Item 6 - Cinderella

Item 6
In der nebenstehenden Figur sehen
wir zwei parallele Tangenten an
einen Kreis mit Mittelpunkt O sowie
eine dritte Tangente mit Berührpunkt
C, die die beiden ersten in A und B
schneidet.
Formuliere so viele
verschiedene
Aufgaben wie möglich, die zu dieser
Figur gestellt werden könnten. Du
musst diese nicht selbst lösen! Beispiele: „Beweise dass A, C, O und
E auf einem gemeinsamen Kreis liegen“ oder „Zeige, dass AE und AC gleich
lang sind.“
Wenn du mehr Platz brauchst, frage nach zusätzlichen Aufgabenblättern für
diese Aufgabe.
Fluency: Each relevant response is given one point.
Flexibility: The number of different categories of relevant responses. Each
flexibility category is given one point.
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10
Responses that include problems related to triangles.
(For example: show that △ECO is an isosceles triangle)
Responses that include problems related to quadrilaterals.
(For example: show that OCAE is a kite)
Responses that include problems related to length of sides.
(For example: show that AE = AC)
Responses that include problems related to measurement of
angles.
(For example: show that m (∠EOA) = m (∠COA))
Responses that include problems related to areas.
(For example: show that S.A of △AEO = S.A of △ACO)
Responses that include problems related to congruency.
(For example: show that △AEO ≡ △ACO)
Responses that include problems related to similarity.
(For example: show that △AEO ∼ △ACO)
Responses that include problems related to ratio & Proportional.
| OA | | AC |
(For example: show that
)
=
| OB | | BC |
Responses that include problems that related to transformational
Geometry.
Responses that include problems that related parallelism
!
perpendicularity.
C11
C12
Responses that include problems that related to special lines and
points for triangle
(For example: M is centroid point to ABC).
Others
Elaboration: It is graded by the number new formulated problem. Each correct
problem is given one point.
Originality/Novelty: It is the statistical infrequency of responses in relation
to peer group. Each response is given zero, one, two, three or four points
according to the following table:
Grading originality points for the geometric creativity test
The number of students
who registered the
response
1
Student
2
Student
3
Student
4
Student
5
Student
Originality score
4
3
2
1
0
Student 1
Student’s Responses
Zeige, dass:
 ∡DCE ein rechter Winkel ist.
(∡DCE ist ein rechter Winkel)
1
 |∡(DEC)| = |∡(DOC)|
2
1
 |∡(CDE)| = |∡(COE)|
2
 ACOE Drachenviereck ist.
!
(ACOE ist Drachenviereck)
 DBCO Drachenviereck ist.
!
(DBCO ist Drachenviereck)
 △ EOA ≡ △ OCA
(△ EOA ≡ △ OCA)
 △ ODB ≡ △ BOC
(△ ODB ≡ △ BOC)
 DBAE ein Trapez ist.
(DBAE ist ein Trapez)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
1
3
1
C4
C4,
8
1
4
1
C4
1
4
1
C2
1
2
1
C2
1
0
1
C6
1
0
1
C6
1
0
1
8
C2
4
1
8
3
16
Student 2
Student’s Responses
Beweise, dass △ AEO ≡ △ ACO
(△ EOA ≡ △ OCA)
Beweise, dass △ DBO ≡ △ BCO
(△ ODB ≡ △ BOC)
Zeige, dass OE , OC und OD gleich Lang sind.
(OE = OC = OD)
Zeige, dass △ ABO ≡ △ ECD
Score
! !
!
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C6
1
0
1
C6
1
0
1
1
4
C3
C6
2
1
1
4
2
4
6
Student 3
Student’s Responses
Gib die Bewegung an die das △ OCA auf △
AOE überführt.
Gib die Bewegung an die das △ DBO auf △
BCO überführt.
Zeige, dass BC und BD gleich Lang sind.
(BC = BD)
Zeige, dass OC und OD gleich Lang sind.
