Kapitel 2: Zufallsversuche und Wahrscheinlichkeiten 2.1 Ergebnisse

Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
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Kapitel 2:
Zufallsversuche und Wahrscheinlichkeiten
2.1 Ergebnisse von Zufallsversuchen und
ihre Wahrscheinlichkeiten
Beispiele von Zufallsversuchen/Ergebnissen
• Ein Würfel wird geworfen
• Eine Gewinnzahl im Lotto wird gezogen
• Eine Karte aus einem Kartenspiel wird gezogen
• Die Körpergröße von Personen wird bestimmt
Definition:
Ein beliebig oft wiederholbarer Vorgang, dessen Ergebnis sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt, heißt Zufallsversuch. Die Menge von allen möglichen Ergebnissen heißt Ergebnisraum = S (auch Stichprobenraum) .
Beispiel:
Ergebnisraum beim 1- fachen Würfeln:
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
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Beispiel Chancen
A und B vereinbaren ein Würfelspiel.
A zahlt 1 DM an B, wenn die Augenzahl 3 gewürfelt
wird, andernfalls zahlt B an A einen Betrag.
• Welche Gewinnchance hat A?
• Mit welchem Anteil an Gewinnspielen kann A rechen?
• Welchen Betrag muss B an A zahlen, damit das Spiel
fair ist?
• Protokollieren der Anzahl der Dreien während 300
Runden
Anzahl der Anzahl der Anzahl der Anzahl der
Würfe
Dreien
Würfe
Dreien
20
2
180
35
40
5
200
35
60
11
220
40
80
13
240
41
100
16
260
45
120
19
280
46
140
23
300
49
160
28
Berechne für jedes n die rel. Hfgkt h(n) der Anzahl der
Dreien.
2
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3
Lösung
a) Ergebnisraum beim 1- fachen Würfeln:
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Chance 1 zu 6 bzw.
1
5
für B und für A
6
6
b) Damit das Spiel fair ist, muss der Einsatz von B 0,2€
betragen.
c)
n
20
40
60
80
100
120
140
160
h(n)
0,1
0,125
0,183
0,163
0,160
0,158
0,164
0,175
n
180
200
220
240
260
280
300
h(n)
0,194
0,175
0,182
0,171
0,173
0,164
0,163
Definition:
Ein Zufallsversuch habe n mögliche Ergebnisse. Wenn
wir annehmen können, dass alle Ergebnisse die gleiche
Chance haben, dann ordnen wir jedem Ergebnis die
1
Zahl n als Wahrscheinlichkeit zu. Solche Versuche
nennen wir Laplace-Versuche.
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Wenn es ein nicht Laplace-Versuch ist, schätzen wir
die Chancen mittels relativer Häufigkeiten.
Beispiel:
Eine Reißzwecke ist nicht so regelmäßig wie z.B. ein
Würfel aufgebaut, so dass in diesem Fall nicht von einem Laplace Versuch gesprochen werden kann. Es sind
mittels Versuche rel. Hfgkt. zu ermitteln.
Zusammenfassung:
Zu jedem möglichen Ereignis eines Zufallsversuches
gibt es eine Zahl, die man Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses nennt.
Bei langen Versuchsreihen liegt die rel. Hfgkt. in der
Nähe dieser Wahrscheinlichkeit (Gesetz der großen
Zahlen), sie kann als Schätzwert verwendet werden.
Ein Ergebnis tritt mit der Wahrscheinlichkeit p auf,
dann kann bei sehr häufiger Durchführung (n-mal) mit
dem Ergebnis n*p gerechnet werden.
