p - Kfki

BIOPHYSIK
Elektrischer Ladungstransport
14. Vorlesung
Transportprozessen:
Strömungsmechanik + Diffusion
Allgemeine Beschreibung
I
Elektrische Stromstärke (I):
R
I=
U
•Elektrischer Ladungstransport (elektr. Strom)
•Volumentransport (Strömung von Flüssigkeiten
und Gasen)
•Strofftransport (Diffusion)
•Wärmetransport (Wärmeleitung)
•Allgemeine Beschreibung von
Transportprozessen
•Energetische Beziehungen der
Transportprozessen
U = R⋅I
[U] = V; [R] = Ω
U
Länge
R=ρ
spezifischer Widerstand
∆l
A
U=ρ
Querschnittsfläche
I=
1
ρ
∆l
I
A
A
U
∆l
∆Q
∆ϕ
= −σ A
∆t
∆l
spezifische Leitfähigkeit
elektr. Potentialdifferenz
[I ] = C = A (Amper)
s
I1 = I 2
I1
I = I1 + I 2
I2
Widerstand
Ohmsches Gesetz:
R
I2
I
Spannung
I
I1
Kirchhoffsche
Gesetze:
∆Q
∆t
Einige Grundbegriffe
Volumenstromstärke (o. Strömungsintensität, I):
I=
stationäre Strömung: zeitunabhängig
∆V
∆t
[I ] = m
3
s
A
turbulente
laminäre
I
∆V
v > vkrit
vkrit
η
= Re⋅
ρ ⋅r
Messung von I:
• Ultraschall-Doppler
laminäre Strömung
• elektromagnetischer Strommesser
• Laser-Doppler
Ideale Flüssigkeiten
Kontinuitätsgleichung
folgt aus dem Massenerhaltungsatz
A1
I
v11
A2
I1 = I 2
A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v2
v2 I2
∆V A ⋅ v ⋅ ∆t
=
= A⋅ v
∆t
∆t
I = A⋅v
v ⋅ ∆t
v ≤ vkrit
I=
innere Reibung =0 !
Gefäß
A (cm2)
v (cm/s)
Aorta
4
30
Arterien
12
10
Arteriolen
600
0,2
Kapillaren
3000
0,04
Venolen
1000
0,12
Venen
30
4
F1
F2
W = ∆Ekin
p1 ⋅ A1 ⋅ v1 ⋅ ∆t − p2 ⋅ A2 ⋅ v2 ⋅ ∆t =
1
1
p1 − p2 = ρ ⋅ v22 − ρ ⋅ v12
2
2
1
1
p1 + ρ ⋅ v12 = p2 + ρ ⋅ v22
2
2
1
1
(ρ ⋅ v2 ⋅ ∆t ⋅ A2 ) ⋅ v22 − (ρ ⋅ v1 ⋅ ∆t ⋅ A1 ) ⋅ v12
2
2
1
p + ρ ⋅ v 2 = konstant
2
Bernoullisches Gesetz
Konsequenz des Bernoullischen Gesetzes
höherer
kleinerer
Druck
Demonstration des Bernoullischen Gesetzes
Magnus Effekt
• Anton Flettner (* 1. November 1885 in Eddersheim bei
Frankfurt am Main; † 25. Dezember 1961, erfinder )
• MS Buckau, 1924, erstes Schiff mit Flettner-Rotoren
Magnus effect
Magnus effekt magnus.avi
http://www.youtube.com/watch?v=yZlFnK0EOu8
Reelle Flüssigkeiten
innere Reibung !
Newtonsches Reibungsgesetz:
FR = η ⋅ A ⋅
∆v
∆y
Viskosität
(innerer
Reibungskoeff)
[η] = Pa·s
Geschwindigkeitsgradient
Anwendung des H-P Gesetzes an die
Blutströmung
Hagen-Poiseuillesches Gesetz
Druckinhomogenitäten lösen Strömungen aus! Die
Volumenstromstärke ist proportional zu dem Druckgradient:
I
p2
p1
∆V
π 1 4 ∆p
=−
r
8 η ∆l
∆t
∆l
( p1 > p2)
Gültigkeitsbedingungen (!):
• laminäre Strömung,
• stationäre Strömung,
• starre Röhre,
• Newtonsche Flüssigkeit.
