgen
Folgensind
sindCauchy-Folgen
Cauchy-Folgen
3.3.1
3.3.1Satz.
Satz.Jede
Jedekonvergente
konvergenteFolge
Folgeist
isteine
eineCauchy-Folge.
Cauchy-Folge.
Beweis.
Beweis. Sei
Sei (a
(ann)) eine
einekonvergente
konvergenteFolge
Folgemit
mitGrenzwert
Grenzwert a.
a.
Idee:
Idee: Da
Dasich
sichspäte
späteGlieder
Gliederder
derFolge
Folgeimmer
immerweniger
wenigervom
vomGrenzwert
Grenzwert
unterscheiden,
können
sich
diese
Glieder
auch
untereinander
unterscheiden, können sich diese Glieder auch untereinandernicht
nicht
stark
starkunterscheiden.
unterscheiden.Genauer
Genauergesagt:
gesagt:Der
DerAbstand
Abstandzweier
zweier
Folgenglieder
a
,
a
kann
höchstens
doppelt
so
groß
Folgenglieder an , am kann höchstens doppelt so großsein
seinwie
wieder
der
n
m
Abstand
Abstandvon
von aann bzw.
bzw. aamm von
von a.a.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 12
12
Beweis
Beweis
Dies
Diesbeschreiben
beschreibenwir
wirnun
nungenauer:
genauer:
Sei
ε
eine
beliebige
reelle
Sei ε eine beliebige reelleZahl
Zahl>>0.
0.
Wir
Wirwenden
wendendie
dieDefinition
Definitionder
derKonvergenz
Konvergenzvon
von (a
(ann)) auf
auf ε/2
ε/2 an.
an.
Dann
Danngibt
gibtes
eseine
eineNummer
Nummer N,
N,so
sodass
dassfür
füralle
alle Folgenglieder
Folgenglieder aann mit
mit
nn≥≥NN die
Ungleichung
a
–a
<
ε/2
gilt.
die Ungleichung an –a < ε/2 gilt.
n
Seien
Seiennun
nun n,m
n,m≥≥N.
N.Dann
Danngilt:
gilt:
a
ann–a
–amm≤≤a
ann–a
–a++a–a
a–amm<<ε/2
ε/2++ε/2
ε/2==ε.ε.
Also
Alsogilt
giltdie
dieVerdichtungseigenschaft.
Verdichtungseigenschaft.Somit
Somitist
ist (a
(ann))eine
eineCauchyCauchyFolge.
Folge.
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Seite 25
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Vollständigkeit
Vollständigkeitvon
von RR
Mit
MitCauchy-Folgen
Cauchy-Folgenkann
kannman
mannicht
nichtnur
nurkonvergente
konvergenteFolgen
Folgen
beschreiben,
deren
Grenzwert
man
nicht
kennt,
sondern
beschreiben, deren Grenzwert man nicht kennt, sondernauch
auch
solche,
solche,von
vondenen
denenes
esden
denGrenzwert
Grenzwert––bislang
bislang––gar
garnicht
nichtgibt.
gibt.
Man
Mankann
kanndie
diereellen
reellenZahlen
Zahlenauch
auchso
soeinführen,
einführen,dass
dassman
manfordert,
fordert,
dass
jede
Cauchy-Folge
konvergiert.
Man
spricht
von
der
dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Man spricht von der
Vollständigkeit
Vollständigkeitder
derreellen
reellenZahlen.
Zahlen.
Dies
Diessoll
sollim
imfolgenden
folgendengeschehen.
geschehen.
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Seite 26
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 13
13
3.4
3.4Was
Wassind
sindreelle
reelleZahlen
ZahlenIIII
Wir
Wirwerden
werdenjetzt
jetztnoch
nochdrei
dreimathematische
mathematischeBeschreibungen
Beschreibungender
der
entscheidenden
Eigenschaften
der
reellen
Zahlen
angeben.
entscheidenden Eigenschaften der reellen Zahlen angeben.
Alle
Alledrei
dreiBeschreibungen
Beschreibungensind
sindmathematisch
mathematischgleichwertig,
gleichwertig,aber
aberaus
aus
begrifflicher
begrifflichersicht
sichtunterschiedlich
unterschiedlichschwierig
schwierigzu
zuverstehen.
verstehen.
Wir
Wirfordern
forderndrei
dreiverschiedene
verschiedeneDinge
Dingevon
vonden
denreellen
reellenZahlen:
Zahlen:Man
Man
soll
sollwie
wiegewohnt
gewohntmit
mitihnen
ihnenrechnen
rechnenkönnen,
können,sie
siesollen
sollensinnvoll
sinnvoll
bezüglich
bezüglich << geordnet
geordnetsein
seinund
undsie
siesollen
sollen „lückenlos“
„lückenlos“sein.
sein.
