Vorlesung 12.01 ohne Animation zum Ausdrucken

Offline Bewegungsplanung: Allgemeiner
Konfigurationsraum
Elmar Langetepe
University of Bonn
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Bewegungsplanung mit dieser Beschreibung!
•
•
•
•
•
Entscheidbarkeit spezieller Tarski Ausdrücke
Beweistechnik für unsere Zwecke benutzen
Theorie der reellen Zahlen ist entscheidbar
Beweistechnik!
Zerlegung in Zellen
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Theorie der reellen Zahlen
• Sei Ω = { T |T ist Tarski–Ausdruck ohne freie Variablen }
• TH(IR) = { T ∈ Ω|T gilt über IR }
• Beispiele:
∀x (x2 ≤ 0 → x = 0)
∈ T H(IR)
∀x ∃y (x ≥ 0 → x = y 2)
∈ T H(IR)
∃x (x2 = −1)
∈
/ T H(IR)
• Theorem 3.5: TH(IR) ist entscheidbar!
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Theorie der reellen Zahlen
• Theorem 3.5: TH(IR) ist entscheidbar!
• Theorem 3.6: Jede semi-algebraische Menge läßt sich durch
quantorenfreien Tarski-Ausdruck definieren
• Deshalb Beweistechnik auch für uns anwendbar
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Quantoren Elimination: Motivation!
• Ausdruck mit freier Variablen:
φ(Z) = ∃Y ∀X(X 2 − ZX 2 − Y < 0)
• Wahrheitswert
abhängig von Z
TRUE : if Z ≥ 1
• φ(Z) =
FALSE : if Z < 1
• φ(Z) = (Z ≥ 1)
• Tarski-Ausdruck ohne Quantoren, einfacher!
• Benutzen!!
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Quantoren Elimination!
Gilt allgemein:
Theorem 3.6: Jede semi-algebraische Menge läßt sich durch
quantorenfreien Tarski-Ausdruck definieren!
Wichtiger Schritt!
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Zentrales Resultat zum Beweis!
Theorem 3.5: Die Theorie der reellen Zahlen ist entscheidbar!
Hilfsmittel: Algebraische Zerlegung Kn des IRn Def. 3.7
Endl. System Kn disjunkter Teilmengen des IRn für die gilt:
• Jede Zelle Cj ∈ Kn ist semialgebraisch
• Jede Zelle Cj ∈ Kn ist homöomorph zu einem IRk , k ≤ n
• Kn ist eine disjunkte Zerlegung des IRn: IRn =
m
•
S
Cj
j=1
• Besonderheit: Cj homöomorph zu IR0, algebraischer Punkt
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Beispiel: Algebraische Zerlegung von IR!
•
•
•
•
Endliche Menge von offenen Intervallen und Punkten
Punkte homöomorph zu IR0 (algebraische Punkte)
Offene Intervalle homöomorph zu IR
Disjunkte Zerlegung
(−∞, a1)
[a1]
(a1, a2)
[a2]
(a2, a3)
[a3]
(a3, ∞)
X
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Algebraische Zerlegung Kn des IRn
• Def. 3.7: Probefunktion σn, Fkt. σn : Kn −→ IRn, die jeder
Zelle Cj Probepunkt σn(Cj ) ∈ Cj zuordnet
• Beispiel: Zerlegung von IR: Punkt auf Punkt, Intervall auf
Mittelpunkt des Intervalls
• Def. 3.7: Projektion πn, Abbildung
πn : IRn −→ IRn−1
(X1, . . . , Xn) 7−→ (X1, . . . , Xn−1)
• Projektion einer Menge M ist Projektion der Elemente:
πn(M) := { y | y = πn(x), x ∈ M }
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Spezielle algebraische Zerlegung Kn des IRn
Def. 3.8: System (Kn, σn) heißt Zylindrische Algebraische
Zerlegung (cylindrical algebraic decomposition, CAD, hier: ZAZ) des
IRn, falls
• Kn algebraische Zerlegung mit Probefkt. σn
• Für n > 1 läßt sich der IRn−1 rekursiv zerlegen.