•
•
•
•
laminäre Strömung?
stationäre Strömung?
starre Röhre?
Newtonsche Flüssigkeit? Blut
Regulierung der Blutströmung:
Obwohl nicht exakt,
doch ist das H-P
Gesetz annähernd
anwendbar an die
Blutströmung!
•
•
•
∆p
η
r4
Analogie zw. Strömung und elektrischem Strom
Volumentransport
Was verursacht
den Transport?
Was strömt?
elektr. Ladungstransport
∆V
π 1 4 ∆p
=−
r
∆t
8 η ∆l
∆p
Druckgradient:
∆l
p
Volumen: V
∆Q
∆ϕ
= −σ A
∆t
∆l
∆ϕ
el. Pot.gradient:
∆l
∆V
∆t
∆Q
∆t
ϕ
el. Ladung:
Q
( )2 ∆∆pl
∆V
1 1 2
=−
r π
8π η
∆t
A2
A
Analogie zw. Blutkreislauf und elektrischem Stromkreis
Rechnungen aufgrund der Analogie:
Analogie zw. Strömung und elektrischem Strom
Volumentransport
∆p = −8πη
∆l ∆V
A2 ∆t
RStrömung = 8πη
∆l
A2
A2
elektr. Ladungstransport
∆ϕ = U = − R ⋅ I
Relektr = ρ
∆l
A
A
Diffusion (Stofftransport)
Würfelzucker
Zuckermolekül
glucoseout
FACILITATED DIFFUSION
THROUGH MEMBRANE
glucosein
Wiederholung
Diffusionskoeffizient
2. Ficksches Gesetz
D hängt von der
• Temperatur (T),
• Grösse der Teilchen (z. B. Radius, r),
• Viskosität des Mediums (η) ab.
Für kugelförmige
Teilchen:
kT
D=
6πη r
verallgemeinerte Kontinuitätsgleichung
∆J
∆c
=− ν
∆x
∆t
Einstein –
Stokes
Formel
eta = dynamische Viskosität
z.B. D (
m2/s
):
CO2 in Luft (20 °C)
O2 in Luft (20°C)
O2 in Wasser (20 °C)
Glicin in Wasser (20 °C)
Plasmaalbumin in Wasser (20 °C)
nichtstationäre Diffusion
1,8·10 −5
2·10−5
1·10 −9
9·10 −10
6·10 −11
1. Ficksches Gesetz
Jν =
1 ∆ν
∆I
∆c
=
= −D ⋅
∆A A ∆t
∆x
∆c 

∆ − D

∆2c
∆c
∆x 

=D 2
=−
∆x
∆t
∆x
 ∆2c ∆2c ∆2c 
∆c

= D 2 +
+
 ∆x
∆t
∆y 2 ∆z 2 

allgemein, 3 Raumrichtungen
 ∂ 2c ∂ 2c ∂ 2c 
∂c
= D 2 + 2 + 2 
 ∂x
∂t
∂y
∂z 

partielle Differenz
Analogie zw. Strömung und elektrischem Strom
Volumentransport
Was verursacht
den Transport?
Was strömt?
∆V
π 1 4 ∆p
=−
r
∆t
8 η ∆l
∆p
Druckgradient:
∆l
p
Volumen: V
∆Q
∆ϕ
= −σ A
∆t
∆l
∆ϕ
el. Pot.gradient:
∆l
∆V
∆t
∆Q
∆t
ϕ
el. Ladung:
Q
( )2 ∆∆pl
∆V
1 1 2
=−
r π
8π η
∆t
A2
Analogie zw. Strömung und Diffusion
elektr. Ladungstransport
H-P
Was
verursacht
den
Transport?