Grundforderung:
Grundforderung: Die
Diereellen
reellenZahlen
Zahlensollen
sollenmit
mit ++ und
und ⋅ ⋅ einen
einen
Körper
bilden.
Körper bilden.
Das
Dasheißt:
heißt:Man
Mankann
kannmit
mit ++ und
und ⋅ ⋅ wie
wieüblich
üblichrechnen.
rechnen.
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Seite 27
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Vollständigkeit
Vollständigkeit
3.
3.Beschreibung:
Beschreibung: Die
DieMenge
Mengeder
derreellen
reellenZahlen
Zahlenist
istvollständig.
vollständig.
Das
bedeutet,
dass
jede
Cauchy-Folge
in
R
konvergiert.
Das bedeutet, dass jede Cauchy-Folge in R konvergiert.
Die
DieBedeutung
Bedeutungdieses
diesesAxioms
Axiomsist
istfür
füruns
unsim
imAugenblick
Augenblicknoch
nochkaum
kaum
abschätzbar.
Tatsache
ist,
dass
die
Analysis
ohne
dieses
(oder
abschätzbar. Tatsache ist, dass die Analysis ohne dieses (oderein
ein
äquivalentes)
äquivalentes)Axiom
Axiomnicht
nichtfunktionieren
funktionierenwürde.
würde.
Damit
Damitsind
sindnicht
nichtnur
nurdie
dieGrenzwerte
Grenzwerteder
derkonvergenten
konvergentenFolgen
Folgenreelle
reelle
Zahlen,
sondern
umgekehrt:
Wir
fordern,
dass
jede
Folge,
die
Zahlen, sondern umgekehrt: Wir fordern, dass jede Folge, die
konvergieren
konvergierenkönnte
könnte(Cauchy
(Cauchy-Folge)
-Folge)auch
auchtatsächlich
tatsächlichkonvergiert!
konvergiert!
Mit
Mitanderen
anderenWorten:
Worten:Die
Diemeisten
meistenreellen
reellenZahlen
Zahlenexistieren
existieren
(zunächst)
(zunächst)nur
nurals
alsGrenzwerte
Grenzwertevon
vonCauchy-Folgen.
Cauchy-Folgen.
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 14
14
Anordnung
Anordnung
Auf
Auf RR gibt
gibtes
eseine
eineRelation
Relation << mit
mitfolgenden
folgendenEigenschaften:
Eigenschaften:
–– Für
Fürjejezwei
zweireelle
reelleZahlen
Zahlen aa und
und bb gilt
gilt aa<<b,
b,aa==bb oder
oder aa >>b.
b.
–– Wenn
Wennfür
fürdrei
dreireelle
reelleZahlen
Zahlen a,
a,bb und
und cc gilt
gilt aa<<bb und
und bb<<c,c,so
so gilt
gilt
auch
a
<
c.
(Transitivität
von
„<“.)
auch a < c. (Transitivität von „<“.)
–– Seien
Seien aa und
und bb reelle
reelle Zahlen
Zahlen mit
mit aa << b.
b. Dann
Dann gilt
gilt für
für jede
jede reelle
reelle
Zahl
r:
a
+
r
<
b
+
r
Zahl r: a + r < b + r
–– Ferner
Fernergilt
giltfür
fürjede
jede positive
positivereelle
reelleZahl
Zahl r:r: a⋅r
a⋅r<<b⋅r.
b⋅r.
–– Für
Fürjede
jedenegative
negativereelle
reelleZahl
Zahl rr gilt:
gilt: a⋅r
a⋅r>>b⋅r.
b⋅r.
(Monotoniegesetze
für
Addition
und
Multiplikation)
(Monotoniegesetze für Addition und Multiplikation)
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Dedekindscher
DedekindscherSchnitt
Schnitt
Durch
Durchjede
jedereelle
reelleZahl
Zahl ss kann
kannman
mandie
dieMenge
Menge RR inin„zwei
„zweiHälften“
Hälften“
AA und
B
zerschneiden.
Dazu
definieren
wir
und B zerschneiden. Dazu definieren wir
AA=={r{r ∈∈RR| | rr<<s}
s} und
und BB=={r{r ∈∈RR| | rr≥≥s}.
s}.
Dann
Dannhaben
habendie
dieMengen
Mengen AA und
und BB folgende
folgendeEigenschaften:
Eigenschaften:
••
AA und
und BB sind
sindnicht
nichtleer.
leer.
••
AA∪∪BB==R.
R.
••
Für
Füralle
alle aa ∈∈AA und
undalle
alle bb ∈∈BB gilt
gilt aa<<b.
b.
