Formelsammlung Physik
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GEWERBLICH-INDUSTRIELLE BERUFSSCHULE BERN BERUFSMATURITÄTSSCHULE Formelsammlung Physik Dr. Ruben Mäder David Kamber Inhalt Umgang mit Resultaten ...................................................................................... 1 Fluidstatik .......................................................................................................... 2 Ausdehnung von Körpern und Gasen ................................................................ 3 Wärmelehre ........................................................................................................ 4 Kinematik ohne Beschleunigung ....................................................................... 5 Kinematik mit konstanter Beschleunigung ........................................................ 6 Würfe und freier Fall.......................................................................................... 7 Gleichförmige Kreisbewegungen ....................................................................... 8 Kräfte ................................................................................................................. 9 Dynamik ........................................................................................................... 10 Statik ................................................................................................................ 11 Statik: Kräfteplan ............................................................................................. 12 Arbeit und Energieformen................................................................................ 13 Energieerhaltung im abgeschlossenen System ................................................. 14 Leistung ........................................................................................................... 14 Schwingungen und Wellen .............................................................................. 15 Elektrizität ........................................................................................................ 16 Trigonometrie und Vektoren ............................................................................ 18 Thermische Eigenschaften ausgewählter Stoffe............................................... 19 Stoffdaten ......................................................................................................... 20 Umgang mit Resultaten Faustregel für das Runden Zahl 25 2’500 0.00250 Eine Aufgabe wird „exakt“ gerechnet und am Schluss auf drei geltende Ziffern gerundet Geltende Ziffern 2 4 3 Angabe einer Einzelmessung Grösse = Messwert ± abs. Fehler Grösse = Messwert ± abs. Fehler Messwert Angabe mit absolutem Fehler b = ( 75 .0 ± 0.8 ) mm b = 75.0 mm ± 1.1% Angabe mit relativem Fehler relativer Fehler Angabe von Messergebnisse aus mehreren Messung Grösse = Mittelwert ± Standardabweichung 0.5 ⋅ ( 75.0 ± 0.8 ) mm Um Standardabweichung (Stdv) zu berechnen, siehe unten Excel, TI N‘Spire = (37.5 ± 0.4 ) mm = 37.5 mm ± 1.1% Rechenregeln Bei Summen und Differenzen werden die absoluten Fehler (abs. Stdv.) addiert Bei Produkten oder Divisionen werden die relativen Fehler (rel. Stdv )addiert Regression oder Ausgleichsgerade °C Gasausdehnung 120 Liegen x und y Datenpunkte vor, wird deren Zusammenhang mit einer Regressionsgerade berechnet (lineare Funktion = Ausgleichsgerade) 100 80 60 y = 0.31x + 88.296 40 20 Länge [mm] 0 0 20 40 60 80 100 Ein linearer Zusammenhang wird zwischen sechs Messwerte beobachtet. Diagramm zeigt Zylinderskolbenposition (resp. Volumen) gegenüber Temperatur aufgetragen. Microsoft Excel TI N’Spire Mittelwert und Standardabweichung : =MITTELWERT(B5:B14) =STABW(B5:B14) Haustaste home 3: List & Spreadsheet: Daten in einer Spalte eingeben. Menü 4. Statistics: 1 Stat Calculations, 1 One-Variable Stat. Diagramm: (x-y-Punkt) Menü „Diagramm“, Trendlinie hinzufügen Typ der Regressionsgerade: linear oder polynomisch, Optionen: Gleichung im Diagramm darstellen Mittelwert: x , Standardabweichung: 3: Linear Regression Daten in zwei Spalten X1 List: a[ ] (1. Spalte) Y1 List: b[ ] (2. Spalte) Frequency List: 1 (jeder Wert 1 Mal) Seite 1 σx Fluidstatik Symbol Grösse Einheit Dichte m ρ= V ρ Dichte kg/m3 m V Masse kg Volumen m3 p F A Druck (engl. pressure) Pa Kraft (engl. force) N 1 g kg kg = 1 = 103 3 ml l m Druck p= F A Fläche (engl. area) m 2 105 Pa = 1000 hPa = 1 bar 1 hPa = 1 mbar 133.3 Pa = 1 Torr 1 mmHg = 1 Torr Prinzip von Pascal F1 F2 = A1 A2 In einer ruhenden Flüssigkeit oder einem ruhenden Gas ist der Druck überall gleich gross, auch an den Begrenzungsflächen. Schweredruck ps = ρ ⋅ g ⋅ h ps Schweredruck Pa ρ Dichte der Flüssigkeit kg/m3 g h Ortsfaktor N/kg Tiefe m FG m Gewichtskraft N Masse kg FA VV Auftriebskraft N verdrängtes Volumen m3 Dichte des verdrängten Mediums kg/m3 (Erde 9.81 N/kg) Gewichtskraft FG = m ⋅ g Auftriebskraft FA = VV ⋅ ρ M ⋅ g ρM Nach Archimedes: Die Auftriebskraft eines Körpers in einem Medium (Flüssigkeit oder Gas) entspricht der Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums. Seite 2 Ein schwimmender Körper taucht genau soweit ein, bis Auftriebs- und Gewichtskraft gleich gross sind. Ein Teil des Körpers kann aus dem Wasser ragen. D.h.nicht das ganze Körpervolumen ist eingetaucht. Ausdehnung von Körpern und Gasen Symbol Grösse Einheit Temperaturskalen ϑ = T⋅ ϑ Temperatur °C T absolute Temperatur K l Gesamtlänge m ∆l l0 Längenänderung m Anfangslänge m α Längenausdehnungskoeffizient K −1 = ∆T Temperaturänderung K ∆V V0 γ Volumenänderung m3 Anfangsvolumen m3 Volumenausdehnungskoeffizient K −1 ρ( T + ∆T ) Dichte nach einer Temperaturänderung kg/m3 ρ0 Anfangsdichte kg/m3 m V0 ∆T Masse kg Anfangsvolumen m3 Temperaturänderung K p1 , p2 absoluter Druck des Zustands 1, 2 Pa V1 ,V2 Volumen des Zustands 1, 2 m3 T1 ,T2 Temperatur des Zustands 1, 2 K pLuft ≈ 1 bar °C − 273.15 °C K Der absolute Nullpunkt ist: 0 K = −273.15 °C Längenänderung l = l0 + ∆l ∆l = l0 ⋅ α ⋅ ∆T 1 K Volumenausdehnung ∆V = V0 ⋅ γ ⋅ ∆T Für feste Stoffe gilt: γ ≈ 3 ⋅ α Dichte bei Temperaturänderung ρ (T + ∆T ) = m V0 + V0 ⋅ γ ⋅ ∆T Gasgleichung p1 ⋅V1 p2 ⋅V2 = T1 T2 Absoluter Druck pabs = pLuft + prel . Normbedingungen 273.15 K 101‘325 Pa Normtemperatur TN Normdruck pN Auf Normbedingung umrechnen um Gasmassen zu bestimmen: Seite 3 Wärmelehre Wärme Q Innere Energie U Wärme fliesst von selbst von Körpern mit höherer Temperatur zu Körpern mit niedrigerer Temperatur. Zwei Körper sind im