Hierzu bitte
Übungen 2.1 : Nr. 4abce, 5ab, 7, 13
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2.2 Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 1
Laplace-Versuchen
Urne mit 50 Kugeln, mit Nummern 1; 2; 3; ..; 50
Eine Kugel zufällig ziehen
• Ereignis: Die Nummer ist eine Primzahl
E1={2;3;5;7;11;13;17;23;29;31;37;41;43;47}
P(E1) = 15/50 = 0,3
• Ereignis: Die Nummer ist durch 9 teilbar
E1={9;18;27;36;45}
P(E2) = 5/50 = 0,1
Definition:
Ein Ereignis lässt sich durch eine Menge von Ergebnissen beschreiben. Wir sagen, ein Ergebnis tritt ein, wenn
eines der Ergebnisse dieser Menge auftritt. Für die
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses E schreiben wir:
P(E).
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Laplace-Regel:
Haben alle Ergebnisse eines Zufallsversuchs die gleiche
Chance (Laplace-Versuch), dann gilt für die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E:
Anzahl der zu E gehörende Ergebnisse
P(E) =
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Sei |E| = Anzahl der zu E gehörende Ergebnisse und
|S| = Anzahl aller Ergebnisse, dann gilt:
P(E) =
E
S
Beispiele:
• 1 Ergebnis in E; Beim Würfeln das Ergebnis Augenzahl ist 6; E = {6}
• E = S; P(E) = P(S) = 1
„Das sichere Ereignis“,
Beispiel: Die Augenzahl beim Würfeln ist kleiner 7.
• kein Ergebnis gehört zu E; E = { }
P(E) = 0
Beispiel: Die Augenzahl beim Würfeln ist größer 6.
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Aufgabe 2
7
Nicht-Laplace-Versuche
Für einen gezinkten Würfel hat man die folgenden
Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten ermittelt:
Augenzahl
1
2
3
4
5
6
Wahrscheinlichkeit 0,21 0,15 0,13 0,20 0,19 0,12
E = gerade Augenzahl
E = {2 , 4 , 6}
P(E) = P(2) + P(4) + P(6)
= 0,15 + 0,20 + 0,12 = 0,47
Wenn bei einem Zufallsversuch das Ereignis E mit den
Ergebnissen s1, s2,….., sk interessiert und diese mit den
Wahrscheinlichkeiten P({s1}), P({s2}), …., P({sk}) auftreten, dann gilt:
P(E) = P({s1}) + P({s2}) + …. + P({sk})
Hierzu bitte
Übungen 2.2 : Nr. 1,3,5,7 und 10
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Aufgabe 3 Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
Ç
E
S
Komplementärregel:
E=S\E
(
)
P E ∪ E = P (S ) = 1
( )
P(E ) = 1 − P( E )
P E ∪ E = P (E ) + P ( E ) = 1
Beispiel:
Ein Würfel wird 2mal geworfen
E = zwei verschiedene Augenzahlen
P(E) = ?
Ç = zwei gleiche Augenzahlen
6 1
1 5
PE =
= ⇒ P (E ) = 1 − =
36 6
6 6
()
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Aufgabe 4
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Wahrscheinlichkeit von UndEreignissen
Definition:
Zu dem Und-Ereignis A und B gehören alle Ergebnisse, die zu A und zugleich zu B gehören. Seine Ergebnismenge ist A∩B.
Definition:
Zu dem Oder-Ereignis A oder B gehören alle Ergebnisse, die zu A oder zu B (oder zu beiden) gehören. Seine
Ergebnismenge ist A∪B.