D.h., es ex. ZAZ (Kn−1, σn−1) des IRn−1 mit:
– Probefunktion zu Kn−1 ist Projektion der Probefkt. zu Kn:
σn−1 : Kn−1 −→ IRn−1
πn(C) 7−→ πn(σn(C))
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– Zu jeder Zelle Cj ∈ Kn ex. Zelle Cj0 ∈ Kn−1 mit Cj0 = πn(Cj ),
(die Projektion einer Zelle in Kn ist Zelle in Kn−1)
– Für Zellen Ci, Cj ∈ Kn mit πn(Ci) = πn(Cj ) gilt
πn(σn(Ci)) = πn(σn(Cj ))
• Für n = 1 ist K1 Zerlegung von IR in endliche Menge
algebraischer Zahlen, und (endliche und unendliche) offenen
Intervalle zwischen Zahlen
• Zylinder über C 0, alle Zellen C ∈ Kn: πn(C) = C 0
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Beispiel: Zylindr. algebr. Zerl. K2 des IR2
•
•
•
•
9 Zellen, 1 Punkt, vier Intervalle, 4 Quadranten
Homöomorph zu IR0,IR1,IR2
Projektion auf X1-Achse ergibt K1 von IR
Drei Zellen bilden jeweils Zylinder
X2
' R2
X1
' R1
' R0
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Invarianz bezüglich Polynomen: Def. 3.9
• Zylindrische Algebraische Zerlegung (Kn, σn) und Menge von
Polynomen P ⊆ Q[X
I 1 , . . . , Xn ]
• (Kn, σn) heißt P–invariant, falls
∀f (X1, . . . , Xn) ∈ P : ∀C ∈ Kn : sign f = const
C
• Das gleiche Vorzeichen für alle Punkte der Zelle
• Auswertung für Probestelle reicht
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Beispiel: Invarianz bezüglich Polynome
•
•
•
•
•
•
P = {X 2 − 2X, X 2 − 4X + 3}, zwei Parabeln: (K1, σ1)
K1: (−∞, 0), [0, 0], (0, 1), [1, 1], (1, 2), [2, 2], (2, 3), [3, 3], (3, ∞)
Probefkt: σ1): −1, 0, 12 , 1, 32 , 2, 52 , 3, 4
Vorzeichen der Polynome ist konstant innerhalb der Zellen
Auswertung für Probestelle reicht
Nullstellen von (X 2 − 2X) × (X 2 − 4X + 3)
(0, 1)
(−∞, 0)
[0]
Y = X 2 − 2X
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(1, 2)
[1]
[2]
(2, 3)
(3, ∞)
[3]
Y = X 2 − 4X + 3
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Idee: Entscheidbarkeit von Tarski-Ausdrücken
• Tarski-Ausdruck ohne freie Variable:
∃X[(X 2 − 2X ≤ 0) ∧ (X 2 − 4X + 3 = 0)]
• Polynom-Invariante Zerlegung (K1, σ1) der zugeh. Polynome
• Durch die Probepunkte feststellen, ob die Aussage gültig ist
• Alle Zellen durchgehen, gilt für Probepunkt 1
• ∀X und andere Logik, genauso!
(0, 1)
(−∞, 0)
[0]
Y = X 2 − 2X
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(1, 2)
[1]
[2]
(2, 3)
(3, ∞)
[3]
Y = X 2 − 4X + 3
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Allgemeines Ergebnis: Theorem 3.10
Gegeben ist eine Menge P von Polynomen. Man kann eine
P–invariante zylindrische algebraische Zerlegung effektiv
konstruieren. Die Laufzeit ist polynomiell in Anzahl und Grad der
Polynome in P, doppelt exponentiell in der Anzahl der Dimensionen.
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Anwendung von Theorem 3.10
• P–invariante Zerlegung berechnen, entscheiden ob
Tarski-Ausdruck gültig ist
• Anhand eines Beispiels: ∀X ∃Y : T (X, Y )
• Berechne T –invariante ZAZ (K2, σ2) des IR2
• Polynome in X und Y , die in T vorkommen, haben in jeder Zelle
konstantes Vorzeichen
• (K1, σ1) sei die projizierte eindimensionale ZAZ
• Wollen Folgendes zeigen:
∀X ∃Y : T (X, Y ) ist gültig ⇐⇒ für jede Zelle C 0 ∈ K1 gibt es eine
Zelle C ∈ K2 im Zylinder über C 0 mit T (x, y) ist wahr für
(x, y) = σ2(C)
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Bsp: ∀X ∃Y : T (X, Y )
∀X ∃Y : T (X, Y ) ist gültig ⇐⇒ für jede Zelle C 0 ∈ K1 gibt es eine
Zelle C ∈ K2 im Zylinder über C 0 mit T (x, y) ist wahr für
(x, y) = σ2(C)
Falls das stimmt: Können die Gültigkeit durch endlich viele Tests
bestimmen. Probestellen der Zellen verwenden. Jetzt Beweis!
