Blatt - Höhere Mathematik an der TUM

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , M ICHAEL P R ÄHOFER
Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 2003/2004)
— Aufgabenblatt 7 (5. Dezember 2003) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 39. Zwei, Drei oder Sechs.
Welche der nachfolgenden komplexen Zahlen sind 2–te Einheitswurzeln (linkes Kästchen), 3–te Einheiswurzeln (mittleres Kästchen) oder 6–te Einheitswurzeln (rechtes Kästchen)?
i
−1
√
√
2
2
+
i
2
2
5
3
5
ei 3 π
√
1
3
− +
i
2
2
Aufgabe 40. Rechnen wie verhext mit konjugiert komplex.
Es sei z = a + bi ∈ C, a, b ∈ R. Die zu z konjugierte √
Zahl z ist z = a − bi. Der Realteil Re(z) von z ist a, und der
Imaginärteil Im(z) von z ist b. Die Länge |z| von z ist a2 + b2 ∈ R.
1.) Zeigen Sie: a) Re(z) =
1
(z + z̄)
2
i
b) Im(z) = − (z − z̄)
2
2.) Überprüfen Sie die beiden Rechenregeln: Für alle x, y ∈ C gilt:
c) |z|2 = z · z̄
a) x + y = x + y,
b) x · y = x · y,
3.) Beweisen Sie, daß eine komplexe Zahl z genau dann reell ist, wenn z = z gilt.
4.) Es sei p ∈ R[X]. Man zeige: Ist z ∈ C eine Nullstelle von p, dann ist auch z eine Nullstelle von p.
5.) Folgern Sie aus Aufgabenteil 4.), daß jedes Polynom p ∈ R[X] mit ungeradem Grad mindestens eine reelle
Nullstelle besitzt.
6.) Folgern Sie aus Aufgabenteil 4.), daß sich jedes Polynom p ∈ R[X] in der Form
p(X) = ε(X − α1 )(X − α2 ) · · · (X − αr ) · (X 2 + β1 X + γ1 )(X 2 + β2 X + γ2 ) · · · (X 2 + βs X + γs ),
mit reellen Zahlen ε, αi , βj , γk , schreiben läßt.
Aufgabe 41. Darstellungsformen komplexer Zahlen.
Aus der Vorlesung sind Ihnen verschiedene Darstellungsformen komplexer Zahlen bekannt:
Eine komplexe Zahl z ∈ C läßt sich darstellen als z = a + ib mit a, b ∈ R. Diese Form heißt Normalform oder
kartesische Form. Das Tupel (a, b) beschreibt die kartesischen Koordinaten der komplexen Zahl.
Neben den kartesischen Koordinaten gibt es auch die Polarkoordinaten (r, ϕ) einer komplexen Zahl mit r ∈ R und ϕ ∈
[0, 2π[. Mit ihrer Hilfe kann man eine komplexe Zahl z ∈ C auch in der trigonometrischen Form z = r(cos ϕ+i sin ϕ)
oder in der Exponentialform z = reiϕ angeben. Die beiden letzten Formen nennt man auch Polarform einer komplexen
Zahl.
1.) Wie lassen sich kartesische Form und Polarform einer komplexen Zahl ineinander umrechnen ?
2.) Geben Sie folgende komplexe Zahlen in allen drei möglichen Darstellungsformen an:
p
√
√
2
a.) 2ei 3 π
b.) 3 + 4i
c.) −( 5 + 1) − i 10 − 2 5
— Hausaufgaben —
Aufgabe 42. Sehr komplex.
1.) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z = a + ib mit a, b ∈ R:
10
4 2−i
3 − 2i
1+i
1+i
(2 − 2i)(1 + 3i) + (1 + i)(2 + 3i)
√
,
,
,
.
,
2 + 3i 1 + 4i
1−i
(3 + i1)(1 − i) + (2 − i)(1 + 3i)
2
2.) Bestimmen Sie alle n ∈ N, für die gilt (1 + i)n + (1 − i)n = 0.
Aufgabe 43. Wir drehen uns im Kreis.
Es sei n ∈ N. Die Menge der n–ten Einheitswurzeln ist
k
ωn = ei n 2π k ∈ N .
1.) Zeigen Sie, dass ωn zusammen mit der Multiplikation der komplexen Zahlen eine Gruppe ist.
2.) Bestimmen Sie sämtliche Untergruppen von ω6 und geben Sie die zugehörigen Punkte auf dem Einheitskreis
an.
3.) Weisen Sie nach, dass die Gruppen (ωn , ·) und (Z/nZ, +) isomorph sind.
Aufgabe 44. Pyramidenbau: Theorie und Praxis.
Kaiserin C LEOPATRA hat den Bau einer Pyramide befohlen. Dafür wurden in den Steinbrüchen am oberen Nil Steinquader mit einem Gesamtvolumen von V = 177156 m3 (Kubikmeter) abgebaut. Um die mathematischen Fähigkeiten
der zum Bau der Pyramide beauftragten Konstrukteure auf die Probe zu stellen, hat sich die Kaiserin eine Aufgabe
überlegt:
Die Pyramide soll, entgegen der damals üblichen Bauauflagen, mit einer rechteckigen Grundfläche gebaut werden.
Insbesondere soll die eine Grundflächenseite um 27 m länger, die andere Grundflächenseite um 27 m kürzer als die
Höhe der Pyramide sein. Wie hoch ist diese Pyramide unter strikter Verwendung des gesamten Volumens aller bereits
abgebauten Steinquader? Wie lauten die Abmessungen der Pyramidengrundfläche?
Hinweis: Das Volumen V einer Pyramide der Höhe h mit rechteckiger Grundfläche, deren Seitenlängen a und b sind,
ist:
V =
1
3
a·b·h.
Diese Formel führt mit den obigen Angaben zu der polynomialen Gleichung
h3 − 729 · h − 531468 = 0.
(Warum?). Eine der Nullstellen dieses Polynoms liefert die gesuchte Höhe der C LEOPATRAschen Pyramide.
Abgabe der Hausaufgaben:
am Freitag, 12. Dezember 2003, nach der Vorlesung (im HS 1)