Beispiel:
Betrachte eine Urne mit 100 Kugeln, numeriert 1-100
A: Die Zahl ist durch 9 teilbar
B: Die Zahl ist durch 12 teilbar
C: Die Zahl ist durch 9 und 12 teilbar
D: Die Zahl ist durch 9 oder 12 teilbar
A={9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99}
P(A) = 11/100
B={12,24,36,48,60,72,84,96}
P(B) = 8/100
C = A ∩ B = {36,72} (Sowohl in A als auch in B)
P(C) = 2/100
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D = A∪B = (zu A oder zu B (oder zu beiden))
{9,12,18,24,27,36,45,48,54,60,63,72,81,84,90,96,99}
P(D) = 17/100
Aufgabe 5
Wahrscheinlichkeit von OderEreignissen
Summenregel:
Die Wahrscheinlichkeit des Oder-Ereignisses A∪B ist
gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B, vermindert um die Wahrscheinlichkeit
des Und-Ereignisses A∩B :
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Beispiel:
Gehen wir weiter mit dem letzten Beispiel:
P(D) = P(A∪B)
= P(A) + P(B) – P(A∩B) (da sonst doppelt erfasst)
= 11/100 + 8/100 - 2/100 = = 17/100
(und diese Antwort ist die gleiche wie auf der vorherigen Seite)
Hierzu bitte
Übungen 2.2: 15,18,19cd,20ab,25,26ab
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2.3 Sätze über Wahrscheinlichkeiten
Sei S ein (endlicher) Ergebnisraum mit S = {s1; s2;
……; sn}, n ∈ N.
Dann gilt:
1. P({s1; s2; ……; sk})
= P({s1}) + P({s2}) + … + P({sk}) für k ≤ n
2. P({ }) = 0
3. P({s1}) + P({s2}) + … + P({sn}) = 1
4. P({sI}) ≥ 0 für alle i = 1, 2, 3,…., n
5. P(E) ≥ 0 für beliebige Ereignisse E
6. P(S) = 1
7. P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2),
falls E1∩E2 = { }
8. P(E1∪E2)= P(E1) + P(E2) - P(E1∩E2)
für beliebige Ereignisse E1,E2
9. P(E) + P(E ) = 1 für beliebige Ereignisse E
10. P(E) ≤ 1 für beliebige Ereignisse
Die Sätze 1, 2, 3, 4 bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsgrundsätze.
Hierzu bitte
Übungen 2.3: 12
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12
Kapitel 3
Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.1 Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen
Zufallsversuchen
Aufgabe 1 & 2
Darstellung von mehrstufigen Zufallsversuchen und deren Wahrscheinlichkeiten.
Man wirft 3mal einen Reissnagel,
P(Lage Kopf) = 0,4
P(Lage Seite) = 0,6
Dann:
•
Baumdiagramm
•
Wahrscheinlichkeit Ergebnisse = Pfadmultiplikationsregel
•
Wahrscheinlichkeit Ereignisse = Pfadadditionsregel
Hierzu bitte
Übungen 3.1: 1a(1)(2), 1b(1)(2), 2, 3a(1)(2),4ab, 5, 8
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Aufgabe 3
Wahrscheinlichkeit in der Abhängigkeit
vom Zielvorgang.
In eine Urne sind 30 Kugeln; 3 mit den
Nummern 0; 3 mit Nummer 1; 3 mit
Nummer 2; u.s.w.
Wir ziehen drei Kugeln, und die Nummern
bestimmen die Glückszahl bei einer Lotterie. (000, 001, 002, ...,999)
Zwei Möglichkeiten bei 3maligen Ziehen:
•
Mit zurücklegen:
P(123) = P(111) = 3/30*3/30*3/30 = 1/1000
•
Ohne zurücklegen:
P(123) = 3/30*3/29*3/28 = 27/24360 ≈ 0,00111
3 unterschiedliche Zahlen
•
P(111) =3/30*2/29*1/28 = 6/24360 ≈ 0,00025
3 gleiche Zahlen
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Aufgabe 4
Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten aufgrund von Vorkenntnissen.
Schnelltestverfahren für die Prüfung ob ein
Patient an einer Krankheit leidet:
•
Wenn Krank: in 96% Test hat Reaktion
•
Wenn nicht Krank: in 2% Test weist auch
Reaktion auf, obwohl nicht krank.