Volumentransport
∆V
π 1 4 ∆p
=−
r
∆t
∆l
8η
Was
strömt?
p
V
ν
∆V
∆t
∆ν
∆t
Volumen:
A
∆c
∆ν
= −D A
∆x
∆t
∆c
∆x
c
Druckgradien
t
∆p
∆l
Stofftransport
1. F.
Konzentrationsgradient:
Stoffmenge
Chemisches Potential
Diffusion ist getrieben durch Konzentrationsunterschiede
und durch Temperaturunterschiede. Beide Faktoren sind
zusammengefasst in dem chemischen Potential (µ):
µ = µ 0 + RT ln
[µ ] =
J
mol
c
c0
c0 =1 mol/L, so µ = µ 0 + RT ln c
chemisches Normalpotential
Statt des Konzentrationsgradienten ist die
richtige Triebkraft der chem. Potentialgradient:
∆µ
∆x
Wie weit gelangen die Teilchen durch die thermische Bewegung?
Zufälliges „Streifen”
d
d=?
d ≈ 3D ⋅ t
t
z.B. Diffusion von O2 im Gewebe:
d
0,5 mm
1 cm
1m
t
80ms
9h
11 Jahre
!
Diffusion durch eine Membrane
J
c2
c1
c1
c2
Diffusionsstromdichte (J):
I
J=
A
∆x
I=
c1 > c2
Diffusion von Ionen durch eine Membrane
J = −D ⋅
[J ] = mol2
s⋅m
∆ν
∆c
= −D ⋅ A ⋅
∆t
∆x
∆c
∆x
J = − p ⋅ ∆c
= − p ⋅ ∆c
Permeabilitätskoeffizient
(m/s)
Im Gleichgewicht:
Felektr. + Fchem = 0
∆ϕ
∆µ
F= 96500 C/mol
=−
Faraday-Konstante
∆x
∆x
1
T
T
∆ϕ = (µ1 − µ 2 )
F
Kation+ — mobil
1
−
Anion — immobil (p = 0)
= (µ0 + RT ln c1 − µ0 − RT ln c2 )
F
c1 > c2
1
= RT (ln c1 − ln c2 )
µ1 > µ2
F
F⋅
ϕ1 < ϕ 2
∆ϕ =
RT c1
ln
F
c2
Das elektrochemische Potential
Das chemische Potential treibt K-Ionen nach aussen.
Das elektrische Potential hält Kationen in der Zelle zurück.
Donnan-System
c1
c2
Im Gleichgewicht:
e
e
µ K,
1 = µ K, 2
F ⋅ ∆ϕ = − ∆µ
e
e
µ A,
1 = µ A, 2
F ⋅ (ϕ 2 − ϕ1 ) = −(µ 2 − µ1 ) = µ1 − µ 2
µ 2 + F ⋅ ϕ 2 = µ1 + F ⋅ ϕ1
µ e = µ + F ⋅ϕ
T
T
µ e = µ + z ⋅ F ⋅ϕ
Kation+ — mobil
Anion− — immobil (p = 0)
∆ϕ =
RT cK, 1 RT cA, 2
ln
ln
=
cA, 1
F
cK, 2
F
Anion− — mobil
für die mobilen Ionen:
elektrochemisches Potential
Ladungzahl des Ions
Donnan-Spannung
cK ,1 > cK ,2
cA ,1 < cA ,2
ohne Wasser
Osmose
eine Art von Diffusion
ein Tag
im Wasser
Unter Osmose versteht
man den Nettofluss von
Wasser durch eine
Membrane hindurch (frei
Diffusion nur für Wasser).
Membrane: eine
halbdurchlässige Wand
osmotischer Druck:
posm = c R T
Onsagersche Gleichung.