thermischen Gleichgewicht, wenn ihre Temperatur gleich ist. Dann fliesst keine Wärme. Die innere Energie eines Körpers kann erhöht werden, wenn Arbeit an ihm verrichtet oder wenn ihm Wärme zugeführt wird. Symbol Grösse Einheit Zu oder abgegebene Wärme Q Zugeführte oder abgegebene Wärme J Q > 0 Wärmeabgabe Q < 0 Wärmeaufnahme 1 kWh = 3.6 ⋅ 106 J = 3.6 MJ Q = m ⋅ c ⋅ ∆T m Masse kg c spezifische Wärmekapazität ∆T Temperaturänderung J kg ⋅ K K Spezifische Schmelz- und Verdampfungswärme Q = m ⋅ Lf Lf spezifische Schmelzwärme J/kg Q = m ⋅ Lv Lv spezifische Verdampfungswärme J/kg Qn Wärme von Stoff n J Wärmebilanzgleichung Q1 + Q2 + Q3 + Qn ... = 0 , cEis = 2.1 kJ/(kg ⋅ K) ϑMisch Mischtemperatur, Ende K ∆Tn = (ϑMisch − ϑn , Beginn ) L f = 333.8 kJ/kg cWasser = 4.182 kJ/(kg ⋅ K) Lv = 2256 kJ/kg ϑBeginn Anfangstemperatur des Stoffs n Leistung und Wirkungsgrad siehe Seite 15 Seite 4 K Kinematik ohne Beschleunigung Symbol Grösse Einheit s-t Diagramm Durchschnittsgeschwindigkeit v= ∆s ∆t v Durchschnittsgeschwindigkeit oder mittlere Geschwindigkeit m/s ∆s ∆t Strecke m Zeitdauer s Umrechnung 1 km/h = 3.6 m/s Steigung der Tangente = Momentangeschwindigkeit v(t) s-t Diagramm Gleichförmige geradlinige Bewegung s( t ) = s0 + v ⋅ t s( t ) Position in Abhängigkeit der Zeit t m s0 Position zum Zeitpunkt 0 s m t Zeit (Variable) s v Geschwindigkeit m/s Steigung = Geschwindigkeit Kreuzen: unterschiedliche Richtungen Überholen: gleiche Richtung Seite 5 Kinematik mit konstanter Beschleunigung Symbol Grösse Einheit v-t Diagramm Beschleunigung ∆v a= ∆t a Beschleunigung oder Verzögerung m/s ∆v ∆t Geschwindigkeitsänderung m/s Zeitdauer s v v1 Mittlere Geschwindigkeit m/s Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 1 m/s v2 Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 1 m/s 2 Mittlere Geschwindigkeit v +v v= 1 2 2 Weg (Fläche unter Kurve) mit mittlerer Geschwindgkeit berechnen s-t Diagramm Ort-Zeit-Gesetz 1 s( t ) = s0 + v0 ⋅ t + ⋅ a ⋅ t 2 2 s( t ) Position m t Zeit (Variable) s s0 Position zum Zeitpunkt 0 s m v0 Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0s m/s v( t ) Momentangeschwindigkeit m/s v0 Anfangsgeschwindigkeit m/s Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v( t ) = v0 + a ⋅ t s-t Diagramm zeigt eine Parabel Steigung = Geschwindigkeit v-t Diagramm: Geschwindigkeit-Weg-Gesetz v v 2 = v02 + 2 ⋅ a ⋅ ∆s Geschwindigkeit nach m/s ∆s ∆s zurückgelegte Strecke m ∆s = s − s0 v-t Diagramm zeigt eine Gerade Steigung = Beschleunigung Fläche = zurückgelegte Strecke Seite 6 Würfe und freier Fall Symbol Grösse Einheit Freier Fall / senkrechter Wurf 1 sz ( t ) = sz,0 + vz,0 ⋅ t − ⋅ g ⋅ t 2 2 s z ,0 Position Abwurfort vz,0 Abwurfgeschwindigkeit in z-Richtung zur Zeit t = 0 s m/s Freier Fall: v0 = 0 m/s . vz ( t ) = vz ,0 − g ⋅ t g Fallbeschleunigung m/s2 g = + 9.81 m/s2 v 2 = v02 − 2 ⋅ g ⋅ ∆ s z ∆sz Änderung der Höhe m t Steig Steigzeit beim senkrechten Wurf vz,0 Abwurfgeschwindigkeit in z-Richtung zur Zeit t = 0 s m/s szmax Maximale Höhe beim senkrechten Wurf m s z ,0 Position Abwurfor zur Zeit t = 0 s m tSteig v = 0,z g szmax 1 v2 = sz ,0 + ⋅ 0 2 g m Senkrechter Wurf nach oben v0 > 0 Für eine Höhe unterhalb der Abwurfstelle z0 ist ∆z = z - z0 < 0 . Vorzeichen: oben und recht