Bereits bewiese - Fachschaft MathPhys

Ruprecht-Karls Universität Heidelberg
Fachschaft MathPhys
Vorkurs
Übungsbetrieb
Aufgabenvorschläge
Anmerkung:
Bereits bewiesene Sätze (auch aus den Vorträgen) dürfen benutzt werden. Es ist Euch
überlassen, welche Aufgaben Ihr rechnen lasst. Ihr solltet die Aufgaben aber voher einmal
gerechnet haben.
Logik: Seien A, B und C Aussagen. Beweise:
1. A ∧ w ⇔ A, A ∧ f ⇔ f
2. A ∨ w ⇔ w, A ∨ f ⇔ A
3. A ∧ B ⇔ B ∧ A, A ∨ B ⇔ B ∨ A
4. A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C, A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C
5. A ∧ A ⇔ A ⇔ A ∨ A
6. A ∨ (A ∧ B) ⇔ A
7. ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
8. ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
9. (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B)
Beweise mit Hilfe des direkten Beweisverfahrens:
1. Die Summe zweier gerader ganzer Zahlen ist gerade.
2. Das Produkt zweier ungerader ganzer Zahlen ist ungerade.
3. Die Summe dreier aufeinander folgender ganzer Zahlen ist durch 3 teilbar.
Pn
n(n+1)
4.
i=1 i =
2
5. Ist p ∈ N, p > 2 eine Primzahl, so hat sie die Gestalt p = 4k ± 1.
6. Ist n eine natürliche Zahl, dann ist (2n + 1)2 − 1 durch 8 teilbar.
Beweise mit Hilfe des indirekten Beweisverfahrens:
1. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 2, 3, 7 oder 8 ist, dann ist sie keine Quadratzahl.
P
2. Seien a1 , a2 , . . . , an ungerade ganze Zahlen, dann gilt: Ist ni=1 ai gerade, dann ist
die Anzahl n der Summanden gerade.
3. Die Summe (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + 1000) kann für keine natürliche Zahl n eine
Primzahl sein.
Widerspruchsbeweise
1
1. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
√
2. Für p eine beliebige Primzahl ist p irrational. (Eine eindeutige Primfaktorzerlegung
darf angenommen werden)
Beweise mit Hilfe der vollständigen Induktion:
1. n3 + 2n ist durch 3 teilbar.
2. n3 − n ist durch 6 teilbar.
3. n Elemente lassen sich auf 1 · 2 · · · · · n = n! Arten anordnen.
Pn
2
4.
i=1 (2i − 1) = n
Pn 2 n(n+1)(2n+1)
5.
i=1 i =
6
6.
Pn
i=1 i(i
+ 1) =
n(n+1)(n+2)
3
7. Für n ≥ 3 gilt: n2 > 2n + 1
8. Für n ≥ 5 gilt: 2n > n2
√
√
9. Für n ≥ 3 gilt: n · n > n + n
10. Für f (x) = eax+b ist f (n) (x) = an · eax+b
11. Für f (x) = (ex − t)2 ist f (n) (x) = 2n · e2x − 2t · ex
12. Für alle z ∈ R mit z > −1 gilt: (1 + z)n ≥ 1 + n · z
13. In eine Ebene werden Geraden eingezeichnet. Zeige: n Geraden teilen diese Ebene in
2
höchstens n +n+2
Gebiete.
2
14. Seien x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn > 0 positive reelle Zahlen mit x1 ·x2 · · · xn−1 ·xn = 1. Zeige:
Dann gilt x1 + x2 + ... + xn−1 + xn ≥ n.
2