Jedes
JedesPaar
Paar A,
A,BB von
vonMengen
Mengenreeller
reellerZahlen
Zahlenmit
mitdiesen
diesen
Eigenschaften
Eigenschaftenheißt
heißtein
ein Schnitt
Schnitt(auch:
(auch:Dedekindscher
DedekindscherSchnitt);
Schnitt);
Richard
RichardDedekind
Dedekind(1831
(1831 --1916).
1916).
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Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 15
15
Beispiel
Beispiel
Bei
Beieinem
einemSchnitt,
Schnitt,der
derso
sokonstruiert
konstruiertist,
ist,
heißt
s
die
Trennungszahl.
heißt s die Trennungszahl.
Beispiel:
Beispiel:Im
ImFalle
Falle ss== √2
√2 geben
gebenwir
wireinige
einigeElemente
Elementevon
von AA und
und BB
an:
an:
–10;
–10;1;
1;1,3;
1,3;1,4;
1,4;1,41
1,41 ∈∈A,
A, 1,42;
1,42;1,415
1,415 ∈∈B.
B.
Ein
EinSchnitt
Schnitthat
hatpraktische
praktischeKonsequenzen:
Konsequenzen:Jede
JedeZahl,
Zahl,die
dieinin AA oder
oder
BB liegt,
ist
eine
untere
bzw.
obere
Abschätzung
der
Zahl
s.
liegt, ist eine untere bzw. obere Abschätzung der Zahl s.
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Seite 31
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Schnittaxiom
Schnittaxiom
4.
4.Beschreibung:
Beschreibung: Jeder
JederSchnitt
Schnittbesitzt
besitztgenau
genaueine
eineTrennungszahl.
Trennungszahl.
Das
Dasheißt:
heißt:Wenn
Wennimmer
immerwir
wirnichtleere
nichtleereMengen
Mengen AA und
und BB finden,
finden,
die
zusammen
alle
reellen
Zahlen
enthalten
und
die
Eigenschaft
die zusammen alle reellen Zahlen enthalten und die Eigenschaft
haben,
haben,dass
dassjedes
jedesElement
Elementaus
aus AA kleiner
kleinerist
istals
alsjedes
jedesElement
Elementaus
aus
B,
B,dann
danngibt
gibtes
eseine
einereelle
reelleZahl
Zahl s,s,so
sodass
dass AA und
und BB durch
durch
Trennung
Trennungder
derMenge
Mengeder
derreellen
reellenZahlen
Zahlenan
ander
derSchnittzahl
Schnittzahl ss
entstehen!
entstehen!
Das
DasSchnittaxiom
Schnittaxiomist
istdie
diemathematisch
mathematischpräzise
präziseFormulierung
Formulierungder
der
anschaulichen
Vorstellung,
dass
an
jeder
Stelle
(„wo
immer
man
anschaulichen Vorstellung, dass an jeder Stelle („wo immer man
durchschneidet“)
durchschneidet“)der
derZahlengerade
Zahlengeradeeine
einereelle
reelleZahl
Zahlliegt.
liegt.
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Seite 32
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 16
16
Obere
ObereSchranke
Schranke
Definition.
Definition.Sei
Sei M
M eine
eineMenge
Mengereeller
reellerZahlen.
Zahlen.Eine
Einereelle
reelleZahl
Zahl aa
heißt
heißteine
eine obere
obereSchranke
Schranke von
von M,
M,falls
fallsgilt
gilt
aa≥≥m
m für
füralle
alle m
m∈∈M.
M.
M
M heißt
heißtnach
nachoben
obenbeschränkt,
beschränkt,falls
falls M
M eine
eineobere
obereSchranke
Schrankehat.
hat.
Beispiele:
Beispiele: (a)
(a)Die
DieMenge
Menge M
M=={1,
{1,1/2,
1/2,1/3,
1/3,...}
...}ist
istnach
nachoben
oben
beschränkt;
obere
Schranken
sind
z.B.
1,
5,
10000000
beschränkt; obere Schranken sind z.B. 1, 5, 10000000usw.
usw.
(b)
(b)Die
DieMenge
Menge NN=={0,
{0,1,
1,2,
2,3,
3,...}
...} ist
istnicht
nichtnach
nachoben
obenbeschränkt.
beschränkt.
Ebenso
Ebensosind
sind Z,
Z,R,
R,QQ nicht
nichtnach
nachoben
obenbeschränkt.
beschränkt.
(c)
(c)Jede
Jedeendliche
endlicheMenge
Menge M
M ist
istnach
nachoben
obenbeschränkt:
beschränkt:Das
Dasgrößte
größte
Element
(Maximum)
von
M
ist
eine
obere
Schranke.