•
Annahme 0,5% der Bevölkerung sind
krank
Fragen / Lösungen:
•
a) Baumdiagramm (2stufig)
•
b) P(R) = P(K∩R) + P(nK∩R)
•
c) P(K, gegeben R) = P(K∩R)/P(R)
•
d) P(nicht K; keine Reaktion) =
P(nK∩nR)
Hierzu bitte
Übungen 3.1: 10, 13 oZ, 14mZ, 16,19,21
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15
3.2 Wahrscheinlichkeiten und Satz
von Bayes
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
Welchen Anteil hat die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses an der Wahrscheinlichkeit eines zugehörigen Ereignisses.
Siehe Aufgabe 4 Abschnitt 3.1.
P(krank unter Bedingung Reaktion) =
PR(K) oder P(K|R)
Definition:
A,B seien Ereignisse eines Ergebnisraums S mit P(B) > 0.
P( A ∩ B)
PB(A) = P(A|B) =
P( B)
Lies: bedingte Wahrscheinlichkeit von A
unter der Bedingung B.
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Für die Lösung der Fragen in Aufgabe 4
sollten wir das Baumdiagramm umkehren;
erst Reaktion und dann krank statt erst
Krank und dann Reaktion.
Eine andere Lösung ist eine Vierfeldertafel
R
K
keine R Summe
0,0048 0,0002 0,005
nicht K 0,0199 0,9751 0,995
Summe 0,0247 0,9753 1
P( A ∩ B)
PR(K) = 0,0048/0,0247 =
P( B)
PnK(R) = 0,0199/0,995
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Aufgabe 1: Satz von Bayes
Scheibenwischer von 3 Firmen:
20% von Firma 1, 30% von Firma 2 und
50% von Firma 3.
Nach 6 Monaten SW unbrauchbar:
15% der Scheibenwischer von Firma 1,
18% der Firma 2 und 9% der Firma 3.
Bi : Scheibenwischer von Firma i
A : Scheibenwischer ist unbrauchbar
Fragen:
•
P(A)
•
PA(B1), PA(B2), PA(B3)
Lösung:
•
Mit Baumdiagramm:
P(A) = P(B1)*PB1(A) + P(B2)*P B2(A) +
P(B3)*P B3(A)
= 0,2*0,15+0,3*0,18+0,5*0,09
P(A) = 0,129
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•
P( B1 ∩ A) P( B1 ) * PB1 ( A)
=
PA(B1) =
P( A)
0,129
0,2 * 0,15 0,030
=
=
= 0,23256
0,129
0,129
•
P( B2 ∩ A) P(B2 ) * PB2 ( A)
=
PA(B2) =
P( A)
0,129
0,3 * 0,18 0,054
=
=
= 0,41860
0,129
0,129
•
P( B3 ∩ A) P( B3 ) * PB3 ( A)
=
PA(B3) =
P( A)
0,129
0,5 * 0,09 0,045
=
=
= 0,34884
0,129
0,129
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Sei B1, B2, …, Bm eine Zerlegung des Ergebnisraumes S d.h. es gilt:
B1 ∪ B2 ∪ …∪
∪ Bm = S und
BI ∩ Bj = {} für i≠
≠j
mit P(Bj)>0 Für j=1,….,m.
m
P( A) = ∑ P( B j ) ⋅ PB j ( A)
Dann gilt:
j =1
Diese Regel heißt Satz von der totalen
Wahrscheinlichkeit.
Mit Hilfe dieser Darstellung von P(A)
folgt:
PA ( Bi ) =
P ( Bi ) ⋅ PB j ( A)
m
∑ P(B ) ⋅ P
j =1
j
Bj
( A)
P ( A ∩ B)
=
P ( A)
Diese Regel heißt Satz von Bayes.
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Aufgabe 2: Multiplikationsregel
Aus einer Urne mit n numerierten Kugeln wird eine Kugel gezogen, die Nummer der gezogenen Kugel wird notiert
und die Kugel wieder zurückgelegt. Der
Vorgang wird k-mal durchgeführt
(k∈
∈ N).