Energetische Beziehungen
− ∆ϕ = R ⋅ I
∆V
π 1 4 ∆p
=−
r
∆t
8 η ∆l
.
.
.
∆ν
∆c
= −D ⋅ A ⋅
∆t
∆x
J = LX
Zustandsgrössen sind Grössen, die zur
Beschreibung des Zustandes eines stofflichen
Systems dienen, T, V, p, m, ...
Extensive Grössen
Quantitätsgrössen
T, V, p, m, ...
T
T
V/2
V/2
p
p
m/2
m/2
extensive Grösse:
ändert ihren Wert, wenn das System in kleinere Teilsysteme
zerlegt wird (V, m, ...)
die sich mit der Grösse („Extension”) des beobachteten
Systems ändert
additive Grössen
im Gleichgewicht: kein Transport der extensiven Grösse
während Transport diese Grösse wird transportiert
z.B.
intensive Grösse:
behält den Wert, wenn das System in kleinere
Teilsysteme zerlegt wird (T, p, ...)
∆V
∆t
V
1 ∆V
A ∆t
Volumen, Volumenstromstärke, Volumenstromdichte
Intensive Grössen
Qualitätsgrössen
im Gleichgewicht für die Teile des Systems und
für das Ganze System dieselben sind
↔ homogene Verteilung
die Inhomogenität der intensiven Grösse verursacht
Transportprozesse
Ausgleich
p, T, ϕ, µ, c, ...
z.B.
B
A
x1
x2
x3
p( x1 ) − p( x 2 ) = − ∆p( A )
wenn
x4
p( x 3 ) − p( x 4 ) = −∆p(B )
− ∆p( A ) = − ∆p(B )
dann, die Inhomogenität von System A ist
grösser als die von System B
T Ausgleich ⇒ T intensive Gr.
m addiert sich ⇒ m extensive Gr.
Cola + Eis = kalte Cola
die Charakteristik der Inhomogenität:
∆p
∆x
Gradient der intensiven Grösse
Druckgradient
x
Verbindet man in einem Gravitationsfeld Punkte mit
gleichem Gravitationspotential, so erhält man
Äquipotentialflächen (Höhenlinien)
Höhenlinien: alle Punkte gleicher Höhe werden durch eine
Kurve verbunden,
die Dichte der Höhenlinien representiert die Inhomogenität
des Gravitationsfeldes
(-1) x Gradientvektor
grosse Inhom.
Onsager
Verallgemeinerte Beschreibung d. Transportprozesse
Die Inhomogenität einer intensiven Grösse verursacht
den Transport der entsprechenden extensiven Grösse.
∆(intensive Grösse )
1 ∆(extensive Grösse)
~−
A
∆x
∆t
Die Stromdichte einer extensiven Grösse (J) und
der negativen Gradient der intensiven Grösse (X)
sind proportional zueinander
J = LX
kleine Inhom.
L: Onsager Koeffizient („Leitfähigkeit”)
X: thermodynamische Kraft
Zusammenfassung
Wechselwirkung
fliessende
extensive
Grösse
elektrische
Q
(Ladung)
V
(Volumen)
thermodyna
mi-sche Kraft
Ohm
−
∆φ
∆x
−
∆p
∆x
−
∆µ i
∆x
−
∆T
∆x
chemsiche
νi
HagenPioseuille
Fick
thermische
(Stoffmenge)
E
(Energie)
Fourier
mechanische
Zustandsfunktionen
Zustandsfunktion: ihre Grösse eindeutig durch den
Zustand des Systems bestimmt ist.
Änderung der Zustandsfunktion ist vom Weg
unabhängig.
Die hängt nur von den Anfang- und Endzustände ab.
Die innere Energie
Die innere Energie eines Systems ist die Energie die
die Atome/Moleküle besitzen:
Es ist die Summe der kinetischen Energie +
die potentielle Energie der Atome, die miteinander in
Wechselwirkung stehen (d.h. auch die
Bindungsenergie)
Die innere Energie
Flüssigkeiten
Festkörper
Atome
Gase
Verschiedene Arten von
thermodynamischen Systemen
kin.+Wechselw.