(Achtung:
Element (Maximum) von M ist eine obere Schranke. (Achtung:
unendliche
unendlicheMengen
Mengenhaben
habenmeist
meistkein
keingrößtes
größtesElement!)
Element!)
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Seite 33
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Untere
UntereSchranke
Schranke
Definition.
Definition.Eine
Einereelle
reelleZahl
Zahl aa heißt
heißteine
eine untere
untereSchranke
Schranke von
von M,
M,
falls
gilt
falls gilt
aa≤≤m
m für
füralle
alle m
m∈∈M.
M.
Die
DieMenge
Menge M
M heißt
heißtnach
nachunten
untenbeschränkt,
beschränkt,falls
falls M
M eine
eineuntere
untere
Schranke
besitzt.
Schranke besitzt.
Beispiele:
Beispiele: (a)
(a)Die
DieMenge
Menge M
M=={1,
{1,1/2,
1/2,1/3,
1/3,...}
...}ist
istnach
nachunten
unten
beschränkt;
untere
Schranken
sind
zum
Beispiel
0,
–1,
beschränkt; untere Schranken sind zum Beispiel 0, –1,–1000
–1000 usw.
usw.
(b)
Die
Menge
N
=
{0,
1,
2,
3,
...}
ist
nicht
nach
unten
beschränkt.
(b) Die Menge N = {0, 1, 2, 3, ...} ist nicht nach unten beschränkt.
Aber
Aber Z,
Z,R,
R,QQ sind
sindnicht
nichtnach
nachunten
untenbeschränkt.
beschränkt.
(c)
(c)Jede
Jedeendliche
endlicheMenge
Mengeist
istnach
nachunten
untenbeschränkt:
beschränkt:Das
Daskleinste
kleinste
Element
Element(Minimum)
(Minimum)von
von M
M ist
isteine
eineuntere
untereSchranke.
Schranke.
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Seite 34
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 17
17
Supremum
Supremum
Es
Esist
istkeine
keineKunst,
Kunst,große
großeobere
obereSchranken
Schrankenzu
zufinden;
finden;die
dieKunst
Kunstist,
ist,
möglichst
kleine
obere
Schranken
zu
finden.
möglichst kleine obere Schranken zu finden.
Definition.
Definition.Eine
Einereelle
reelleZahl
Zahl ss heißt
heißtkleinste
kleinsteobere
obereSchranke
Schranke
(Supremum)
(Supremum)von
von M,
M,falls
falls
(1)
(1)
(2)
(2)
ss eine
eineobere
obereSchranke
Schrankevon
von M
M ist,
ist,und
und
ss die
kleinste
obere
Schranke
von
die kleinste obere Schranke von M
M ist.
ist.
Die
DieBedingung
Bedingung(2)
(2)heißt,
heißt,dass
dasskeine
keineZahl
Zahl s's'<<ss eine
eineobere
obere
Schranke
von
M
ist.
Technisch
ausgedrückt:
Für
jede
Schranke von M ist. Technisch ausgedrückt: Für jedereelle
reelleZahl
Zahl s's'
<<ss gibt
gibtes
esein
ein m
m∈∈M
M mit
mit s's'<<m.
m.(Das
(DasElement
Element m
m ist
istein
ein „Zeuge“
„Zeuge“
dafür,
dass
s'
keine
obere
Schranke
ist.)
dafür, dass s' keine obere Schranke ist.)
Wir
Wirschreiben
schreibenauch
auch ss==sup(M).
sup(M).
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Mai 2005
Seite 35
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Beispiel
Beispiel
Das
DasSupremum
Supremumder
derMenge
Menge M
M=={9/10,
{9/10,99/100,
99/100,999/1000,
999/1000,...}
...} ist
ist 1.1.
Denn
Denn(1)
(1)ist
ist 11 eine
eineobere
obereSchranke
Schrankevon
von M.
M.
Zum
Nachweis
der
Bedingung
(2)
betrachten
Zum Nachweis der Bedingung (2) betrachtenwir
wireine
einebeliebige
beliebige
reelle
reelleZahl
Zahl s's'<<1.
1.Dann
Danngibt
gibtes
esimmer
immerein
einElement
Element m
m der
derMenge
Menge M
M
mit
s'
<
m.
mit s' < m.
Bemerkung.
Bemerkung.sup(M)
sup(M) muss
mussnicht
nichtininder
derMenge
Menge M
M liegen.
liegen.
Wenn
s
=
sup(M)
in
M
liegt,
nennt
man
das
Element
Wenn s = sup(M) in M liegt, nennt man das Element ss auch
auchdas
das
Maximum
von
M.
Maximum von M.
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Seite 36
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 18
18
Infimum
Infimum
Definition.