(OC
! = OD)!
Zeige, dass ∡EOA genau so groß ist wie ∡AOC.
(∡EOA
genau
!
! so groß ist wie ∡AOC)
Zeige, dass ∡BOD genau so groß ist wie ∡BOC.
(∡BOD genau so groß ist wie ∡BOC)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C9
1
4
1
C9
1
4
1
C3
1
0
1
C3
1
0
1
C4
1
2
1
6
C4
3
1
6
2
12
Student 4
Student’s Responses
Zeige, dass △ OCA ≡ △ OAE.
(△ EOA ≡ △ OCA)
Zeige, dass △ OBC ≡ △ ODB.
(△ ODB ≡ △ BOC)
Zeige, dass ODBC ähnlich zu OCAE ist.
(ODBC ist ähnlich zu OCAE)
Zeige, dass | BD | = | BC |.
(BC = BD)
Zeige, dass ODBC Drache ist.
(DBCO
ist !
Drachenviereck)
!
Zeige, dass OCAE Drache ist.
(ACOE ist Drachenviereck)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C6
1
0
1
C6
1
0
1
C7
1
1
1
C3
1
0
1
C2
1
0
1
6
C2
4
1
6
2
3
Student 5
Student’s Responses
Zeige, dass BD und BC gleich Lang sind.
(BC = BD)
Zeige, dass OC , OD und OE gleich Lang sind.
(OE
! = OC =!OD)
Beweise, dass O, D, B, C auf einem
gemeinsamen
Kreis
! !
! legen.
(O, D, B, C legen auf einem gemeinsamen
Kreis)
Beweise, dass △ DBO ≡ △ BCO.
(△ ODB ≡ △ BOC)
Beweise, dass △ OCA ≡ △ AEO.
(△ EOA ≡ △ OCA)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C3
1
0
1
C3
1
2
1
C12
1
3
1
C6
1
0
1
5
C6
3
1
5
0
5
Student 6
Student’s Responses
Beweise, dass CO und DO gleich Lang sind.
(OC = OD)
Beweise, dass ODBC = symmetrische Drache
ist. !
!
Beweise, dass: △ OCB ∼ △ ODB.
Beweise, dass: |∡(DOB)| = |∡(BOC)|
(∡BOD genau so groß ist wie ∡BOC)
Beweise, dass: |∡(EAO)| = |∡(AOC)|
(∡EOA genau so groß ist wie ∡AOC)
Ist △ AOE ∼ △ AOC? Beweise.
Beweise, dass: BO = Symmetrieachse von
ODBC.
Beweise, dass: AO = Symmetrieachse von
AEOC. !
Score
!
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C3
1
0
1
1
C2
C7
1
1
0
4
1
C4
1
2
1
1
C4
C7
1
1
2
4
1
C9
1
4
1
8
C9
5
1
8
4
20
Student 7
Student’s Responses
Zeige, dass CO und DO gleich Lang sind.
(OC = OD)
Zeige, dass OCBD und OEAC ähnlich Figuren
sind.
!
!
(ODBC ist ähnlich zu OCAE)
Zeige, dass △ AOB rechtwinklig ist.
(△ AOB rechtwinklig ist)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C3
1
0
1
C7
1
1
1
3
C1
3
1
3
0
1
Student 8
Student’s Responses
Zeige, dass OD = OC
(OC = OD)
Zeige, dass BD = BC
(BC!= BD)
!
Score
!
!
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C3
1
0
1
2
C3
1
1
2
0
0
Student 9
Student’s Responses
No response
Score
Flu.
0
0
Flex.
0
0
Elab.
1
1
Ori.
0
0
Student 10
Student’s Responses
Zeige, dass das △ ACO und △ OEA kongruent
sind.
(△ EOA ≡ △ OCA)
Zeige, dass ∡ODB ein rechter Winkel ist.
(Dreieck ist DBO rechtwinklig)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C6
1
0
1
2
C4
2
1
2
3
3
Student 11
Student’s Responses
Zeige, dass OC und OD gleich Lang sind.