positiv unten und links negativ Horizontaler Wurf Tipp: Zuerst die Fallzeit bestimmen: sz = −0.5 ⋅ g ⋅ t 2 x-Richtung anschliessend die Wurfweite s x = v0 ⋅ t s x ( t ) = v x ,0 ⋅ t sx ( t ) Position in x-Richtung zum Zeitpunkt t m vx = v0 = konstant v x ,0 Geschwindigkeit in x-Richtung m/s s z (t) Position in z-Richtung zum Zeitpunkt t m vz ( t ) Geschwindigkeit in zRichtung zum Zeitpunkt t m/s v Geschwindigkeitsbetrag z-Richtung 1 sz (t) = s0 ,z − ⋅ g ⋅ t 2 2 vz ( t ) = − g ⋅ t Betrag und Winkel v = vx2 + vz2 m/s v = vx,2 0 + ( g ⋅ t )2 tan ϕ = vz ( t ) − g ⋅ t = vx ,0 vx,0 ϕ Winkel zum Zeitpunkt t Seite 7 z.B.° Gleichförmige Kreisbewegungen Symbol Gleichförmige Kreisbewegungen v ∆b ∆b v= ∆t ∆t Grösse Einheit Umfangsgeschwindigkeit m/s Kreisbogen m Zeitdauer s ω Winkelgeschwindigkeit ∆ϕ ∆t T r Winkel im Bogenmass rad/s = s-1 rad Zeitdauer s Umlaufzeit s Radius s f Frequenz Hz aZ Zentripetalbeschleunigung m/s2 Winkelgeschwindigkeit ∆ϕ 2 ⋅ π ω= = ∆t T ω= v r 2 ⋅ π = 360° Zeit für eine gesamte Umdrehung Frequenz f = ω 2 ⋅π = 1 T Hz = 1 / s Zentripetalbeschleunigung v2 aZ = r Beschleunigung zeigt immer ins Kreiszentrum Seite 8 Kräfte Symbol Grösse Einheit Zwischen zwei Körpern wirkt eine Anziehungskraft, die Gravitationskraft. Das Gravitationsgesetz FG = G ⋅ m1 ⋅ m2 r2 FG Gravitationskraft G Gravitationskonstante Naturkonstante m1, m2 Masse kg mErde = 5.974 ⋅ 1024 kg r Abstand zwischen den Massenmittelpunkten m Erdradius rErde = 6.378 ⋅ 106 m FG m g Gewichtskraft N Masse kg Fallbeschleunigung m/s2 ∆F D ∆s Federkraft N Federkonstante N/m Federverlängerung m N N ⋅ m2 kg 2 G =6.674 ⋅10−11 N ⋅m 2 kg 2 Gewichtskraft FG = m ⋅ g Die Gewichtskraft folgt aus dem Gravitationsgesetzt: Erdmasse und Erdradius einsetzen. Federkraft (Federgesetz nach Hooke) ∆ F = D ⋅ ∆s Normalkraft FN Die Normalkraft FN ist die Kraft von der Unterlage auf einen Körper. Sie wirkt immer senkrecht zur Unterlage. Reibungskraft FR = µR ⋅ FN Es gibt drei Arten von Reibung: Gleitreibung, Haft- und Rollreibung. Sie werden nach derselben Formel berechnet. FR Reibungskraft N µR FN Reibungszahl - Normalkraft N FLW ρ Luftwiderstandskraft N Dichte von Luft kg/m3 CW A v Luftwiderstandbeiwert - Luftwiderstand FLW 1 = ⋅ ρ ⋅ CW ⋅ A ⋅ v 2 2 bei 20°C ca. 1.22 kg/m3 Ein Mass für die Aerodynamik 2 Windangriffsfläche m Geschwindigkeit m/s rechtwinklig zur Windgeschwindigkeit Schiefe Ebene F G = ( FGx , FGy ) FG Gewichtskraft, in Komponenten zerlegt N FGx = FG ⋅ sin (α ) FGx x-Komponente, «Hangabtriebskraft» N FN = FG ⋅ cos (α ) FN Normalkraft N FR = µR ⋅ FN FR Reibungskraft, Roll- oder Gleitreibung entgegen der Bewegungsrichtung N FGx > FReibung und FReibung nach oben: Der Körper gleitet nach unten Seite 9 Dynamik Symbol Grösse Einheit Grundgesetz der Dynamik 2. Newton’sches Gesetz ∑F ∑F Vektorsumme aller Kräfte Gesamtkraft N m Masse kg a Beschleunigung m/s2 i i = m⋅a i i Bewegungsgesetz: Die Gesamtkraft, welche auf einen Körper wirkt, ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung. Trägheitsgesetz 1. Newton’sches Gesetz Wenn keine Gesamtkraft auf einen Körper wirkt, so ändert sich seine Geschwindigkeit nicht. Wechselwirkungsgesetz 3. Newton’sches Gesetz 1F 2 = − 2 F1 1 F2 Aktionskraft N 2 F Reaktionskraft N 1 Körper eins