Definition.Wir
Wirnennen
nenneneine
einereelle
reelleZahl
Zahl ss größte
größteuntere
untereSchranke
Schranke
(Infimum)
von
M,
falls
(Infimum) von M, falls
(1)
(1) ss eine
eineuntere
untereSchranke
Schrankevon
von M
M ist,
ist,und
und
(2)
s
die
größte
untere
Schranke
von
M
(2) s die größte untere Schranke von M ist.
ist.
Die
DieBedingung
Bedingung(2)
(2)bedeutet,
bedeutet,dass
dasskeine
keineZahl
Zahl s's'>>ss eine
eineuntere
untere
Schranke
von
M
ist.
Schranke von M ist.
Das
Dasheißt
heißt::Für
Fürjede
jedereelle
reelleZahl
Zahl s's'>>ss gibt
gibtes
esein
ein m
m∈∈M
M mit
mit s's'>>m.
m.
(Das
Element
m
ist
ein
„Zeuge“
dafür,
dass
s'
keine
untere
(Das Element m ist ein „Zeuge“ dafür, dass s' keine untere
Schranke
Schrankeist.)
ist.)
Wir
Wirschreiben
schreibenauch
auch ss==inf(M).
inf(M).
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Seite 37
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Supremumsprinzip
Supremumsprinzip
Klar:
Klar:Eine
Einenach
nachoben
obenunbeschränkte
unbeschränkteMenge
Mengehat
hatkein
keinSupremum.
Supremum.
(Denn
eine
solche
Menge
hat
keine
obere
Schranke,
erst
(Denn eine solche Menge hat keine obere Schranke, erstrecht
rechtkeine
keine
kleinste
kleinsteobere
obereSchranke.)
Schranke.)Das
DasSupremumsprinzip
Supremumsprinzipsagt,
sagt,dass
dass
ansonsten
jede
Menge
ein
Supremum
hat.
ansonsten jede Menge ein Supremum hat.
5.5. Beschreibung.
Beschreibung.Jede
Jedenichtleere,
nichtleere,nach
nachoben
obenbeschränkte
beschränkteMenge
Menge
reeller
Zahlen
hat
ein
eindeutig
bestimmtes
Supremum.
reeller Zahlen hat ein eindeutig bestimmtes Supremum.
Entsprechend
Entsprechendgilt
giltauch
auch
Infimumsprinzip.
Infimumsprinzip.Jede
Jedenichtleere,
nichtleere,nach
nachunten
untenbeschränkte
beschränkteMenge
Menge
reeller
reeller Zahlen
Zahlen hat
hat ein
ein Infimum.
Infimum.
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Seite 38
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 19
19
Satz
Satzdes
desArchimedes
Archimedes
3.4.1
3.4.1Satz
Satzdes
desArchimedes.
Archimedes. Zu
Zujeder
jederreellen
reellenZahl
Zahl rr gibt
gibtes
eseine
eine
natürliche
Zahl
n
mit
n
>
r.
Mit
anderen
Worten:
Die
Menge
natürliche Zahl n mit n > r. Mit anderen Worten: Die Mengeder
der
natürlichen
natürlichen Zahlen
Zahlen ist
ist unbeschränkt.
unbeschränkt.
Beweis.
Beweis. Angenommen,
Angenommen,NN wäre
wärebeschränkt.
beschränkt.Dann
Danngäbe
gäbees
esnach
nach
dem
Supremumsprinzip
sup(N);
dieses
nennen
wir
s.
dem Supremumsprinzip sup(N); dieses nennen wir s.
Dann
Dannist
ist s–1
s–1 keine
keineobere
obereSchranke
Schrankevon
von N.
N.Also
Alsomuss
musses
eseine
eine
natürliche
Zahl
n
geben
mit
n
>
s–1.
(Sonst
wäre
s–1
eine
natürliche Zahl n geben mit n > s–1. (Sonst wäre s–1 eineobere
obere
Schranke
Schranke für
für N.)
N.)
Also
ist
s
<
n+1.
Also ist s < n+1.Also
Alsowäre
wäre ss kleiner
kleinerals
alsdie
dienatürliche
natürlicheZahl
Zahl n+1,
n+1,
und
somit
wäre
s
keine
obere
Schranke
von
N.
und somit wäre s keine obere Schranke von N.
Archimedes
Archimedes(287
(287v.v.Chr.
Chr.--212
212v.v.Chr.)
Chr.)
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Seite 39
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Satz
Satzdes
desEudoxos
Eudoxos
3.4.2
3.4.2Satz
Satzdes
desEudoxos.
Eudoxos. Zu
Zujedem
jedem εε>>00 gibt
gibtes
esein
ein nn ∈∈NN
mit
mit 1/n
1/n<<ε.ε.
Beweis.