Fragen:
a) Berechne für n=30 und k=1,2,3,4 die
Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
Ek = Lauter verschiedene Kugeln werden gezogen und
E k = Mindestens zwei der gezogenen
Kugeln sind gleich.
b) Ai = Die beim i-ten Mal gezogene Kugel wurde bis zu dieser Ziehung nicht
gezogen (i ≤ k). Beschreibe Ek mit
Hilfe der Ai und gib einen Term für
die Wahrscheinlichkeit von Ek an.
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Lösung:
a) P(E1) = 30/30 = 1
P(E2) = 30/30 * 29/30 =0,967
P(E3) = 30/30 * 29/30 * 28/30 =0,902
P(E4) = 30/30 * 29/30 * 28/30 * 27/30=0,812
P( E k ) = 1 - P(Ek)
b) E1 = A1
E2 = A1 ∩ A2
E3 = A1 ∩ A2 ∩ A3
E4 = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4
:
Ek = A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ak
P(Ek) = P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ak)
n n −1 n − 2
n−k +1
= ⋅
⋅
⋅ ..... ⋅
n n
n
n
21
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22
Multiplikationsregel:
P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ak)= P(A1) * P(A2|A1) *
P(A3|A1 ∩ A2) * … * P(Ak| A1 ∩ A2 ∩ ∩ Ak-1)
Definition:
A, B seien Ereignisse eines Ergebnisraums S.
A, B heißen stochastisch voneinander
unabhängig, wenn P(A∩
∩ B) = P(A) *
P(B), andernfalls stochastisch voneinander abhängig.
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Aufgabe 3: Unabhängigkeit von Merkmalen
Schule mit:
527 Jungen hiervon 372 mindestens Note
befriedigend im Fach Deutsch
489 Mädchen hiervon 379 mindestens
Note befriedigend im Fach Deutsch
Fragen:
a) Vierfeldertafel
b) P(Student hat mindestens Note befriedigend) = P(A)
c) PA(B) = Gezogene Karte ist von einem Jungen und mindestens Note befriedigend
d) Sind Junge oder Mädchen und Note
stochastisch voneinander abhängig?
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24
Lösung: a)
Jungen Mädchen Summe
mindestens 372
befriedigend
379
751
schlechter als 155
befriedigend
110
265
Summe
489
1016
527
b) P(A) = 751/1016 = 0,739
c) B = Gezogene Karte ist von einem
Jungen
∩ B)
PA(B) = P(A∩
/P(A) = 372/751 = 0,4953
d) P(A∩
∩ B)= P(A) * P(B) dann unabhängig
P(A∩
∩ B) = 372/1016 = 0,316
P(A) * P(B) = 751/1016 * 527/1016 = 0,383
P(A∩
∩ B) ≠ P(A) * P(B) Also A und B
sind stochastisch von einander abhängig
Übungen 3.2: 3,5b,7,9c,19a,21,22,30
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25
3.3 Kombinatorische Hilfsmittel
Braucht man für das Feststellen von Laplacewahrscheinlichkeiten.
Aufgabe 1: Produktregel der
Kombinatorik.
Beispiel
In eine Werkstatt stehen :
• 2 Fräsmaschinen F1 und F 2
• 3 Bohrmaschinen B1, B2 und B 3
• 2 Schleifmaschinen S1 und S 2
Wie viele Wege gibt es für ein Werkstück, das im Fertigungsprozess zuerst gefräst, dann gebohrt und zum
Schluß geschliffen werden muss.
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26
S1
B1
S2
S1
F1
B2
S2
S1
B3
S2
S1
B1
S2
S1
F2
B2
S2
S1
B3
S2
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27
Insgesamt:
2 x 3 x 2 = 12 Möglichkeiten.
Produktregel der Kombinatorik:
Ein Versuch wird in k Stufen durchgeführt, auf der
1.Stufe gebe es n1 Ergebnisse,
2.Stufe gebe es jeweils n2 Ergebnisse,
3.Stufe gebe es jeweils n3 Ergebnisse,
:
k.Stufe gebe es jeweils nk Ergebnisse.