wirkt auf Körper zwei Körper zwei wirkt auf Körper eins Aktions- und Reaktionskraft greifen an verschiedenen Körpern an. Bezugsystem Wir wählen für unsere Betrachtungen immer unbeschleunigte Bezugssysteme (Inertialsysteme). Darin können wir für jede Kraft eine Ursache benennen und es gilt das Bewegungsgesetz. Zweikörpersysteme ∑ F = (m i i Fi = mi ⋅ a F1 = F2 1 ∑F Summe der Kräfte N m1+m2 a Gesamtmasse kg Beschleunigung m/s2 Fi Seilkraft 1 bzw. 2 N Betrag der Seilkraft N i + m2 ) ⋅ a i Fi Seite 10 Die Umlenkrolle lenkt die Kraftrichtungen um. Darum ist die Summe der Kräfte die Differenz der Gewichtskräfte. Beide Massen werden beschleunigt. Nach dem Wechselwirkungsgesetz sind die Beträge der Seilkräfte gleich gross. Für die Berechnung der Seilkraft wird nur ein Körper betrachtet. Statik Gleichgewicht Im statischen Gleichgewicht kann sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegen oder mit einer konstanten Drehzahl rotieren. Symbol Grösse Einheit Statik Bedingung 1, Summe aller Kräfte gleich Null ∑F =0 i i ∑F x ,i = 0 und i ∑F y ,i =0 i Fi angreifende Kraft N F x,i Komponente x, bzw. y N M F r l Drehmoment Nm Kraft am Hebelende N wirksame Hebellänge m Hebelarm (Länge) m α Winkel zwischen Hebel l und Kraft Mi Drehmoment inklusive Vorzeichen Die Vektorsumme aller Kräfte ist null. Dies gilt auch für die einzelnen Komponenten x, y (und z). Drehmoment M = F ⋅ r = F ⋅ l ⋅ sin (α ) Statik Bedingung 2, Momentengleichung ∑M i i =0 Seite 11 Nm Vorzeichenkonvention positiv: gegen den Uhrzeigersinn negativ: im Uhrzeigersinn Statik: Kräfteplan Schwerpunkt Der Punkt eines Körpers, in dem die gesamte Masse vereinigt gedacht werden kann, heisst Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt. Für die Berechnung der Gewichtskraft, des Drehmoments oder der potenziellen Energie kann jeder Körper als Massenpunkt im Schwerpunkt vereinfacht werden. Am Schwerpunkt (SP) eines Körpers greift die Gewichtskraft FG an. Der SP liegt auf einer Schwerelinie. Alle Kräfte greifen an einem Punkt an Die Wirkungslinie (gestrichelt) ist die Gerade durch den Kraftvektor. Eine Kraft kann entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung der Kraft auf diesen Körper ändert. Mehrere Kräfte, verschiedene Angriffspunkte Wenn die Kräfte an unterschiedlichen Punkten angreifen, entstehen Drehmomente. 1: Mit der Bedingung 2 der Statik, Momentengleichung, beginnen. 2: Die Drehachse dort festlegen, wo eine unbekannte Kraft wirkt. 3: Mit der Bedingung 1 der Statik, Kräftesumme = 0, die restliche Kraft bestimmen. Seite 12 Arbeit und Energieformen Symbol Grösse Einheit W Arbeit J F s Kraft (in der Wegrichtung) N Wegstrecke m Mechanische Arbeit W= F⋅s 1J = 1Nm = 1 kg ⋅ m 2 s2 1kWh = 3.6 ⋅ 10 6 J Wärme und Arbeit Mechanische Arbeit kann in Wärme und Wärme kann in mechanische Arbeit umgewandelt werden. Die beiden physikalischen Grössen sind äquivalent zueinander. Unterscheidung zwischen Arbeit und Energie Mit der Arbeit wird ein Prozess (Vorgang) beschrieben. Beispiel Hubarbeit, Bremsarbeit Ein System hat Energie, damit wird ein Zustand beschrieben. Beispiel Lageenergie, Bewegungsenergie Potenzielle Energie E pot i = m ⋅ g ⋅ hi Es gibt kein absolutes Mass für die potenzielle Energie. Die Bezugshöhe h = 0 