(OC = OD)
Zeige, dass △ OBC und △ OCA ähnlich sind.
(△!OBC und
! △ OCA ähnlich sind)
Zeige, dass BC und BD gleich Lang sind.
(BC = BD)
Zeige, dass OEAC und OCBD ähnlich sind.
(ODBC
ist !
ähnlich zu OCAE)
!
Zeige, dass △ OEA und △ OAC kongruent
sind.
(△ EOA ≡ △ OCA)
Zeige, dass △ ODB und △ OCB kongruent
sind.
(△ ODB ≡ △ BOC)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C3
1
0
1
C7
1
3
1
C3
1
0
1
C7
1
1
1
C6
1
0
1
6
C6
3
1
6
0
4
Student 12
Student’s Responses
Weshalb ist ∡BOA ein rechter Winkel?
(△ AOB rechtwinklig ist)
Was passiert, wenn C am Kreis entlang wandert
und auf D bzw. E zu liegen kommt? Zeichne
und Konstruiere für beliebige DB und AE .
Finden Sie möglichst viele rechte Winkel.
Score
!
!
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C4
1
0
1
1
4
C12
C4
3
1
1
4
4
4
8
Student 13
Student’s Responses
Verschiebt man die Tangente AB (es bleibt eine
Tangente des Kreises!) ergibt sich trotzdem
immer noch ein rechtwinkliges △ ABO?
Berechne den Flächeninhalt
von △ ABO. Gibt
!
es
einen
maximalen
bzw.
minimalen
Flächeninhalt? Beschreibe, wie sich der
Flächeninhalt von △ ABO ändert, wenn sich
die Lage der Tangente ändert.
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C1
1
4
1
2
C5
2
1
2
4
8
Student 14
Student’s Responses
Welche geometrischen Figuren (außer dem
Kreis) erkennst du?
Wo liegen die Punkte, wenn sich der Kreis um:
 90°
 180°
 360°
dreht (auf
bzw. zwischen der paralleler
Tangenten) und alle Punkte sich mitdrehen!?
Markiere:
 Radius
 Durchmesser
Beweise, dass: △ ODB ≡ △ OBC
(△ ODB ≡ △ BOC)
und △ OCA ≡ △ OAE
(△ EOA ≡ △ OCA)
Welche weiteren Dreiecke entstehen, wenn du
im linken Halbkreis ein Dreieck einzeichnest,
deren Grundseite DE ist? Warum
Was wird aus der Strecke AB , wenn Punkt A auf
der Tangente wandert?
Was geschieht
mit dem Kreis, wenn Tangenten
!
sich annähern, aber
! Tangenten bleiben sollen?
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C1,
2
1
4
1
C12
1
4
1
C12
1
4
1
C6
1
0
1
C6
1
0
1
C1
1
4
1
C12
1
4
1
8
C12
4
1
8
4
24
Student 15
Student’s Responses
Zeige, dass △ BCO ein rechtwinkliges Dreieck
ist.
(△ BCO ist ein rechtwinkliges Dreieck)
Zeige, dass OA ⊥ OB.
(△ AOB rechtwinklig ist)
Zeige, dass Dreieck DBO rechtwinklig ist.
(Dreieck ist DBO rechtwinklig)
Zeige, dass: △ DBO ≡ △ BCO
(△ ODB ≡ △ BOC)
Zeige, dass Dreieck OEA rechtwinklig ist.
Zeige, dass OCAE ein Drache ist.
(ACOE ist Drachenviereck)
Zeige, dass DBCO ein Drache ist.
(DBCO ist Drachenviereck)
Zeige, dass DBAE ein Trapez ist.
(DBAE ist ein Trapez)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C1
1
3
1
C10
1
0
1
C1
1
3
1
1
C6
C1
1
1
0
4
1
C2
1
2
1
C2
1
0
1
8
C2
4
1
8
3
15
Student 16
Student’s Responses
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
Zeige, dass △ DBO ähnlich zu △ BCO
Beweise, dass D, B, C und O auf einem Kreis
legen.
