Vorlesung “Logik” Sommersemester 2012 Universität Duisburg
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Aussagenlogik Prädikatenlogik Aussagenlogik Prädikatenlogik Geschichte der Logik Vorlesung “Logik” Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Beginn in Griechenland: Aristoteles (384–322 v.Chr.) untersucht das Wesen der Argumentation und des logischen Schließens Verschiedene Werke, u.a.: Analytica priora, Analytica posteriora Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Barbara König Logik Seither: Weiterentwicklung der Logik, Formalisierung, Verwendung in der Mathematik und Informatik 1 Barbara König Aussagenlogik Prädikatenlogik Logik 14 Aussagenlogik Prädikatenlogik Syllogismen (I) Syllogismen (II) Aristoteles entwickelte den Begriff des Syllogismus: Alle Dackel sind Hunde Alle Hunde sind Tiere Dann sind alle Dackel Tiere A syllogism is discourse in which, certain things being stated, something other than what is stated follows of necessity from their being so. I mean by the last phrase that they produce the consequence, and by this, that no further term is required from without in order to make the consequence necessary. Keine Blume ist ein Tier Alle Hunde sind Tiere Dann ist keine Blume ein Hund Wenn alle Menschen sterblich sind und Sokrates ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblich. Barbara König Logik Alle P sind M Alle M sind S Alle P sind S Alle Delfine leben im Meer Alle Delfine sind Säugetiere Dann leben einige Säugetiere im Meer 15 Barbara König Logik (Barbara) Kein P ist M Alle S sind M Kein P ist S (Cesare) Alle M sind P Alle M sind S Einige S sind P (Darapti) 16 Aussagenlogik Prädikatenlogik Aussagenlogik Prädikatenlogik Verschiedene Logiken Aussagenlogik (I) George Boole (1848) Es gibt viele verschiedene Logiken: Aussagenlogik Prädikatenlogik höherer Stufe Verknüpfung von Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können, mit einfachen Operatoren (und; oder; nicht; wenn . . . , dann . . . ) Modale und temporale Logiken Beispiel: Prädikatenlogik (1. Stufe) Intuitionistische Logik Aussagen: “Es regnet”, “Die Straße ist nass” ... Verknüpfungen: Es regnet und die Straße ist nass. Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. Wenn die Straße nicht nass ist, dann regnet es nicht. Wir beschäftigen uns in dieser Vorlesung nur mit Aussagenlogik und Prädikatenlogik 1. Stufe. Barbara König Logik 17 Barbara König Aussagenlogik Prädikatenlogik Logik 18 Aussagenlogik Prädikatenlogik Aussagenlogik (II) Prädikatenlogik Der Stoff im Bereich “Aussagenlogik” umfasst unter anderem: Frege, Peano, Russell (Ende des 19. Jahrhunderts) Syntax der Aussagenlogik: Was sind Operatoren? Was ist eine Formel? Welche Formeln sind syntaktisch korrekt? Mit der Prädikatenlogik kann man zusätzlich Beziehungen zwischen “Objekten” beschreiben Semantik der Aussagenlogik: Was ist die Bedeutung einer Formel? Welche Formeln sind allgemeingültig, d.h. immer wahr? Welche Formeln sind unerfüllbar, d.h. immer falsch? existentielle Aussagen treffen: “es gibt ein x, so dass . . . ” universelle Aussagen treffen: “für jedes x gilt, dass . . . ” Beispiel: Für jede natürliche Zahl x gilt, dass es eine natürliche Zahl y gibt, so dass x kleiner als y ist. Verfahren und Methoden, die überprüfen, ob eine Formel allgemeingültig oder unerfüllbar ist Barbara König Logik 19 Barbara König Logik 20 Aussagenlogik Prädikatenlogik Aussagenlogik Prädikatenlogik Anwendungen in der Informatik (I) Anwendungen in der Informatik (II) Theorembeweiser: Der Computer beweist mathematische Sätze automatischer Beweis von wichtigen Sätzen im Bereich der Booleschen Algebren Modellierung und Spezifikation: Eindeutige Beschreibung von komplexen Systemen Verifikation: Beweisen, dass ein Programm das gewünschte Verhalten zeigt Logische Programmiersprachen: Prolog Schaltkreisentwurf: Schaltkreise lassen sich als logische Formeln darstellen Entwurf und Optimierung von Schaltungen Außerdem: Logik ist ein Paradebeispiel für Syntax und formale Semantik Datenbanken: Formulierung von Anfragen an Datenbanken Abfragesprache SQL (Structured query language) Ein Zitat von Edsger W. Dijkstra: Informatik = VLSAL (Very large scale application of logics) Künstliche Intelligenz: Schlussfolgerungen automatisieren, insbesondere in Expertensystemen Barbara König Logik (In Anspielung auf VLSI = Very large scale integration, ein Begriff aus dem Chipdesign) 21 Barbara König Aussagenlogik Prädikatenlogik Logik 22 Aussagenlogik Prädikatenlogik Formale Syntax und Semantik Probleme mit natürlicher Sprache (I) Auch wenn die Beispiele bisher mit natürlicher Sprache beschrieben wurden, werden wir in der Vorlesung meist auf natürliche Sprache verzichten. Problem: Zuordnung von Wahrheitswerten zu natürlichsprachigen Aussagen ist problematisch. Beispiele: Natürliche Sprache Es regnet und die Straße ist nass. Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. Für jede natürliche Zahl x gilt, dass es eine natürliche Zahl y gibt, so dass x kleiner als y ist. Beispiele: Formalisierung R ∧N R→N ∀x∃y (x < y ) Jede gerade Zahl größer als 4 ist die Summe zweier Primzahlen. (Goldbach’sche Vermutung, unbewiesen) Dieser Satz hat zwei Vehler. Frage: Warum nicht natürliche Sprache? Barbara König Logik 23 Barbara König Logik 24 Aussagenlogik Prädikatenlogik Aussagenlogik Prädikatenlogik Probleme mit natürlicher Sprache (II) Probleme mit natürlicher Sprache (III) Problem: Natürliche Sprache ist oft schwer verständlich. Beispiel: Auszug aus der “Analytica Priora” von Aristoteles Die Aussage: If the middle term is related universally to one of the extremes, a particular negative syllogism must result whenever the middle term is related universally to the major whether positively or negatively, and particularly to the minor and in a manner opposite to that of the universal statement. Der Beweis: For if M belongs to no N, but to some O, it is necessary that N does not belong to some O. For since the negative statement is convertible, N will belong to no M: but M was admitted to belong to some O: therefore N will not belong to some O: for the result is reached by means of the first figure. Again if M belongs to all N, but not to some O, it is necessary that N does not belong to some O: for if N belongs to all O, and M is predicated also of all N, M must belong to all O: but we assumed that M does not belong to some O. And if M belongs to all N but not to all O, we shall conclude that N does not belong to all O: the proof is the same as the above. But if M is predicated of all O, but not of all N, there will be no syllogism. Barbara König Logik Problem: Natürliche Sprache ist mehrdeutig. Beispiel: Ich sah den Mann auf dem Berg mit dem Fernrohr. 25 Aussagenlogik Prädikatenlogik Barbara König Logik 26 Aussagenlogik Prädikatenlogik Ich sah den Mann . . . Ich sah den Mann . . . (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr) Barbara König Logik ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr) 27 Barbara König Logik 28 Aussagenlogik Prädikatenlogik Aussagenlogik Prädikatenlogik Ich sah den Mann . . . Ich sah den Mann . . . ((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr)) Barbara König Logik (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr)) 29 Aussagenlogik Prädikatenlogik Barbara König Logik 30 Aussagenlogik Prädikatenlogik Ich sah den Mann . . . Ich sah den Mann . . . (((Ich sah den Mann) auf dem Berg) mit dem Fernrohr) ((Ich sah (den Mann auf dem Berg)) mit dem Fernrohr) ((Ich sah den Mann) (auf dem Berg mit dem Fernrohr)) 5 mögliche Interpretationen! (Ich sah ((den Mann auf dem Berg) mit dem Fernrohr)) (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr))) (Ich sah (den Mann (auf dem Berg mit dem Fernrohr))) Barbara König Logik 31 Barbara König Logik 32 Aussagenlogik Prädikatenlogik Aussagenlogik Prädikatenlogik Inhalt der Vorlesung Logik-Tools Aussagenlogik: Aussagenlogik: SAT-Solver: Überprüfen der Erfüllbarkeit von aussagenlogischen Formeln limboole (http://fmv.jku.at/limboole/) Grundbegriffe, Normalformen und Äquivalenz Resolution Prädikatenlogik: Prädikatenlogik: Anschauliche Lehrsoftware für die Prädikatenlogik Tarski’s World (http://www-csli.stanford.edu/hp/Tarski1.html) Theorembeweiser für die Prädikatenlogik 1. Stufe (basierend auf Resolution) otter (http://www.cs.unm.edu/~mccune/otter/) Grundbegriffe, Normalformen und Äquivalenz Herbrand-Theorie Resolution Grundlagen der Logikprogrammierung Barbara König Logik 33 Barbara König Logik 34