Sind die Ergebnisse einer Stufe unabhängig von den Ergebnissen der
vorangehenden Stufen, dann gibt es
bei dem Versuch insgesamt
n=n1*n2*n3*...*nk mögliche Ergebnisse.
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28
Aufgabe 2: Anzahl der Anordnungen.
Beispiel
Auf wieviel verschiedene Arten kann man 10
Bücher auf ein Bücherbrett nebeneinander anordnen?
Besetzung des 1.Platzes: 10 Möglichk.
Besetzung des 2.Platzes: 9 Möglichk.
Besetzung des 3.Platzes: 8 Möglichk.
...
Besetzung des 9.Platzes: 2 Möglichk.
Besetzung des 10.Platzes: 1 Möglichkeit
Gesamt 10*9*8*...*2*1=3628800 Anordnungen
Bei n Bücher n*(n-1)*(n-2)*...*2*1
Anordnungen
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29
Anordnung und Fakultät
n-Fakultät: 0! = 1
1! = 1
n! = 1*2*3*....*(n-1)*n für
n∈
∈ N\{1}
Satz:
Für n verschiedene Elemente gibt es n!
verschiedene Anordnungen
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30
Aufgabe 3: Anwendung der Produktregel
zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten.
Beim Fussball-Toto müssen in 11 Reihen jeweils
entweder 0 oder 1 oder 2 angekreuzt werden.
• Wieviele verschiedene Tipreihen
3*3*3*...*3 = 311 = 177147
sind möglich?
• Wie viele Tipreihen mit genau einem Fehler sind
Möglich?
Pro Zeile kann man statt der richtigen
Ziffer eine von zwei falschen Ziffern
ankreuzen, d.h. also 2 (Fehler pro Zeile) * 11 (Zeilen) = 22 Möglichkeiten.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit auf 10 und auf
11 Richtige, wenn Sie überhaupt kein Verständnis
von Fußball haben
P(11 gut) = 1/177147 ≈ 0,000006
P(10 gut) = 22/177147 ≈ 0,0001
Übungen 3.3: 1,3,5,7,13,15,18 und 19
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31
Aufgabe 4: Anzahl der k-elementigen
Anordnungen einer n-elementigen Menge.
Beispiel 1
Man zieht aus einer Urne mit 10 Kugeln,
nummeriert 1 bis 10, 3.mal eine Kugel,
mit zurücklegen
Dann 10*10*10 Ergebnisse, wenn Sie
auf die Reihenfolge achten.
Beispiel 2
Wie in Beispiel 1, aber ohne zurücklegen
Dann 10*9*8 Ergebnisse, wenn Sie auf
die Reihenfolge achten.
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
32
Satz:
Gegeben sei eine n-elementige Menge .
Dann gilt:
• Die Anzahl der k-elementigen Anordnungen mit Wiederholungen ist nk
• Die Anzahl der k-elementigen Anordnungen ohne Wiederholungen ist (für
k ≤ n) :
n*(n-1)*(n-2)*....*(n-(k-1)) =
n!
(n − k )!
Satz:
Gegeben sei eine Urne mit n Kugeln.
• Aus dieser Urne kann man nk geordnete Stichproben vom Umfang k mit Zurücklegen ziehen.
• Aus dieser Urne kann man
n!
n*(n-1)*(n-2)*....*(n-(k-1)) =
(n − k )!
geordnete Stichproben von Umfang k
(für k ≤ n) ohne Zurücklegen ziehen.
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
33
Aufgabe 5: Anzahl der k-elementigen
Untermengen einer nelementigen Menge.
Beispiel
Man zieht aus einer Urne mit 10 Kugeln
(n), nummeriert 1 bis 10, 3.mal (k) eine
Kugel, ohne zurücklegen
Wieviele unterschiedliche Untermengen
sind möglich?
