Übungsblatt 2.

Übungen zu Mechanik II
Blatt Nr. 02
Tutorium 06.03.2017
Aufgabe 1: Ein Massenpunkt bewegt
R t sich in einem Zentralpotential: U = U (|~r |) := α/|~r |.
Die Wirkung hat die Form S = t 2 dt (T − U ), wobei T = 12 m~r˙ 2 die kinetische Energie
1
bezeichnet. Betrachtet wird eine Skalentransformation”,
”
Z t
2
′
′
′
dt L(~r ′ , ~r˙ ′ ) .
t → t := t , ~r → ~r := ∆~r , S → S :=
t1
Zeigen Sie, dass das Hamiltonsche Prinzip,
dS ′ =0,
d∆ ∆=1
zum Virialsatz” hT i = −hU i/2 führt, wobei h...i den Mittelwert während einer Periode einer
”
gebundenen Bewegung bezeichnet.
Aufgabe 2: Ein Massenpunkt mit Masse m und elektrischer Ladung q befinde sich in einem
~ ~r ) und einem Magnetfeld B(t,
~ ~r ). Elektromagnetische Felder lassen sich
elektrischen Feld E(t,
~ ~r ) wie folgt ausdrücken,
allgemein durch elektromagnetische Potentiale Φ(t, ~r ), A(t,
~
~ = − 1 ∂ A − ∇Φ,
E
c ∂t
~ =∇×A
~.
B
Die Lagrange-Funktion des Teilchens lautet
L=
q
m ˙2
~ ~r ) .
~r − q Φ(t, ~r ) + ~r˙ · A(t,
2
c
(a) Bestimmen
Sie den zu ~r kanonisch konjugierten Impuls p~, sowie die Energie E =
P
r, p~, t aus.
i ẋi ∂L/∂ ẋi − L. Drücken Sie E als Funktion von ~
(b) Leiten Sie aus der Lagrange-Funktion die Bewegungsgleichung für das Teilchen her (aus~ und B).
~
gedrückt durch E
Aufgabe 3: In geeigneten Einheiten lautet die Lagrange-Funktion eines dreidimensionalen
harmonischen Oszillators
1
L = (~r˙ 2 − ~r 2 ) .
2
Zeigen Sie, dass die Transformation
x′i = xi +
ǫ
δik ẋl + δil ẋk ,
2
k, l ∈ {1, 2, 3} ,
die Wirkung invariant lässt. Bestimmen Sie die zugehörigen Noether-Ströme Jkl . Zeigen Sie,
dass die Energie-Erhaltung darin enthalten ist. Was könnten die anderen Erhaltungsgrössen
sein? [Antwort: Jkl = ẋk ẋl + xk xl .]