Beweis. Nach
Nachdem
demSatz
Satzdes
desArchimedes
Archimedesgibt
gibtes
esein
ein nn ∈∈NN
mit
mit nn>>1/ε.
1/ε.
Dann
Dannist
ist εε>>1/n.
1/n.
Eudoxos
Eudoxos (400
(400 v.v. Chr.
Chr. --347
347 v.v. Chr.)
Chr.)
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Seite 40
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 20
20
3.5
3.5Betrag
Betragund
undUngleichungen
Ungleichungen
Definition.
Definition.Für
Füreine
einereelle
reelleZahl
Zahl aa definieren
definierenwir
wir
a
a==a,
a,falls
falls aa ≥≥00
a
a== –a,
–a,falls
fallsaa<<0.
0.
Wir
Wirnennen
nennen a
a den
denBetrag
Betragder
derreellen
reellenZahl
Zahl a.
a.
Beispiele:
Beispiele: 1000
1000==1000,
1000,–35
–35==35,
35,0
0==0,
0,–0,1
–0,1==0,1
0,1..
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Seite 41
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Eigenschaften
Eigenschaftender
derBetragsfunktion
Betragsfunktion
3.5.1
3.5.1Satz.
Satz.Die
DieBetragsfunktion
Betragsfunktionhat
hatfolgende
folgendeEigenschaften:
Eigenschaften:
a
≥
0
mit
a
=
0
genau
dann,
wenn
a
=
a ≥ 0 mit a = 0 genau dann, wenn a =00 ist.
ist.
ab
ab== a⋅b.
a⋅b.
a+b
a+b≤≤a
a++ b.
b.
Beweis.
Beweis. (a)
(a)Nach
NachDefinition
Definitionist
ist a
a nie
nienegativ.
negativ.
Klar:
Klar:0
0==0.
0.Wenn
Wenn a
a==00 ist,
ist,ist
istnach
nachDefinition
Definition aa ≥≥0.
0.Also
Alsoist
ist aa
== a;
a;da
da a
a==00 ist,
ist,muss
muss also
also aa==00 sein.
sein.
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Seite 42
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 21
21
Beweis
Beweis(b)
(b)
(b)
(b)Wenn
Wenneine
eineder
derZahlen
Zahlen a,
a,bb Null
Nullist,
ist,sind
sindbeide
beideSeiten
Seitengleich
gleich Null.
Null.
Seien
Seienalso
also aa ≠≠ 00 und
und bb≠≠ 0.0.
Wir
Wirunterscheiden
unterscheidenvier
vierFälle.
Fälle.
1.
1.Fall:
Fall:a,
a,bb>>0.
0.Dann
Dannist
istauch
auch ab
ab>>0,
0,also
also ab
ab==ab
ab==a⋅b.
a⋅b.
2.
2.Fall:
Fall:aa>>0,
0,bb<<0.
0.Dann
Dannist
istauch
auch ab
ab<<0,
0,also
also
ab
=
–ab
=
a⋅(–b)
=
a⋅b.
ab = –ab = a⋅(–b) = a⋅b.
3.
3.Fall:
Fall:aa<<0,
0,bb>>0.
0.Analog
Analogzu
zuFall
Fall2.
2.
4.
4.Fall:
Fall:a,
a,bb<<0.
0.Dann
Dannist
ist ab
ab>>0,
0,also
also
ab
=
ab
=
(–a)(–b)
=
a⋅b.
ab = ab = (–a)(–b) = a⋅b.
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Seite 43
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Beweis
Beweis(c)
(c)
(c)
(c)Wenn
Wenn aa und
und bb beide
beidepositiv
positivoder
oderbeide
beidenegativ
negativsind,
sind,dann
danngilt
gilt
a+b
=
a
+
b.
a+b = a + b.
Sei
Seialso
alsoeine
eineder
derbeiden
beidenZahlen,
Zahlen,sagen
sagenwir
wir a,
a,positiv,
positiv,die
dieandere
andere
(also
b)
negativ.
Dann
ist
a+b
≤
a
(falls
b
≤
a)
(also b) negativ. Dann ist a+b ≤ a (falls b ≤ a) oder
oder
a+b
a+b≤≤b
b(falls
(falls a
a≤≤b).
b).
In
jedem
Fall
ist
a+b
≤
a
In jedem Fall ist a+b ≤ a++ b.
b.
Bemerkung:
Bemerkung: Für
Für jede
jede reelle
reelle Zahl
Zahl gilt
gilt a
a== –a.
–a.Insbesondere
Insbesonderegilt
gilt
für
fürjejezwei
zweireelle
reelleZahlen
Zahlen aa und
und b:
b: a–b
a–b== b–a.
b–a.