(O, D, B, C legen auf einem gemeinsamen
Kreis)
Zeige, dass △ ABO rechtwinklig ist.
(△ AOB rechtwinklig ist)
Wo müsste C auf dem Kreis Liegen, damit gilt :
AC = BC
Score
1
C7
1
4
1
C12
1
3
1
C1
1
0
1
4
C3
3
1
4
4
11
Student 17
Student’s Responses
Zeige, dass BC und BD gleich Lang sind.
(BC = BD)
Zeige, dass △ BCO ≡ △ DBO.
(△!ODB ≡!△ BOC)
Zeige, dass △ ABO rechtwinklig ist.
(△ AOB rechtwinklig ist)
Zeige, dass △ BCO ähnlich zu △ CAO ist.
(△ OBC und △ OCA ähnlich sind)
Zeige, dass △ BDO ähnlich zu △ CAO ist.
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C3
1
0
1
C6
1
0
1
C1
1
0
1
1
5
C7
C7
4
1
1
5
3
4
7
Student 18
Student’s Responses
Zeige, dass CB = BD
(BC = BD)
Zeige, dass DE = 2 . OC
(DE = 2 OC)
Zeige, dass Fläche △ ODB = Fläche △ BCO
Zeige, dass Fläche △ OAC = Fläche △ OCA
Zeige, dass ∡AOB = 90°
(△ AOB rechtwinklig ist)
Zeige, dass A' B' ‖ AB
Zeige, dass OC = Höhe von △ OBA
(OC = Höhe von △ OBA)
Score
!
!
!
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
1
0
1
1
1
C3
C3,
8
C5
C5
1
1
1
3
4
4
1
1
C4
C10
1
1
0
4
1
7
C11
6
1
7
0
16
Student 19
Student’s Responses
Zeige, dass DB und BC gleich Lang sind.
(BC = BD)
Zeige, dass △ ECD rechtwinklig ist.
(∡DCE
! ist ein
! rechter Winkel)
Zeige, dass ∡(BOA) = 90°
(△ AOB rechtwinklig ist)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C3
1
0
1
C1
1
3
1
3
C4
3
1
3
0
3
Student 20
Student’s Responses
Zeige:
 △ OBD ≡ △ OCB
(△ ODB ≡ △ BOC)
 △ EAO ≡ △ ACO
(△ EOA ≡ △ OCA)
 CO ⊥ AB
(OC = Höhe von △ OBA)
 |∡DBO| = |∡CBO|
(∡BOD
genau so groß ist wie ∡BOC)
!
!
 EA = AC
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C6
1
0
1
C6
1
0
1
C10
1
0
1
1
5
C4
C3
4
1
1
5
2
4
6
Student 21
Student’s Responses
Beweise, dass OC die Höhe des △ OBA ist.
(OC = Höhe von △ OBA)
Beweise, dass DB und BC gleich lang sind.
(BC =!BD)
Beweise, dass DBCO und EOCA ähnlich sind.
(ODBC
! ist ähnlich
! zu OCAE)
Beweise, dass △ BOA rechtwinklig ist.
(△ AOB rechtwinklig ist)
Beweise, dass OC und OE gleich lang sind.
(OC = OE)
Beweise, dass DO und OC gleich lang sind.
(OC =!OD) !
Beweise, dass der Punkt C Schnittpunkt im
rechten
! Winkel
! von OC und CA ist.
(OC = Höhe von △ OBA)
Score
!
!
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C11
1
0
1
C3
1
0
1
C7
1
1
1
C1
1
0
1
C3
1
2
1
C3
1
0
1
7
C4
5
1
7
0
3
Student 22
Student’s Responses
Zeige, dass (OC) 2 = BC . CA
Zeige, dass DO = OC
(OC = OD)
Sind ∡OEA und ∡ACO gleich groß? Wenn ja,
Warum?