• Eine Stichprobe von 3 Elementen (3
Kugeln mit den Nummern 1,2,3) hat 3!
mögliche Anordnungen (3-2-1, 3-1-2,
2-3-1, 2-1-3, 1-2-3, 1-3-2)
n!
10!
• Es gibt
= =10*9*8 Ergebnis(n − k )! 7!
se (d.h. unterschiedliche 3er Kombinationen von Kugelnummern).
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
34
 10! 
 
10!  10 
7! 

Insgesamt gibt es also
=
= 
3!
7!*3!  3 
=120 mögliche Stichproben
Definition: Die Zahlen
n
n!
 =
gelesen als n über k
 k  k!*(n − k )!
werden Binomialkoeffienten genannt.
Satz:
Gegeben sei eine n-elementige Menge.
n
n!
Dann gibt es   =
(mit k ≤ n)
 k  k!*(n − k )!
k-elementige Untermengen
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
• Aufgabe 6:
Lotto 6 aus 49:
Anzahl der ungeordneten Stichproben
vom Umfang 6 aus 49
49!
49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 44
 49 
=
 =
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
 6  6!⋅43!
=13.983.816
P(6 Richtige) =
1
1
=
≈ 0,7 ⋅ 10−7
 49  13983816
 
6
35
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
36
Anzahl der ungeordneten Stichproben
mit 5 Richtigen und einer Falschen, d.h.
es sind 6-rote Gewinnkugeln von 49 in
der Urne, aus denen die Wahrscheinlichkeit von k-Gewinnkugeln zu bestimmen ist.
 6   43   6   43 
 =  ⋅ 
 =258
=   ⋅
 k   6 − k   5  6 − 5
P(5 Richtige) =
 43   6 
 ⋅ 
258
 1   5 =
≈ 0, 2 ⋅ 10 − 4
13983816
 49 
 
6
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
37
Anzahl der ungeordneten Stichproben
 43   6 
4 Richtige und 2 Falsche =   ⋅  
 2   4
 43   6 
 ⋅ 
2   4

P(4 Richtige) =
≈ 0,1 ⋅ 10−2
 49 
 
6
 43   6 
 ⋅ 
3
3
P(3 Richtige) =     ≈ 0,2 ⋅10−1
 49 
 
6
n
TR:   = z.o.z o.U.d.R => nCr
k 
 n! 

 =
 (n − k )! 
z.o.z. m.U.d.R. => nPr
Übungen 3.3: 21ab, 25, und 26 29a,31,32,39,43
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
38
4 Zufallsgrößen und Erwartungswert
4.1 Zufallsgrößen
Definition 1
Eine Zufallsgröße X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuches eine reelle Zahl zuordnet.
Mit X=k beschreibt man ein Ereignis.
Dieses Ereignis enthält alle Ergebnisse a, für die X(a)=k gilt. Die Funktion, die jedem möglichen Wert für k
die Wahrscheinlichkeit P(X=k) zuordnet, heißt (Wahrscheinlichkeits-)
Verteilung der Zufallsgröße X.
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
39
Aufgabe 1 Seite 74
Ein Würfel wird 2mal geworfen
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Ergebnisse: (1:1), (1:2), (1;3),…..
36 Ergebnisse, alle mit Wahrscheinlichkeit 1/36
Augensumme 2; 3; 4; 5;……; 12
Zufallsgröße X = Augensumme
beim 2fachen Würfeln
Ereignis Augensumme 5 = P(X=5)
Die Funktion P heißt Verteilung der
Zufallsgröße X.
P(X=2) = 1/36
P(X=3) = 2/36
P(X=4) = 3/36
P(X=5) = 4/36
P(X=6) = 5/36
P(X=7) = 6/36
P(X=8) = 5/36
P(X=9) = 4/36
P(X=10) = 3/36
P(X=11) = 2/36
P(X=12) = 1/36
Darstellung von P ist Histogramm
Summe der Funktionswerte ist 1
Übungsaufgaben: 1ace;2ace;3ace;5ace;6cde;7;9
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
40
4.2 Erwartungswert und Varianz
• Erwartungswert ist der zu erwartende Mittelwert.