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Mai 2005
Seite 44
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 22
22
Ungleichung
Ungleichungvom
vomMittelwert
Mittelwert
3.5.2
3.5.2Satz
Satz(Ungleichung
(Ungleichungvom
vomarithmetischen
arithmetischenMittel).
Mittel).
Seien
a
und
b
reelle
Zahlen
mit
a
≤
b.
Dann
gilt:
Seien a und b reelle Zahlen mit a ≤ b. Dann gilt:
aa≤≤(a+b)/2
(a+b)/2≤≤b.b.
Beweis.
Beweis. Wir
Wirzeigen
zeigen 2a
2a≤≤a+b
a+b und
und a+b
a+b ≤≤2b.
2b.
Zunächst
Zunächst folgt
folgt 2a
2a==a+a
a+a ≤≤a+b,
a+b,da
da aa ≤≤b.
b.
Entsprechend
Entsprechendergibt
ergibtsich
sich a+b
a+b≤≤b+b
b+b==2b,
2b,da
da aa ≤≤bb ist.
ist.
Durch
DurchMultiplikation
Multiplikationmit
mit ½
½ ergibt
ergibtsich
sichdaraus
darausdie
dieBehauptung.
Behauptung.
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Mai 2005
Seite 45
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Das
Das arithmetische
arithmetische Mittel
Mittel
Allgemein
Allgemeingilt:
gilt:
3.2.3
3.2.3Satz.
Satz.Seien
Seien aa11,, aa22,,...,
...,aann reelle
reelleZahlen,
Zahlen,wobei
wobei aa11 die
diekleinste
kleinste
dieser
Zahlen
(das
Minimum)
und
a
die
größte
(das
Maximum)
dieser Zahlen (das Minimum) und an die größte (das Maximum)ist.
ist.
n
Dann
Danngilt:
gilt:
aa1 ≤≤
1
a1 + a 2 + ... + a n
≤≤aan ..
n
n
Beweis:
Beweis:Übungsaufgabe.
Übungsaufgabe.
a1 + a 2 + ... + a n
Bemerkung:
Bemerkung:Man
Mannennt
nennt
n
Zahlen
Zahlen aa1,, aa2,,...,
...,aan..
1
2
das
dasarithmetische
arithmetischeMittel
Mittelder
der
n
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Mai 2005
Seite 46
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 23
23
Das
Dasgeometrische
geometrischeMittel
Mittel
Man
Mannennt
nenntdie
dieZahl
Zahl ab das
dasgeometrische
geometrischeMittel
Mittelder
derpositiven
positiven
reellen
Zahlen
a
und
b.
reellen Zahlen a und b.
Zum
ZumBeispiel
Beispielist
istdas
dasgeometrische
geometrischeMittel
Mittelder
derZahlen
Zahlen 22 und
und 88 gleich
gleich
4.
4.
3.2.4
3.2.4Satz
Satz(Ungleichung
(Ungleichungzwischen
zwischenarithmetischem
arithmetischemund
undgeometrigeometrischem
Mittel).
Seien
a
und
b
nichtnegative
reelle
Zahlen.
schem Mittel). Seien a und b nichtnegative reelle Zahlen.Dann
Danngilt:
gilt:
ab ≤≤(a+b)/2
(a+b)/2..
Kurz:
Kurz:Das
Dasgeometrische
geometrischeMittel
Mittelist
istnie
niegrößer
größerals
alsdas
dasarithmetische.
arithmetische.
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Mai 2005
Seite 47
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Beweis
Beweisder
derUngleichung
Ungleichung(I)
(I)
Beweis.
Beweis. Wir
Wirkönnen
können aa ≠≠ 00 und
und bb ≠≠ 00 voraussetzen.
voraussetzen.Wir
Wirformen
formendie
die
Behauptung
schrittweise
äquivalent
um:
Behauptung schrittweise äquivalent um:
ab ≤≤(a+b)/2
(a+b)/2
2
⇔
⇔ ab
ab≤≤((a+b)/2)
((a+b)/2)2
2
⇔
⇔ ab
ab≤≤(a+b)
(a+b)2// 44
2
⇔
⇔ 4ab
4ab≤≤(a+b)
(a+b)2
⇔
⇔
⇔
⇔
2
2
4ab
4ab≤≤aa2++2ab
2ab++bb2
2
00≤≤aa22–2ab
–2ab++bb2
2
⇔
⇔ 00≤≤(a–b)
(a–b)2..
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Mai 2005
Seite 48
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 24
24
Beweis
Beweisder
derUngleichung
Ungleichung(II)
(II)
2
Diese
Dieseletzte
letzteUngleichung
Ungleichung 00 ≤≤(a–b)
(a–b)2 ist
istaber
aberrichtig,
richtig,da
dadas
dasQuadrat
Quadrat
jeder
reellen
Zahl
positiv
oder
Null
ist;
also
ist
das
Quadrat
v
on
jeder reellen Zahl positiv oder Null ist; also ist das Quadrat von a–b
a–b
auch
auchnichtnegativ.
nichtnegativ.