wird frei gewählt. Für Höhen unterhalb null ist hi < 0 Epot i potenzielle Energie, Zustand i J m g hi Masse kg Ortsfaktor N/kg Höhe, Zustand i m Ekin i kinetische Energie, Zustand i J vi Geschwindigkeit, Zustand i m/s Eelast i elastische Energie, Zustand i J D Federkonstante N/m ∆ si Federverlängerung, Zustand i m Differenz zum ungespannten Zustand ENutz Nutzenergie J Wärme Q oder mechanische Energie η mBr . Wirkungsgrad - (%) Masse Brennstoff kg Hu Heizwert MJ/kg von der Bezugshöhe abhängig Kinetische Energie Ekini = 1 ⋅ m ⋅ vi2 2 Die kinetische Energie kann nie mit der Durchschnittsgeschwindigkeit oder einer Geschwindigkeitsdifferenz berechnet werden. Elastische Energie Eelast i = 1 2 ⋅ D ⋅ ( ∆ si ) 2 Die Spannarbeit wird im F-sDiagramm als Fläche unter der Kurve berechnet. Brennstoff, Nutzenergie ENutz = η ⋅ mBrennstoff ⋅ Hu Seite 13 Differenzierung, Heizwert Hu und Brennwert Ho inklusive Kondensation von Wasserdampf. Ho > Hu Energieerhaltung im abgeschlossenen System Abgeschlossene Systeme Ein abgeschlossenes System hat keine Wechselwirkung mit der Umwelt. In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant Zustand 1 m ⋅ g ⋅ h1 Zustand 2 m ⋅ g ⋅ h2 kinetische Energie 1 ⋅ m ⋅ v12 2 1 ⋅ m ⋅ v22 2 elastische Energie 1 2 ⋅ D ⋅ ( ∆ s1 ) 2 Antrieb, «Wärme» η ⋅ mBrennstoff ⋅ Hu 1 2 ⋅ D ⋅ ( ∆ s2 ) 2 FFahrwiderstand ⋅ s Energieform potenzielle Energie Summe 1 Summe = Tipp: Senkrechter Wurf: Im höchsten Punkt gilt E kin = 0 Zustand 2: mechanische Arbeit Summe 2 etc. Leistung Mittlere Leistung Symbol P= ∆E ∆t Grösse Einheit P Mittlere Leistung ∆E ∆t Energiedifferenz W J Zeitdauer s Pmom Momentane Leistung F Kraft in Richtung der Geschwindigkeit W N v Momentane Geschwindigkeit m/s η E Nutzen EAufwand Wirkungsgrad -, (%) genutzte Energie J eingesetzte Energie J 1W = 1J/s 1J = 1 W ⋅ s, 3.6 MJ = 1kWh Momentane Leistung Pmomentan = F ⋅ v Wirkungsgrad E η = Nutzen E Aufwand Seite 14 1PS = 735 W Schwingungen und Wellen Harmonische Schwingung 2π y ( t ) = y0 ⋅ sin ⋅t T y( t ) Elongation (Auslenkung) y0 Amplitude m, V, etc. Zeit s t Winkel y ( t ) = y0 ⋅ sin ( 2π ⋅ f ⋅ t ) f = 1 T T f Periode s Frequenz Hz c Ausbreitungsgeschwindigkeit Wellenlänge Frequenz Periode Wellen c=λ⋅ f =λ /T maximale Auslenkung λ f T Seite 15 m/s m Hz s ϕ = 2π ⋅ f ⋅ t 1 Hz = s -1 im Bogenmass! Elektrizität Symbol Grösse Einheit Das Coulomb Gesetz F =k⋅ Q1 ⋅ Q2 r2 F Kraft F > 0 N Anziehung, F < 0 N Abstossung N Q r elektrische Ladung C Abstand der geladenen Körper m k Konstante, U W Q Spannung V Arbeit Nm, J Ladung C I t Stromstärke A Zeit s R I Widerstand Ω Stromstärke A ρ 20 Spezifischer Widerstand ℓ Leiterlänge m A Querschnittsfläche des Leiters mm2 P Elektrische Leistung W, J /s N • m2 C2 Elementarladung: 1 e= C = 1.6 ⋅ 10 −19 C 6.24 1018 8.98•109 N • m2 C2 Spannung U= W Q Liegt eine Spannung vor, dann existiert ein Ort mit Elektronenmangel, der Pluspol und ein Ort mit Elektronenüberschuss, welcher als Minuspol definiert wird. Stromstärke I= Q t Ohm’sches Gesetz R= U I Widerstand eines Leiters R = ρ 20 l A Ω⋅m mm2 Bei einem Kabel: Hin- und Rückleitung berücksichtigen Elektrische Leistung P =U ⋅I Seite 16 für Wechselstromkreise mit Kondensatoren und Spulen gilt die Formel P = U ⋅ I nicht Serienschaltung Die