• Varianz ist ein Maß für Streuung
• Standardabweichung ist ein Maß für Streuung
Definition : Eine Zufallsgröße X nehme die
Werte a1, a2, a3, …, am an.
Als Erwartungswert E(X) der Zufallsgröße
X bezeichnet man
m
E( X) = ∑ a i ⋅ P( X = a i )
i=1
Der Erwartungswert wird auch mit µ bezeichnet.
Als Varianz Var(X) der Zufallsgröße X bezeichnet man
m
Var( X) = ∑ (a i − E( X)) 2 ⋅ P( X = a i )
i =1
Die Standardabweichung wird mit σ bezeichnet. σ = Var ( X)
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
41
Beispiel
Eine Firma hat einen Spielautomaten so
konstruiert, dass pro Spiel folgende Beträge ausgeschüttet werden:
Ausgezahlter Betrag
in Euro (=ai)
Zugehörige Wahrscheinlichkeit
(=P(X=ai))
0
0,25
0,20
0,4
0,50
0,2
1
0,1
2
0,05
• Mit welchem Auszahlungsbetrag kann
man im Mittel rechnen? (E(X) = ???)
E(X) = 0*0,25 + 0,20*0,4 + 0,50* 0,2 +
1*0,1 + 2*0,05 = 0,38
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
42
• Der Einsatz pro Spiel beträgt 0,50 Euro,
welcher Mittelwert ergibt sich für den
Gewinn?
Y = Gewinn bei einem Spiel mit dem Automaten
Gewinn a
(in Euro)
P(X=a)
a*P(X=a)
-0,50
0,25
-0,125
-0,30
0,4
-0,12
0
0,2
0
0,50
0,1
0,05
1,50
0,05
0,075
= - 0,12
Der zu erwartende Mittelwert des Gewinns
beträgt -0,12 Euro, d.h. ein Verlust von
0,12 Euro pro Spiel.
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
43
• Was ist die Standardabweichung von X
und von Y?
m
Var( X) = ∑ (a i − E( X)) 2 ⋅ P( X = a i )
i =1
= (0-0,38)2*0,25 + (0,20-0,38)2*0,4
+ (0,50-0,38)2*0,2 + (1-0,38)2*0,1
+ (2-0,38)2*0,05 = 0,2216
SA = σ = Var( X ) = 0, 2216 = 0,4707
Oft ist die folgende Formel für das Berechnen
der Varianz einfacher:
Var(X) = E(X2) - (E(X))2
in diesem Beispiel:
E(X2) = 02*0,25 + 0,202*0,4 + 0,502* 0,2 +
12*0,1 + 22*0,05 = 0,366
Var(X) = 0,366 - 0,382 = 0,366-0,1444
= 0,2216
Übungsaufgaben 4.2: 1;2;3;4;5;6;7;9
Stochastik – MA1BD – Quartester 2 – Dennis Wörmann
44
4.3 Eigenschaften von Zufallsgrößen
Wenn X und Y unabhängige Zufallsgrößen sind und a und b Konstanten sind,
dann gelten folgende Rechenregeln für
Erwartungswert und Varianz:
• E(X+a) = E(X) + a
• E(bX) = b*E(X)
• E(X+Y) = E(X) + E(Y)
• E(X-Y) = E(X) - E(Y)
• E(aX+bY) = a*E(X) + b*E(Y)
• Var(X+a) = Var(X)
• Var(bX) = b2*Var(X)
• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)
• Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)
• Var(aX+bY) = a2*Var(X) + b2*Var(Y)
2
σ
=
Var
(
X
)
⇒
σ
= Var( X)
•
Übungsaufgaben: Skript 7.1;7.8;7.13;7.25