Proseminar: Logik für Informatiker
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Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Agenda Warum eine Proseminar: Logik für Informatiker mächtigere Sprache? Prädikatenlogik Thema: Prädikatenlogik (1. Teil) als formale Sprache Beweisidee der Autor: Sebastian Ernst Prädikatenlogik Fragen Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Agenda Agenda 1. 2. • • Warum eine mächtigere Sprache? Agenda Warum eine mächtigere Sprache? 3. Prädikatenlogik als formale Sprache • • • • Prädikatenlogik als formale Sprache 4. Terme Formeln Freie und gebundene Variablen Substitution Beweisidee der Prädikatenlogik • Beweisidee der Einleitung Definitionen Natural Deduction Rules • • • Prädikatenlogik • Fragen 5. Beweisregeln für Gleichheit Beweisregeln für Allquantoren Beweisregeln für Existenzquantoren Äquivalenz der Quantoren Fragen Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Einleitung - Agenda Warum eine Entwurf der Prädikatenlogik um Elemente, eine Auswahl, etc. darstellen zu können Alle Schachtarbeiter sind älter als einige Gefreite. Einige Vögel können nicht fliegen. mächtigere Sprache? Prädikatenlogik - Grenzen der Aussagenlogik erreicht - Einführung von Prädikaten/Prädikatensymbolen: als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen - S(Fritz), G(Heiaar), Ä(Fritz,Heiaar) Verallgemeinerung mittels Individuenvariablen S(x), G(y) Ä(x,y) Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Definitionen Agenda Warum eine mächtigere Sprache? Prädikatenlogik als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen 1. Individuenvariablen: x, y, z, . . . , x1, x2, . . . 2. Individuenkonstanten: a, b, c, . . . , a1, a2, . . . 3. Funktionssymbole beliebiger Anzahl an Stellen: f, g, h, . . . , f1, f2, . . . 4. Prädikatssymbole beliebiger Anzahl an Stellen: P, Q, R, . . . , P1, P2, . . . 5. Junktoren: ∧ (und), ∨ (oder), ¬ (nicht) 6. Quantoren: ∀ (Allquantor – „für alle“), ∃ (Existenzquantor – „es gibt“) 7. Hilfszeichen: (, ), , (Komma) Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Definitionen Beispielsatz formal in Prädikatenlogik ausdrückt: Agenda Warum eine S(x): x ist ein Schachtarbeiter G(x): x ist ein Gefreiter Ä(x ,y): x ist älter als y mächtigere Sprache? Prädikatenlogik ∀x( S ( x) → (∃y (G ( y ) ∧ Ä ( x, y )))) als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen Gelesen als: „Für alle x gilt, wenn x ein Schachtarbeiter ist, dann gibt es ein y für das gilt, y ist ein Gefreiter und x ist älter als y“ - Prädikatenlogik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik Alle Definitionen, Interferenzregeln, Theoreme, algebraischen Umformungsregeln, etc der Aussagenlogik gelten auch in der Prädikatenlogik Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Terme - Agenda 1) 2) 3) Warum eine mächtigere Sprache? Prädikatenlogik Die Klasse der Terme wird induktiv definiert durch die folgenden drei Schritte. Jede Individuenvariable ist ein Term. Jede Individuenkonstante ist ein Term. Sind t1,...,tn Terme und f eine n-stellige Funktion, so ist auch f(t1, . . . , tn) ein Term. als formale Sprache - In BNF (Backus-Naur-Form): Beweisidee der t ::= x | c | f (t1,..., t 2) Prädikatenlogik Fragen - wobei x eine Variable ist, c ∈ C und f ∈ F C – Menge der Konstanten F – Menge der Funktionen Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Formeln Die Klasse der prädikatenlogischen Formeln wird induktiv definiert durch die folgenden vier Schritte: Agenda 1) Warum eine mächtigere Sprache? Prädikatenlogik 2) 3) als formale Sprache 4) Sind t1,…, tn Terme und P ein n-stelliges Prädikatensymbol, so ist P(t1,…, tn) eine Formel. Ist α eine Formel, so ist auch (¬α ) eine Formel. Falls α und β Formeln sind, so sind auch (α ∧ β) und (α ∨ β) Formeln. Falls α eine Formel ist und x eine Individuenvariable, so sind auch (∀ xα) und ( ∃xα) Formeln. Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen - In BNF (Backus-Naur-Form): α ::= P (t 1, t 2,..., tn) | (¬α ) | (α ∧ α ) | (α ∨ α ) | (α → α ) | (∀xα ) | (∃xα ) Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Formeln - Klammereinsparung möglich durch Bindungsregeln Agenda 1.) ∀ , ∃ und ¬ binden stärker als Warum eine mächtigere Sprache? 2.) Prädikatenlogik als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik ∧ bindet stärker als ∧ ∨ 3.) Binäre Operatoren gleicher Stärke werden als links geklammert angesehen. Bsp.: (( A ∧ B ) ∧ C ) ∧ D ) ⇔ A ∧ B ∧ C ∧ D Fragen Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Freie und gebundene Variablen Agenda - Warum eine mächtigere Sprache? Prädikatenlogik Definition: Sei α eine prädikatenlogische Formel. Dann ist x frei in α, wenn x ein Blatt im Syntaxbaum von α ist, und es keinen Knoten ∀x oder ∃x im Pfad von x zur Wurzel gibt. Andernfalls heißt x gebunden. als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) (∀x( P ( x) ∧ Q ( x))) → (¬P ( x) ∨ Q ( y )) Übersicht → •Quantoren Knoten •jeder Quantor hat Agenda einen Teilbaum ∨ ∀x Warum eine •Prädikatensymbol •n-viele Teilbäume mächtigere Sprache? Prädikatenlogik ∧ als formale Sprache ¬ Q P y Beweisidee der Prädikatenlogik P Q frei Fragen x gebunden x gebunden x frei Autor: Sebastian Ernst y Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Substitution Agenda Warum eine mächtigere Sprache? Prädikatenlogik als formale Sprache Definition: Sei x eine Variable, t ein Term und α eine Formel, so ist α [t / x ] definiert als die Formel, die man erhält, wenn man alle freien Vorkommen von x in α durch t ersetzt. - Trivial, aber es können unerwünschte Seiteneffekte auftreten Bsp.: S ( x) ∧ ∀y ( P ( x ) → Q ( y )) Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen - Sei nun t = f ( y , y ) und α [t / x ] die Substitution S ( f ( y , y )) ∧ ∀y ( P ( f ( y , y )) → Q ( y )) Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Substitution Agenda Warum eine mächtigere Sprache? Prädikatenlogik Definition: Gegeben sei ein Term t, eine Variable x und eine Formel α . Wir sagen „t ist frei für x in α“, wenn kein freies Vorkommen von x in α im Gültigkeitsbereich von ∀ y oder ∃ y für eine Variable y in t liegt. S ( x) ∧ ∀y ( P ( x ) → Q ( y )) als formale Sprache t ist nicht frei für x in α Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen - Lösung: Umbenennung der Variablen vor α [t / x] S ( f ( y , y )) ∧ ∀z ( P ( f ( y , y )) → Q ( z )) Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Natürliche Deduktionsregeln Agenda Warum eine 1. Beweisregeln für Gleichheit - Gleichheit ist wenn für alle Modelle gilt, das die Formeln oder Terme zum gleichen Wert ausgewertet werden Ziel: Erfüllung der Grundlagen der extensionalen Gleichheit Reflexivität (trivial), Symmetrie und Transitivität mächtigere Sprache? Prädikatenlogik als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen (natural deduction rules) Beweis der Transitivität: α ist hierbei t1 = x. 1 t2 = t3 2 t1 = t2 3 t1 = t3 Prämisse Prämisse =e 1,2 Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Natürliche Deduktionsregeln Agenda Warum eine 2. Beweisregeln für Allquantoren - Regel der Allquantoren-Eliminierung: ∀xα ∀xe α [t / x] mächtigere Sprache? Prädikatenlogik als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen (natural deduction rules) Ist ∀xα wahr, dann kann man x in α durch irgendeinen Term t ersetzen und folgern α [t / x] ist ebenfalls wahr - Erinnerung zur Verwendung einer Beweisbox: Variable x0 steht für einen unspezifizierten Wert aus dem Universum. Idee: beweise α für einen willkürlichen Term x0 und folgere ∀xα x0 darf nicht außerhalb dieser Box sein Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Natürliche Deduktionsregeln Agenda Warum eine mächtigere Sprache? (natural deduction rules) 2. Beweisregeln für Allquantoren - Beispiel: ∀x ( P ( x ) → Q ( x )), ∀x P ( x ) ∀x Q ( x) Prädikatenlogik als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Natürliche Deduktionsregeln Agenda Warum eine mächtigere Sprache? Prädikatenlogik (natural deduction rules) 3. Beweisregeln für Existenzquantoren - Regel der Existenzquantoren-Eliminierung: α [t / x] ∃xi ∃xα als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik wir können ∃xα herleiten, wenn α [t / x] für mindestens einen Term t existiert Fragen Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Natürliche Deduktionsregeln Agenda Warum eine mächtigere Sprache? (natural deduction rules) 3. Beweisregeln für Existenzquantoren - Beispiel: ∀x ( P ( x ) → Q ( x )), ∃xP ( x ) Prädikatenlogik als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen Autor: Sebastian Ernst ∃xQ (x ) Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Äquivalenz der Quantoren Hierbei verwenden wir das Zeichen -||- , als Ausdruck dafür das: ψ α und α ψ gilt. Agenda Warum eine mächtigere Sprache? Prädikatenlogik als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen … Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Äquivalenz der Quantoren Beweis von Theorem 1a) Agenda a) Hinrichtung: ¬∀xφ ∃x¬φ Warum eine mächtigere Sprache? Prädikatenlogik als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen - wir führen einen Widerspruchsbeweis – RAA (Reductio ad absurdum) - wir wollen mittels der Allquantoren-Eliminierung beweisen, dass es die Annahme ¬∃x¬P (x ) zu der Aussage Widerspruch zur Prämisse Autor: Sebastian Ernst ∀xP (x ) führt und somit zum Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Äquivalenz der Quantoren Beweis von Theorem 1a) Agenda a) Hinrichtung: ¬∀xφ ∃x¬φ Warum eine mächtigere Sprache? Prädikatenlogik als formale Sprache Widerspruch zur Beweisidee der Prädikatenlogik Annahme Fragen Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Äquivalenz der Quantoren Beweis von Theorem 1a) Agenda a) Rückrichtung: ∃x¬φ ¬∀xφ - gleiche Vorgehensweise Warum eine mächtigere Sprache? Prädikatenlogik als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Widerspruch zur Annahme Fragen Autor: Sebastian Ernst Proseminar: Logik für Informatiker Prädikatenlogik (1.Teil) Übersicht Agenda Warum eine mächtigere Sprache? Noch Fragen ??? Prädikatenlogik als formale Sprache Beweisidee der Prädikatenlogik Fragen Autor: Sebastian Ernst