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Bsp: ∀X ∃Y : T (X, Y )
∀X ∃Y : T (X, Y ) ist gültig ⇐⇒ für jede Zelle C 0 ∈ K1 gibt es eine
Zelle C ∈ K2 im Zylinder über C 0 mit T (x, y) ist wahr für
(x, y) = σ2(C)
“=⇒”
•
•
•
•
C 0 ∈ K1. Betrachte x = σ1(C 0) ∈ C 0
Nach Vor. ex. ỹ mit T (x, ỹ)
Sei C die Zelle über C 0 mit (x, ỹ) ∈ C
Wg. T –Invarianz gilt auch T (x, y) für (x, y) = σ2(C)
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Bsp: ∀X ∃Y : T (X, Y )
∀X ∃Y : T (X, Y ) ist gültig ⇐⇒ für jede Zelle C 0 ∈ K1 gibt es eine
Zelle C ∈ K2 im Zylinder über C 0 mit T (x, y) ist wahr für
(x, y) = σ2(C)
“⇐=”
• Sei x̃ beliebig, C 0 die Zelle in K1 mit x̃ ∈ C 0
• Nach Vor. ex es ein C ∈ K2 über C 0 mit T (x, y) für
(x, y) = σ2(C)
• Es ex ein ỹ mit (x̃, ỹ) ∈ C
• wegen T –Invarianz gilt auch T (x̃, ỹ)
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Theorem 3.5
•
•
•
•
•
•
•
Theorie der reellen Zahlen ist entscheidbar
Tarski-Ausdrücke ohne freie Variablen
Gleiches Prinzip wie beim Beispiel: ∀X ∃Y : T (X, Y )
Benutze T –invariante ZAZ (Kn, σn) des IRn
Leicht zu verallgemeinern: Induktiv!
Anzahl der Quantoren
Endliche Anzahl an Tests
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Beweis von Theorem 3.10
Gegeben ist eine Menge P von Polynomen. Man kann eine
P–invariante zylindrische algebraische Zerlegung effektiv
konstruieren. Die Laufzeit ist polynomiell in Anzahl und Grad der
Polynome in P, doppelt exponentiell in der Anzahl der Dimensionen.
•
•
•
•
Beispiel: Cfrei = {(x, y) ∈ IR2|x2 + y 2 − 1 > 0}
Polynom: P (X, Y ) = X 2 + Y 2 − 1 > 0
Polynom über Y : PX (Y ) = Y 2 + (X 2 − 1) Grad 2
Je nach X Wert: Anzahl versch. reell. Nullstellen
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Beispiel Beweis Theorem 3.10
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Polynom über Y : PX (Y ) = Y 2 + (X 2 − 1) Grad 2
Je nach X-Wert: Anzahl versch. reell. Nullstellen
Bedingung: X 2 − 1 > 0, X 2 − 1 = 0, X 2 − 1 < 0
Polynomielle Bedingung: Anzahl Nullst. gleich
Induktiv: ZAZ (K1, σ1) für Q(X) = X 2 − 1
Zellen: (−∞, −1), [−1], (−1, +1), [+1], (+1, +∞)
Lifting Zelle K1 nach K2
Zylinder in Zellen aufteilen nach reell. Nullst.
√
√
2
{− 1 − x , 1 − x2} für x ∈ {−1, 1}, {0} für x = −1 und
x = 1, und ∅ sonst
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Beispiel Beweis Theorem 3.10
√
√
• Bereich x ∈ {−1, 1}: f1(X) = − 1 − X 2 < f2(X) = 1 − x2
• y < f1(x), y = f1(x), f1(x) < y < f2(x), f2(x) = y, f2(x) < y
Y
C(1,∞)
f2(X) =
√
1 − X2
C2
C(1,2)
(−∞, −1)
X
[1]
[−1]
(1, ∞)
C1
√
f1(X) = − 1 − X 2
C(−∞,1)
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Beispiel Beweis Theorem 3.10
• Restliche Bereiche: x = −1 und x = 1 und sonst
• Insgesamt 13 Zellen! Probefunktion übertragen
Y
5
2
10
6
13
1
3
(−∞, −1)
[−1]
11
[1]
7
X
(1, ∞)
8
4
12
9
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Allgemeines Ergebnis: Theorem 3.10
Gegeben ist eine Menge P von Polynomen. Man kann eine
P–invariante zylindrische algebraische Zerlegung effektiv
konstruieren. Die Laufzeit ist polynomiell in Anzahl und Grad der
Polynome in P, doppelt exponentiell in der Anzahl der Dimensionen.
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