Präsenzblatt 11

Analysis für Informatiker (Prof. Dr. Bürgisser)
Wintersemester 10/11
11. P r ä s e n z ü b u n g
Aufgabe 56: (Konvergenzradius bestimmen)
P
n
Gegeben sei die Potenzreihe f (z) = ∞
n=0 an z . Angenommen, der Grenzwert
ρ :=
1
limn→∞
p
n
|an |
existiert. In der Vorlesung wird demnächst gezeigt, dass die obige Potenzreihe für komplexe
Zahlen z mit |z| < ρ absolut konvergiert und für komplexe Zahlen z mit |z| > ρ divergiert.
Man nennt ρ den Konvergenzradius der Potenzreihe.
Berechnen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
P∞ 4 n
(i)
n=0 n z ,
P∞ 5 n n
(ii)
n=0 n 5 z ,
P∞ n! n
(iii)
n=0 n2 z .
2
(iv) Finden Sie ein Potenzreihe mit Konvergenzradius ρ = 0.
Aufgabe 57 (Logarithmus)
Bestimmen Sie die Anzahl der Dezimalstellen von 21000 .
Aufgabe 58 (O-Kalkül)
Begründen oder widerlegen Sie die folgenden asymptotischen Ausagen für n → ∞:
(a) n2 log n = O(n3 )
(b) en = o(nn )
(c) en/2 n5 log n = O(en )
2
(d) n5 = O(e(log n) )
2
(e) n5 = o(e(log n) )
Aufgabe 59 (Fehlerabschätzung)
Zeigen Sie die folgenden Fehlerabschätzungen:
n
1
−1 X (−1)k ,
≤
e −
k!
(n + 1)!
k=0
n
X
1 2
.
e −
≤
k!
(n + 1)!
k=0
Aufgabe 60: (Additionstheoreme der Winkelfunktionen)
Wir definieren die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus für x ∈ R durch
cos x :=
eix + e−ix
,
2
sin x :=
eix − e−ix
.
2i
Dabei ist i ∈ C mit i2 = −1. Beweisen Sie die Additionstheoreme der Winkelfunktionen:
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y).
Hinweis: Verwenden Sie das Additionstheorem exp(z + w) = exp(z) exp(w) der Exponentialfunktion.