!
!
(∡EOA genau so groß ist wie ∡AOC)
Sind DB und CB gleich lang? (Zeige über
Kongruenzsätze)
(BC = BD)
! Score !
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C1
1
4
C3
1
0
C4
1
2
C3
3
1
4
0
6
1
1
1
4
Student 23
Student’s Responses
Zeige: DO = CO
(OC = OD)
Zeige: CO = EO
! (OC!= OE)
Zeige: DO = CO = EO
! (OE!= OC = OD)
Zeige: △ AEO ≡ △ ACO
EOA ≡!△ OCA)
! (△ !
Zeige: △ BCO ≡ △ BDO
(△ ODB ≡ △ BOC)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C3
1
0
C3
1
2
C3
1
2
C6
1
0
C6
2
1
5
0
4
1
1
1
1
5
Student 24
Student’s Responses
Durch welche Bewegung lässt sich die Gerade
mit den Punkten E & A auf der Geraden mit den
Punkten D & B abbilden.
Begründe, warum ED zu DB & EA die
Orthogonale ist.
Zeige, dass DB = BC ist.
(BC = BD) !
!
!
Begründe, warum AB rechtw. zu DB steht,
wenn
! man
! die Figur um O dreht, so dass OC
parallel zu EA ist.
Begründe, !warum ∡DOB !
+ ∡BOC + ∡COA
+∡AOE = 180° = ∡DOE
!
Begründe,
warum Figur ODBC ein Drache ist.
!
(DBCO ist Drachenviereck)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C9
1
4
1
C10
1
4
1
C3
1
0
1
C9,
10
1
4
1
C4
1
4
1
7
C2
5
1
7
0
16
Student 25
Student’s Responses
Beweise, dass CO die Höhe zu BA im △ BAO
ist.
(△ AOB rechtwinklig ist)
Zeige,! dass die Fläche
des △BAO sich
!
verändert, wenn man die Tangente variabel an
den Kreis legt, die Höhe CO aber nicht.
Wann ist das Dreieck gleichschenklig, bzw.
gleichseitig (△BAO). Was muss man verändern.
Ist dies möglich?
!
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C11
1
0
1
C5
1
4
1
3
C1
3
1
3
4
8
Student 26
Student’s Responses
Zeige, dass BD gleich lang ist wie BC.
(BC = BD)
Welche Figuren sind ähnlich?
Gibt es kongruent Figuren? Beweise!
... gilt dieser Zusammenhang für jede beliebige
Tangente an einen Kreis?
Welche Figur Bilden die Punkte D, B, C, O und
O, C, A, E?
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
1
1
C3
C7
C6
1
1
1
0
4
4
1
C6
1
4
1
5
C2
4
1
5
4
16
Student 27
Student’s Responses
Beweise, dass
 | EO | = | DO |
 | DO | = | OC |
(OC = OD)
 !| EO | = | OC |
!
(OC
!
! = OE)
1
 | EO | = | ED |
2
!
!
1
 | OC | = | ED |
2
!
(DE = 2 OC)
!
 △ ODB ≡ △ OCB
!
(△ ODB ≡ △ BOC)
!
 △ OEA ≡ △ OCA
(△ EOA ≡ △ OCA)
 |∡ (ACO)| = 90°
(OC = Höhe von △ OBA)
 |∡ (AOB)| = 90°
(△ AOB rechtwinklig ist)
 |∡ (BCO)| = 90°
(△ BCO ist ein rechtwinkliges Dreieck)
 |∡ (AOB)| = |∡ (AOE)| + |∡ (BOD)|
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C3
1
4
1
C3
1
0
1
C3
1
2
1
C3, 8
1
4
1
C3, 8
1
3
1
C6
1
0
1
C6
1
0
1
C4
1
0
1
C4
1
0
1
1
11
C4
C4
4
1
1
11
3
4
17
Student 28
Student’s Responses
Zeige: | DB | = | BC |
(BC = BD)
Zeige: Figur OCBD ... Drache
! (DBCO
! ist Drachenviereck)
Zeige: △ ACO ≡ △ AED
Zeige: BD ⊥ OA oder ∡ in AOB = 90°
(△ AOB rechtwinklig ist)
Score
!
