Strahlensätze - Schulamt Donaueschingen

Die Strahlensätze
Strahlensätze
Wenn zwei Strahlen mit gemeinsamem Zentrum von zwei
Parallelen geschnitten werden gilt
D
D
B
B
C
C
A
A
Z
Z
1. Strahlensatz:
ZD
ZC
=
ZB
ZA
2. Strahlensatz:
BD
AC
=
ZB
ZA
Strahlensätze – mögliche didaktische Zugänge
ein handlungsorientierter explorativer Zugang über die
Ähnlichkeit
1. Öffnen Sie Ihr Kuvert. Beschriften Sie die Dreiecke:
Die längste Seite mit „c“
Die kürzeste Seite mit „a“
Die mittellange Seite mit „b“
2. Messen Sie alle Seitenlängen
und tragen Sie die Maße in die
Tabelle ein.
3. Vervollständigen Sie die Tabelle,
in dem Sie alle angegebenen
Quotienten berechnen.
4. Bearbeiten Sie das
Arbeitsblatt mithilfe der
Dreiecke und der Daten der
Tabelle
Strahlensätze – mögliche didaktische
Zugänge
D
C
A
Z
In einem Ferienlager bekommen Patrick und
Rebecca die Aufgabe, die Breite eines Teiches zu
ermitteln.
Patrick erinnert sich, dass man so etwas mit
Dreiecken lösen kann und entwirft eine Skizze wie
im Bild.
Rebecca betrachtet die Skizze und meint: „Dreieck
CZA und Dreieck DZB sind ja ähnlich. Dann sind
auch die Winkel gleich. Ich glaube wir können die
Aufgabe lösen.“
Ähnlichkeit
Strahlensätze – mögliche didaktische Zugänge
zentrische Streckung - Maßstab
Original
Streckungsfaktor: 2
Maßstab der
Vergrößerung: k =
1,5
Streckungszentrum Z
Bild
Leitfrage:
Wenn sich die eine Seite verdoppelt, was
passiert dann mit den anderen Seiten?
Leitfrage:
Wenn sich die eine Seite verdoppelt, was
passiert dann mit den anderen Seiten?
guter Zugang, um schnell und verständlich
die Strahlensatzfigur zu erhalten.
guter Zugang, um den Verhältnisaspekt
des Quotienten zweier Seiten zu betonen.
Strahlensätze – mögliche didaktische Zugänge
Winkelfunktionen
c
a
c
a
α
α
b
b
c´
a´
c`
a`
α
α
b´
sin α =
a
c
b`
sin α =
a a´
=
c c´
Zweiter Strahlensatz
a´
c´
tan α =
a
b
tan α =
a
a`
=
b
b`
Erster Strahlensatz
a`
b`
Strahlensätze – mögliche didaktische Zugänge
Winkelfunktionen
α
sin α =
a
c
sin α =
α
α
a´
c´
a a´
=
c c´
tan α =
a
b
α
tan α =
a`
b`
a
a`
=
b
b`
Vorteile:
Gute Verknüpfung zu den Winkelfunktionen.
Aufgaben mit rechtwinkligen Dreiecken sind oft wahlweise mit Winkelfunktionen oder mit den
Strahlensätzen möglich.
Nachteil:
Schwere Übertragung auf beliebige Dreiecke.
Strahlensätze - Aufgabenbeispiel
Ein Schreiner soll in die Giebelwand eines Daches
eine rechteckige Regalwand einbauen
Berechne jeweils die Länge x (y,z).
a)
12 mm
15 mm
3,90 m
d)
8 mm
22 mm
x
x
10 mm
b)
1,6 cm
10 m
y
.
a) wie breit kann die Regalwand maximal sein,
wenn sie eine Höhe von 2,10 m haben soll?
b) welche maximale Höhe hätte die Regalwand,
wenn sie genau 4 m breit sein soll?
x
e)
3 cm
1,5 cm
5 cm
x
1,6 cm
c)
z
7 mm
2,1 m
3,3 cm
1,7 m
7 dm
x
Ibrahim behauptet, dass jede
Pyramide auf halber Höhe genau halb
so breit ist, wie am Boden.
Überprüfe Ibrahims Behauptung mit
den Strahlensätzen.
Strahlensätze - Aufgabenbeispiel