p relativ

Vorlesung: Comp. Rechenmethoden
Übung: 2
Datum: 07.09.2010
Dr. J. Rautenberg, Jens Neuser
1.
Pferde in der preuÿischen Armee
Ein klassisches Beispiel für eine Poisson-Verteilung ist die Statistik über preuÿische Soldaten, die
von Pferden zu Tode getrampelt wurden. In zehn verschiedenen Armeekorps wurden im Verlauf von
zwanzig Jahren (im 19ten Jahrhundert) 122 Todesfälle verzeichnet.
(a) Bestimme die Zahl
λ,
die mittlere Zahl an Toten pro Korps und Jahr.
(b) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem bestimmten Korps im Verlaufe eines Jahres
nicht ein einziger Unfall passiert? Wie oft passiert in allen beobachteten Korps im gesamten
betrachteten Zeitraum zusammen kein einziger Unfall?
(c) Wie oft kommt es insgesamt zu einem, zwei, drei oder vier Unfällen pro Korps und Jahr?
Tatsächlich beobachtete die preuÿische Armee folgende Werte:
2.
Anzahl an
absolute
Unfällen
Häugkeit
0
109
1
65
2
22
3
3
4
1
Statistischer Fehler
Aus früheren Experimenten sei in etwa bekannt, dass ein Bruchteil
R
von ungefähr 1/200 aus einer
Gruppe von Tauiegen (Drosophila ) unter dem Einuss einer gegebenen Dosis Röntgenstrahlung
eine bestimmte Eigenschaft
A
entwickelt. Es wird ein Experiment geplant, dass die Gröÿe
einer Genauigkeit von 1% bestimmen soll.
Wieviele Tauiegen müssen untersucht werden, um diese Genauigkeit zu erreichen?
I
R
mit
3.
Höchsternergetische Luftschauer
Mit Auger-Daten wurde gezeigt, dass die Ankunftsrichtung von höchstenergetischen Luftschauer
mit der Richtung relativ naher AGNs (active galactic nuclei ) korreliert ist.
Dazu werden um die
AGNs Suchfenster von typischerweise einigen Grad Radius gelegt und überprüft, ob die beobachteten
Ereignisse aus diesem Suchbereich stammen. Die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne zufällige Korrelation sei
p.
Dann kann die Wahrscheinlichkeit
P,
k
dass
oder mehr Ereignisse aus insgesamt
n
beobachteten Ereignissen zufällig eine Korrelation zeigen, berechnet werden mit
P =
n X
n
j=k
j
pj (1 − p)n−j
(1)
(kumulative Binomialverteilung ), wobei
n
n!
:=
.
j
j! (n − j)!
Nur wenn
P
(2)
relativ klein ist (z.B.
P < 1%),
wird dies als Hinweis auf eine mögliche echte Korre-
lation angesehen.
(a) In einem Experiment liegt bei
k
= 12 aus insgesamt
n = 15
Ereignissen die Ankunftsrichtung
innerhalb der Suchfenster; bei den im Experiment gewählten Werten für die Gröÿe des Suchfensters und die Maximalentfernung der AGNs gilt
Berechne die Wahrscheinlichkeit
P,
p = 20%.
dass zufälligerweise 12 Ereignisse korrelieren.
Zeigt das
Experiment echte Korrelation?
(b) Bei einer Vergröÿerung des Suchfenster oder bei Einbeziehung weiter entfernter AGN in die
Suche, kann man einerseits erreichen, dass die Ankunftsrichtung aller 15 Ereignisse innerhalb
des Suchbereiches um die AGN liegen; andererseits erhöht sich dann aber auch die Zufallswahrscheinlichkeit
p.
Wird
p
zu groÿ (p
→ 100%),
kann es sein, dass
P > 1%
(also kein
Hinweis auf eine signikante Korrelation) selbst dann gilt, wenn alle Ereignisse korrelieren (in
diesem Fall sollten die Suchkriterien wieder verschärft werden).
Welches ist das maximale
pmax ,
so dass
P (pmax ) < 1%
II
für den Fall
k = n = 15?