!
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C3
1
0
1
1
C2
C6
1
1
0
4
1
4
C4
4
1
4
0
4
Student 29
Student’s Responses
Beweise, dass
 OB die Winkelhalbierende von ∡ DOC
ist.
 | DB | = | BC |
(BC = BD)
!
 △ ODB ≡ △ BCO
(△
!
! ODB ≡ △ BOC)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
C11
1
4
1
C3
1
0
1
8
C6
3
1
8
0
4
Student 30
Student’s Responses
Zeige, dass
 | DB | = | BC |
(BC = BD)
 △ DBO ≡ △ OCA
 !△ DBO ≡ △ OBC
!
(△ ODB ≡ △ BOC)
 △ EOA ≡ △ OCA
(△ EOA ≡ △ OCA)
Score
Flu.
Flex.
Elab.
Ori.
1
1
C3
C6
1
1
0
4
1
C6
1
0
1
4
C6
2
1
4
0
4
Originality Scores for Students’ Responses on Item 6
Student’s Responses
Zeige, dass: DBCO Drachenviereck ist.
(DBCO ist Drachenviereck)
Zeige, dass: △ EOA ≡ △ OCA
(△ EOA ≡ △ OCA)
Zeige, dass: △ ODB ≡ △ BOC
(△ ODB ≡ △ BOC)
Zeige, dass BC und BD gleich Lang sind.
(BC = BD)
Zeige, dass OC und OD gleich Lang sind.
(OC
! = OD)!
Zeige, dass △ AOB rechtwinklig ist.
(△!AOB rechtwinklig
ist)
!
Zeige, dass OC = Höhe von △ OBA
(OC = Höhe von △ OBA)
Zeige, dass ODBC ähnlich zu OCAE ist.
(ODBC
ist ähnlich zu OCAE)
!
Zeige, dass: ACOE Drachenviereck ist.
(ACOE ist Drachenviereck)
Zeige, dass OE , OC und OD gleich Lang sind.
(OE = OC = OD)
Zeige, dass ∡EOA genau so groß ist wie ∡AOC.
(∡EOA
genau so!groß ist wie ∡AOC)
! !
Zeige, dass ∡BOD genau so groß ist wie ∡BOC.
(∡BOD genau so groß ist wie ∡BOC)
Beweise, dass OC und OE gleich lang sind.
(OC = OE)
Zeige, dass: ∡DCE ein rechter Winkel ist.
(∡DCE!ist ein rechter
Winkel)
!
Zeige, dass: DBAE ein Trapez ist.
(DBAE ist ein Trapez)
Frequency
Originality
Scores
6
0
11
0
13
0
15
0
9
0
11
0
5
0
4
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
Beweise, dass O, D, B, C auf einem gemeinsamen
Kreis legen.
(O, D, B, C legen auf einem gemeinsamen Kreis)
Zeige, dass ∡ODB ein rechter Winkel ist.
(Dreieck ist DBO rechtwinklig)
Zeige, dass △ OBC und △ OCA ähnlich sind.
(△ OBC und △ OCA ähnlich sind)
Zeige, dass △ BCO ein rechtwinkliges Dreieck ist.
(△ BCO ist ein rechtwinkliges Dreieck)
Zeige, dass DE = 2 . OC
(DE = 2 OC)
1
Zeige, dass: |∡(DEC)| = |∡(DOC)|
2
1
Zeige, dass: |∡(CDE)| = |∡(COE)|
2
Zeige, dass △ ABO ≡ △ ECD
!
Gib die Bewegung an die das △ OCA auf △ AOE
überführt.
!
Gib die Bewegung an die das △ DBO auf △ BCO
überführt.