Da
die
Da dieletzte
letzteUngleichung
Ungleichunggilt,
gilt,gilt
giltauch
auchdie
dieerste,
erste,also
alsogilt
giltdie
die
Behauptung.
Behauptung.
Achtung:
Achtung: Bei
Beidieser
dieserArt
Artder
derBeweisführung
Beweisführungmuß
mußman
mandarauf
daraufachten,
achten,
daß
wirklich
alle
Umformungen
Äquivalenzumformungen
sind.
daß wirklich alle Umformungen Äquivalenzumformungen sind.
Das
Dasheißt:
heißt:Aus
Ausder
deroberen
oberenfolgt
folgtdie
dieuntere
untere und
undaus
ausder
derunteren
unterenfolgt
folgtdie
die
obere.
obere.
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Mai 2005
Seite 49
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
3.6
3.6Summen
Summen
Wir
Wir werden
werden oft
oft viele
viele reelle
reelle Zahlen
Zahlen addieren.
addieren. Zum
Zum Beispiel:
Beispiel:
11++22++33++44++...
...++n,
n,
n
11++22++44++88++...
...++22n,,
aa1 ++ aa2 ++...
...++aann..
1
2
Diese
DieseSummen
Summenkann
kannman
manauf
aufzwei
zweiArten
Artendarstellen:
darstellen:
1.
1.Drei-Pünktchen-Schreibweise.
Drei-Pünktchen-Schreibweise.Diese
DieseSchreibweise
Schreibweiseist
istsuggestiv
suggestiv
und
undoft
oftunmittelbar
unmittelbarverständlich.
verständlich.Nachteil:
Nachteil:das
das„Muster“
„Muster“der
dereinzelnen
einzelnen
Terme
Termeist
istnicht
nichtexplizit
explizitklar.
klar.Zum
ZumBeispiel
Beispielist
istnicht
nichtklar,
klar,ob
ob
n
11++22++...
...++22n
n
eine
eineSumme
Summeaus
aus n+1
n+1 oder
oderaus
aus 22n Gliedern
Gliedernist.
ist.
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Mai 2005
Seite 50
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 25
25
Die
DieΣ-Notation
Σ-Notation
2.
2.Die
DieΣΣ--Notation
Notation(„sigma“).
(„sigma“). Diese
Dieseist
isteine
eineAbkürzung
Abkürzung für
füreine
eine
Summe.
Wir
definieren
Summe. Wir definieren
n
a k == aa ++aa ++......++aa ..
∑
k =1
11
22
nn
Vorteil:
Vorteil:Man
Mankann
kannden
denallgemeinen
allgemeinenTerm
Termdurch
durcheine
eineFormal
Formal
angeben.
angeben.
Zum
ZumBeispiel
Beispielkönnen
könnenwir
wirohne
ohneweiteres
weitereszwischen
zwischenden
denSummen
Summen
n
2
n
2k
∑
k =0
k
∑
k =1
und
und
unterscheiden.
unterscheiden.
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Seite 51
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Der
DerSummationsindex
Summationsindex
Die
DieVariable
Variable kk wird
wirdals
alsSummationsindex
Summationsindexbezeichnet.
bezeichnet.Statt
Statt kk wird
wird
oft
auch
i
oder
n
geschrieben.
oft auch i oder n geschrieben.
Der
DerSummationsindex
Summationsindexmuss
mussnicht
nichtbei
bei 11 anfangen
anfangen ––und
undnicht
nichtbei
bei nn
aufhören.
aufhören.Auch
AuchAusdrücke
Ausdrückeder
derForm
Form
∞
∞
5
bk
∑ a k ,, k∑
=10
k =−3
oder
oder
∑ ck
k = −∞
haben
habenihren
ihrenSinn.
Sinn.
Häufig
gibt
man
Häufig gibt manden
denSummationsindex
Summationsindexnicht
nichtdirekt,
direkt,sondern
sonderndurch
durch
eine
eineBedingung
Bedingungunter
unterden
den Σ-Zeichen
Σ-Zeichenan.
an.Beispiel:
Beispiel:
n
k
k
2 statt
2 .
∑
0≤ k≤ n
∑
k =0
Der
DerVorteil
Vorteildieser
dieserSchreibweise
Schreibweiseliegt
liegtinineiner
einersehr
sehrhohen
hohenFlexibilität.
Flexibilität.
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Seite 52
Kapitel 3: Die reellen Zahlen
Seite 26
26