Rechnen mit komplexen Zahlen

Rechnen mit komplexen Zahlen
Generell: Man rechnet mit komplexen Zahlen nach denselben Regeln wie mit reellen Zahlen
und beachtet dabei nur noch, dass j 2 = −1 ist.
Addition/Subtraktion
(a + b · j) ± (c + d · j) = (a ± c) + (b ± d) · j
Also komponentenweise addieren/subtrahieren (wie 2-dimensionale Vektoren).
Beispiele Gegeben sind
Dann ist
z1 = 3 + 2 j,
z1 + z2 = 8 + 3 j,
z1 + z3 = 4
z2 = 5 + j,
z3 = 1 − 2 j
und
z1 − z2 = −2 + j.
Ist speziell z = a + b j und z = a − b j gegeben, so ist z + z = 2a und z − z = 2b · j, woraus
sich die oben schon erwähnten Formeln Re (z) = z+z
und Im (z) = z−z
ergeben.
2
2j
Multiplikation
(a + b · j) · (c + d · j) = ac + bc · j + ad · j + bd · j 2
= (ac − bd) + (bc + ad) · j
Beispiele Gegeben sind
Dann ist
z1 · z2 = 12 + 5 j
z1 = 2 + 3 j,
und
z2 = 3 − 2 j,
z3 = 7
z1 · z3 = 14 + 21 j.
Ist speziell wieder z = a + b j und z = a − b j gegeben, so ist das Produkt immer reell und
positiv :
z · z = a2 + b 2
Bei der Division hilft die Regel „Rechnen wie gewohnt und j 2 = −1 beachten“ erst einmal
nicht weiter. Man braucht noch die entscheidende
Idee: Wenn man mit der Konjugierten des Nenners erweitert, wird der Nenner reell . . .
Division
(a + b j) · (c − d j)
a + bj
=
c + dj
(c + d j) · (c − d j)
=
ac + bd bc − ad
+ 2
·j
c2 + d 2
c + d2
Beispiele
•
16 + 11 j
(16 + 11 j) · (2 − 5 j)
32 + 22 j − 80 j − 55 j 2
87 58
=
=
=
−
· j = 3 − 2j
2
2
2 + 5j
(2 + 5 j) · (2 − 5 j)
2 +5
29 29
27 − 11 j
(27 − 11 j) · (3 + 4 j)
81 − 33 j + 108 j − 44 j 2
125 75
=
=
=
+
· j = 5 + 3j
2
2
3 − 4j
(3 − 4 j) · (3 + 4 j)
3 +4
25
25
1+j
1
1 1
1
• Weitere:
=j
= − ·j
= −j
1−j
1+j
2 2
j
•