Beweise, dass: △ OCB ∼ △ ODB.
Ist △ AOE ∼ △ AOC? Beweise.
Beweise, dass: BO = Symmetrieachse von ODBC.
Beweise, dass: AO = Symmetrieachse von AEOC.
Was passiert, wenn C am Kreis entlang wandert und
auf D! bzw. E zu liegen kommt? Zeichne und
Konstruiere
für beliebige DB und AE .
!
Finden Sie möglichst viele rechte Winkel.
Verschiebt man die Tangente AB (es bleibt eine
Tangente des Kreises!)
ergibt sich trotzdem immer
!
!
noch ein rechtwinkliges △ ABO?
Berechne den Flächeninhalt
von △ ABO. Gibt es
!
einen maximalen bzw. minimalen Flächeninhalt?
Beschreibe, wie sich der Flächeninhalt von △ ABO
ändert, wenn sich die Lage der Tangente ändert.
Welche geometrischen Figuren (außer dem Kreis)
erkennst du?
Wo liegen die Punkte, wenn sich der Kreis um:
 90°
 180°
 360°
dreht (auf bzw. zwischen der paralleler Tangenten)
und alle Punkte sich mitdrehen!?
Markiere:
 Radius
 Durchmesser
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
4
1
1
4
4
1
4
1
1
1
1
1
4
4
4
4
4
1
1
4
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
!
!
Welche weiteren Dreiecke entstehen, wenn du im
linken Halbkreis ein Dreieck einzeichnest, deren
Grundseite DE ist? Warum
Was wird aus der Strecke AB , wenn Punkt A auf der
Tangente wandert?
Was
! geschieht mit dem Kreis, wenn Tangenten sich
annähern, aber Tangenten
bleiben sollen?
!
Zeige, dass Dreieck OEA rechtwinklig ist.
Zeige, dass △ DBO ähnlich zu △ BCO.
Wo müsste C auf dem Kreis Liegen, damit gilt : AC =
BC
Zeige, dass △ BDO ähnlich zu △ CAO ist.
Zeige, dass Fläche △ ODB = Fläche △ BCO
Zeige, dass Fläche △ OAC = Fläche △ OCA
Zeige, dass A' B' ‖ AB
Zeige, dass EA = AC
Zeige, dass (OC) 2 = BC . CA
Durch
Bewegung lässt sich die Gerade mit
! welche
!
den Punkten E & A auf der Geraden mit den Punkten
D & B abbilden.
Begründe, warum ED zu DB & EA die
Orthogonale ist.
Begründe, warum AB rechtw. zu DB steht, wenn
man die Figur
! um O dreht,
! so dass
! OC parallel zu
EA ist.
Begründe,!warum ∡DOB +!∡BOC + ∡COA +∡AOE =
180° = ∡DOE
!
Zeige, dass die Fläche des △BAO sich verändert,
wenn man die Tangente variabel an den Kreis legt,
die Höhe CO aber nicht.
Wann ist das Dreieck gleichschenklig, bzw.
gleichseitig (△BAO). Was muss man verändern. Ist
dies
! möglich?
Welche Figuren sind ähnlich?
Gibt es kongruent Figuren? Beweise!
... gilt dieser Zusammenhang für jede beliebige
Tangente an einen Kreis?
Welche Figur Bilden die Punkte D, B, C, O und O,
C, A, E?
1
Zeige, dass | EO | = | ED |
2
| EO | = | DO |
Zeige, dass |∡ (AOB)| = |∡ (AOE)| + |∡ (BOD)|
!
Zeige: △ ACO
! ≡ △ AED
!Zeige, dass: OB die Winkelhalbierende von ∡ DOC
!
1
4
1
4
1
1
1
4
4
4
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
4
4
4
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
1
1
4
4
4
1
4
1
4
1
1
1
1
1
4
4
4
4
4
ist.
Zeige, dass △ DBO ≡ △ OCA
1
4