Vibration+Ww.
Moleküle
kinetische E.
einzelne Zelle
kin.+Bindungs.+Vibr.
kin.+Ww.+Bind+Vibr
Reaktionsgefäss Thermoskanne
Vibration+Ww.
0. Hauptsatz der Thermodynamik
(4. Hautpsatz)
Erfahrungstatsache:
Die isolierte Systeme
(ohne Energieabgabe an die "Aussenwelt", oder
Energiezufuhr von der "Aussenwelt")
haben im thermischen Gleichgewicht nach ausreichend
langer Zeit überall dieselbe Temperatur.
1. Hauptsatz der Thermodynamik
(Satz der Energieerhaltung)
Änderung des Energiegehaltes eines Systems (∆U) ist
gleich der Summe der ausgetauschten Wärmeenergie
(Q) und der ausgetauschten mechanischen Energie
(d.h. Arbeit W):
∆U=Q+W
Q ist positiv bei Wärmeaufnahme
W ist positiv wenn die Arbeit an dem System
geleistet wurde.
∆V=VEnd-VAnfang
VAnfang
F
p
A
s
VEnd
−∆ V
bei Kompression
∆V ist negativ
W = Fs =
Isobare Prozesse
(p=Konst)
Isochore Prozesse
(V=Konst)
Mechanische Arbeit
F
As = − p∆V
A
∆U=Q+W
∆U=Q+W, ∆U=Q - p∆
∆V
V=Konst. ∆V =0 keine mech. Arbeit ∆U=Q
p
-∆W
V
∆V so klein ist, dass die
A
V
Die Enthalpie
Eine andere Zustandsfunktion:
H=U+pV
In den lebenden Systemen
laufen die themodynamische
Prozesse bei konstantem
Druck ab.
Die Entropie
phenomenologische Definition:
∆S =
∆Qrev
T
bei isobaren Prozessen:
∆H=∆U+∆(pV)=∆U+∆pV+p∆V= Q-p∆V +p∆V=Q
∆U=Q-p∆V
bei isobaren
Prozessen
∆p=0
∆H=Q
B
A
B
-∆V
Änderung von p
vernachlässigt werden
kann
Enthalpie:
p
Einheit: J/K
„Mass der Anordnung“
zB: Schmelze von Eis bei 0°C:
Eis + Wärme → Wasser
geordneter Kristall
(Kristallgitter)
ungeordnete Moleküle
Die statistische Definition
der Entropie
Makro- und Mikrozustände
S = k ln w
Makrozustände nlinks
k Boltzmannsche Konstante
w thermodynamische Wahrscheinlichkeit des
Zustandes
thermodynamische Wahrscheinlichkeit =
Anzahl der Mikrozustände, die zu einem Makrozustand des
Systems gehören.
thermodynamische
Wahrscheinlichkeit
mathematische
Wahrscheinlichkeit
1
6
1
Makrozustand ist durch p,
V, T, ν …
(makroskopische
Grössen) bestimmt.
Mikrozustand ist durch
Position und
Geschwindigkeit der
Teilchen (Atome,
Moleküle) angegeben.
Mikrozustände Anz.
4
abcd
1
3
abc, abd,
acd, bcd
4
2
ab, ac, ad,
bc, bd, cd
6
1
a, b, c, d
4
0
-
1
2. Hauptsatz der Thermodynamik
Bei spontan laufenden Prozesse:
∆S≥0
In reversiblen Prozessen ∆S=0
Bei irreversiblen Prozessen ∆S>0
∆ S = S End − S Anfang = k ln
w End
>0
w Anfang
wEnd >wAnfang
Die Prozesse laufen spontan in die Richtung der
Erhöhung der thermodynamischen Wahrscheinlichkeit
Fragen, Bemerkungen, Kommentare?…