Grundlagen der Numerik - Arbeitsgruppe Numerische Mathematik

Grundlagen der Numerik
Sommersemester 2008
7. Übungsblatt: 28. Mai 2008
(5 Punkte)
Aufgabe 25:
Bei der n + 1-stufigen Quadraturformel
In [f ] = α0n f (−1) +
n−1
X
i=1
αin f (ti ) + αnn f (1) ≈ I[f ] =
Z
1
f (t) dt
−1
sind die Knoten t0 = −1 und tn = 1 fest vorgeschrieben. Die verbleibenden inneren Knoten t1 , . . . , tn−1
und die Gewichte α0n , . . . , αnn sollen so bestimmt werden, dass die Quadraturformel größtmöglichen
Exaktheitsgrad besitzt. In diesem Fall spricht man von einer Gauss-Lobatto-Formel.
(a) Weisen Sie nach, daß der Exaktheitsgrad maximal 2n − 1 ist.
(b) Zeigen Sie, daß der Exaktheitsgrad 2n − 1 genau dann erreicht wird, wenn die beiden folgenden
Bedingungen erfüllt sind:
(i) Die Quadraturformel hat Exaktheitsgrad n.
(ii)
R1
−1
p(t)ω(t)(1 − t2 ) dt = 0
Dabei bezeichnet ω(t) =
n−1
Q
i=1
Knoten.
für alle p ∈ Πn−2 .
(t − ti ) das Knotenpolynom bezüglich der noch nicht festgelegten
(c) Berechnen Sie die Knoten und Gewichte von I2 .
Aufgabe 26:
(4 Punkte)
Zur Approximation des Integrals
Z
0
1
Z
1−x
f (x, y) dy dx
0
einer Funktion f über dem Dreieck
{(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1, x + y ≤ 1}
soll eine Quadraturformel konstruiert werden. Approximieren Sie zunächst das innere Integral mithilfe
der zweistufigen Gauß-Formel
Z 1
√
√
I1G g = g(−1/ 3) + g(1/ 3) ≈
g(t) dt = Ig.
−1
Bestimmen Sie anschließend die Knoten und Gewichte der zweistufigen Quadraturformel zur näherungsweisen Berechnung von
Z 1
(1 − x)g(x) dx ≈ α01 g(t01 ) + α11 g(t11 ) = I1 [g; 1 − x],
I[g; 1 − x] =
0
sodass das Integral I[g; 1 − x] für polynomiale Funktionen g von möglichst hohem Grad exakt approximiert wird. Approximieren Sie damit das äußere Integral.
Aufgabe 27:
(4 Punkte)
Betrachtet wird die Fixpunktaufgabe x = ϕ(x), x = (ξ, η)T , mit
2
1
ξe−η + ξη + 3
ϕ(x) =
6 log(1 + η 2 + ξ 2 ) − 1
auf dem Intervall I = [0, 1] × [−1, 1].
(a) Weisen Sie die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes mit Kontraktionskonstante
q = 5/6 bezüglich der Maximumnorm nach. (Hinweis: Mittelwertsatz.)
(b) Es seien x(k) die Iterierten der Fixpunktiteration x(k+1) = ϕ(x(k) ) mit Startvektor x(0) = (0, 0)T
und x̄ bezeichne den Fixpunkt von ϕ in I. Wieviele Iterationsschritte sind hinreichend, um
(k)
x − x̄ ≤ 10−3
∞
garantieren zu können?
Aufgabe 28:
(4 Punkte)
Gegeben sei die Funktion
ϕ(x) = 2 + x(3 − 2α(1 + x)),
α 6= 0.
(a) Berechnen Sie alle Fixpunkte von ϕ.
(b) Bestimmen Sie für jeden Fixpunkt x̄ aus (a) diejenigen α, für die die Fixpunktiteration x(k+1) =
ϕ(x(k) ), k ∈ IN lokal konvergiert.
(c) Bestimmen Sie zu jedem Fixpunkt x̄ aus (a) und alle dazugehörigen α aus (b) eine möglichst
große Umgebung U (x̄), so dass die Fixpunktiteration für alle x(0) ∈ U (x̄) konvergiert.
(d) Wählen Sie für jeden Fixpunkt aus (a) α in (b) so, dass die Fixpunktiteration lokal mindestens
superlinear konvergiert. Berechnen Sie für diese α die Konvergenzordnung.
Abgabe: Mittwoch, 04. Juni 2008, 12:00 Uhr
Besprechung: KW 24, 9. Juni – 13. Juni 2008
Prof. Dr. C. Schneider · Dipl.-Ing. R. Griesmaier
http://numerik.mathematik.uni-mainz.de/NumerikSS08