Stromstärke ist in jedem Leiterstück gleich: I = I1 = I 2 =... Die Gesamtspannung U ist die Summe der Teilspannungen: U = U1 + U 2 + ... Der Gesamtwiderstand R ist die Summe der Einzelwiderstände: R = R1 + R2 + ... Der Gesamtwiderstand ist grösser als jeder Einzelwiderstand Parallelschaltung Die Gesamtspannung U ist über jedem Widerstand gleich: U = U1 = U 2 = ... Die Gesamtstromstärke I ist die Summe der Teilströme: I = I1 + I 2 + ... Für den Gesamtwiderstand R0 in einer Parallelschaltung gilt: R= 1 . 1 1 + + ... R1 R2 Der Gesamtwiderstand ist kleiner als jeder Einzelwiderstand Verzweigte Stromkreise Mischungen von seriell und parallel geschalteten Widerständen 1. Alle ausschliesslich in Serie geschalteten Widerstände durch einen Ersatzwiderstand ersetzen. 2. Die parallel geschalteten Widerstände (auch die Ersatzwiderstände aus Serienschaltungen) zu neuen Ersatzwiderständen vereinen Seite 17 Trigonometrie und Vektoren Symbol Grösse Einheit GK HY AK HY Gegenkathete m dem Winkel Hypothenuse m Ankathete m die längste Seite dem Winkel α anliegend Hypothenuse m Rechtwinklige Dreiecke GK HY AK cos (α ) = HY GK tan (α ) = = Steigung AK sin (α ) = α gegenüber liegend die längste Seite HY GK tan( α ) Steigung in % α AK Beliebige Dreiecke Sinussatz a b c = = sin (α ) sin ( β ) sin (γ ) a, b, c Seitenlängen im Dreieck α ,β , γ Winkel im Dreieck F Vektor, z.B. Kraft N vektorielle Grösse Fx Fy F x-Komponente N y-Komponente N kartesische Darstellung mit Komponenten x und y Vektorbetrag N ∠ϕ Winkel °, rad Tipp: Sinussatz anwenden für Kräfte im Kräftedreieck zu berechnen Cosinussatz a 2 = b2 + c2 − 2bc cos( α ) Vektoren F = ( Fx ,Fy ) F = ( F ,∠ϕ ) Fx = F ⋅ cos (ϕ ) x-Komponente Fy = F ⋅ sin (α ) y-Komponente F = Fx2 + Fy2 Vektorbetrag Fy Fx φ = arctan φ Winkel polare Darstellung mit Betrag und Richtungswinkel Winkel wird zur positiven x-Achse Vektoraddition F 3 = F1 + F 2 F3 Vektorsumme F3 ,x = F1,x + F2 ,x F3,x x-Komponenten addieren F3 ,y = F1,y + F2 ,y F3,y y-Komponenten addieren TI-N’Spire F = Fx , Fy F = [ F , ∠ϕ ] F Vektor in kartesischen Koordinaten F Vektorbetrag, Polarkoordinaten Fx ,Fy ⊳ Polar ϕ Winkel, Polarkoordinaten Seite 18 Grafisch addieren: verschieben und anhängen oder Parallelogramm bilden Der Befehl «Polar» wandelt einen Vektor in Polarkoordinaten um. Thermische Eigenschaften ausgewählter Stoffe α Längenausdehungskoeffizient bei 20 °C ϑV Siedetemperatur γ Volumenausdehnungskoeffizient bei 20° C L f spezifische Schmelzwärme cp spezifische Wärmekapazität bei 20 °C Lv spezifische Verdampfungswärme ϑ f Schmelztemperatur λ Wärmeleitfähigkeit bei 20 °C α Festkörper Aluminium Blei Eis 0°C Eisen chem. rein 1 Stahl Glas Eisen Invar Kupfer Silber Silizium Chromstahl Wolfram Flüssigkeiten Aceton Benzin Ethanol (Alkohol) Gyzerin Heizöl Quecksilber Wasser cp ϑf ϑV Lf Lv J/(kg ⋅ K) °C °C 23.8 31.3 37.0 12.0 12.0 8.5 0.2-1.6 16.8 19.7 7.6 16.0 4.3 896 129 2100 450 450 800 460 383 235 705 510 134 660.1 327.4 0 1535 1535 2467 1740 100 2750 2750 103 ⋅ J/kg 397 23 333.8 277 106 ⋅ J/kg 10.9 8.6 2.25 6.34 γ -6 10 ⋅ K −3 10 ⋅ K -1 -1 1.49 1.10 0.5 0.92 0.182 0.21 Ammoniak Helium Kohlendioxid Luft Methan Sauerstoff Stickstoff Wasserstoff Wasserdampf (100°C) Für Ausdehnung siehe Gasgleichung Gase 1427 1083 960.8 1410 λ W/(m ⋅ K) 239 34.8 2.2 80 1.0 11 390 428 153 14 177 2567 2212 2355 515 205 104.5 165.4 4.79 2.35 14.05 3380 5660 192 4.35 cp ϑf ϑV Lf Lv J/(kg ⋅ K) °C °C 2160 2020 2430 2390 56.25 67…100 78.33 290.5 200…350 356.58 100.0 106 ⋅ J/kg 0.525 108 201 0.84 0.854 139 4182 -94.86 -50…-30 -114.5 18.4 -5 -38.87 0 103 ⋅ J/kg 98 11.8 333.8 0.285 2.256 cp ϑf ϑV Lf Lv 103 ⋅ J/kg 500 181 106 ⋅ J/kg 1.37 2 0.137 59 14 26 6‘000 0.51 0.213 0.198 45 0.022 0.143 0.015 0.024 0.030 0.024 0.024 0.171 Butan Erdgas Wasserstoff 45.7 38 120 J/(kg ⋅ K) °C °C 2160 5230 837 1005 2219 917 1038 14‘320 2‘034 -77.7 -272.2 subl. -33.35 -268.93 -78.45 -191.4 -161.5 -182.97 -195.82 -252.77 -182.52 -218.79 -210.00 -259.20 λ W/(m ⋅ K) 0.162 0.13 0.165 0.285 0.14 8.2 0.598 λ W/(m ⋅ K) Heizwert Hu (ohne Kondensation des Wasserdampfs) in MJ/kg Braukohle Holz, trocken Steinkohle 8.9 15.5 29.3 Benzin Ethanol Heizöl 1 42 26.7 42.7 Werkstoff, dessen Massenanteil an Eisen grösser ist als der jedes anderen Elementes, dessen Kohlenstoffgehalt im Allgemeinen kleiner als 2,06 % ist und der andere Elemente enthält. Seite 19 Stoffdaten Reibungszahl µ Materialkombination Holz/Holz Stahl/Stahl Stahl/Eis Gleitreibung 0.4 0.1 0.014 Haftreibung Materialkombination 0.6 0.15 0.027 Pneu/trockene Strasse Pneu/nasse Strasse Pneu/Eis kg/m3 2‘700 2‘200 11‘340 700 3‘510 917 7‘860 2‘500 19‘290 2‘240 8‘000 2‘700 300 8‘920 8‘470 970 8‘900 900 21‘450 1‘180 2‘400 2‘200 10‘500 2‘420 20 500 18‘700 19‘300 1‘600 7‘140 7‘290 Flüssigkeiten bei 20 °C Aceton Benzol Benzin Diethylether Ethanol (Alkohol) Glyzerin Heizöl Methanol Olivenöl Quecksilber Schwefelsäure Tetrachlorkohlenstoff Wasser schweres Wasser Gleitreibung Haftreibung 0.6 0.3 0.05 1.0 0.5 0.1 Dichte ρ Feste Stoffe bei 20 °C Aluminium Beton Blei Buchen- und Eichenholz Trocken Diamant Eis (bei 0 °C) Eisen chem. rein Glas Gold Graphit Eisen Invar (64% Fe, 36% Ni) Kalkstein (Marmor) Kork Kupfer Messing (65% Cu, 35% Zn) Natrium Nickel Paraffin Platin Plexiglas Porzellan Quarzglas Silber Silizium Styropor Tannenholz, trocken Uran Wolfram Ziegelstein Zink Zinn Ausbreitungs-geschwindigkeit c Licht, Vakuum Licht, Luft Licht, Quarzglas Licht, Glas Licht, Diamant Licht, Wasser Licht, Eis 108 m/s 2.99792458 2.99711 2.05 1.86 − 2.0 1.25 2.25 2.29 Hg H2SO4 CCL4 H2O D2O kg/m3 791 879 744 714 789 1261 840 792 920 13‘546 1840 1594 998 1105 Gase bei 273.15 K und 1.013 105 Pa Ammoniak NH3 Argon Ar Butan C4H10 Erdgas Helium He Kohlendioxid CO2 Kohlenmonoxid CO Luft Methan CH4 Neon Ne Propan C3H8 Sauerstoff O2 Schwefeldioxid SO2 Stickstoff N2 Wasserstoff H2 Xenon Xe kg/m3 0.771 1.784 2.732 0.83 0.1785 1.977 1.250 1.293 0.717 0.900 2.010 1.429 2.926 1.250 0.0899 5.897 (CH3)2CO C6H6 (C2H5)2O C2H5OH CH3OH CH3OH m/s 335 340 346 ca. 1’500 4’660 5’170 6'300 Schall, Luft, 5°C Schall, Luft 15°C Schall, Luft 25°C Schall, Wasser Schall, Kupfer Schall, Eisen Fe Schall, Aluminium Zehnerpotenzen und SI Vorsätze Faktor 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1 Vorsatz Atto Femto Pico Nano Mikro Milli Zenti Dezi Zeichen a f p n m c d Faktor 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 Seite 20 Vorsatz Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa ꓦeichen da h k M G T P E
