über eine klasse verallgemeinerter lückenreihen mit algebraischen

Istanbul Üniv. Fen Fak. Mat Der. 59 (2000), 89-102
ÜBER E I N E KLASSE V E R A L L G E M E I N E R T E R
LÜCKENREIHEN M I T A L G E B R A I S C H E N
KOEFFIZIENTEN
H a l i d u n Gürses
ON A CLASS OF GENERALIZED LACUNARY P O W E R SERIES
WITH ALGEBRAIC COEFFICIENTS
Abstract
In this work some generalized lacunary power series with algebraic
coefficients are considered and i t is shown that under certain conditions these series take values belonging to the subclass U in Mahler's
classification of complex numbers, where m denotes a natural number
depending on the given series and the argument, for some algebraic
values of the argument.
m
I n dieser A r b e i t betrachtet m a n eine gewisse Klasse verallgemeinerter
Lückenreihen m i t algebraischen Koeffizienten. Es w i r d bewiesen, daß eine solche Lückenreihe für gewisse algebraische A r g u m e n t e Werte aus der
Mahlerschen Unterklasse U a n n i m m t , wobei m eine natürliche Zahl ist,
die von der Reihe u n d v o m A r g u m e n t abhängt. Das Beweis verfahren folgendes Satzes ist genau so wie das v o n Satz 1 i n [3]. U m den folgenden
Satz zu beweisen, werden w i r die folgenden Hilfssätze benutzen. Außerdem
verweisen w i r für nicht eigens erwähnte Begriffe auf die L i t e r a t u r (etwa [5],
[15], [17]) u n d für Klasseneinteilung von komplexen Zahlen auf [7], [10] u n d
[16].
m
Hilfssatz 1 (IÇEN)
stimmten
algebraischen
Es seien aj j =
1,...
,k;
(k > 1) aus einem
Zahlkörper vom Grad g entnommen
be-
und die Höhen
89
derselben
mit H(aj)
bezeichnet.
Es sei ferner
Zahl, die von aj (j = 1 , . . . , k) durch die
r¡ eine weitere
algebraische
Relation
=0
F(r¡,ai,...,a )
k
abhängt, wobei F{y,x\,...
,x ) ein Polynom mit ganzen rationalen
Koeffizienten in seinen sämtlichen Argumenten
bedeutet. Es seien außerdem der
Grad von F(y, x\,..., x ) nach y mindestens
1. Dann ist der Grad von
V < dg, und es gilt für die Höhe H{n) von rj folgende
Abschätzung:
k
k
Dabei bedeutet d den Grad von F(y,x\,...
,x ) nach y, lj den Grad
selben nach Xj (j = 1 , . . . , k) und H das Maximum der Absolutbeträge
Koeffizienten
von F(y, xi,...,
x ).
k
desder
k
~ B e w e i s : (Siehe [6])
H i l f s s a t z 2 Es seien
und zueinander
a\, a-i zwei voneinander
konjugierte
Zahlen,
verschiedene
algebraische
H ihre Höhe und n ihr Grad.
Dann
gilt
\ai - a \ > ( 4 n ) - < - > / { ( n +
n
2
2
l)H}^ ^l .
2
2n
2
B e w e i s : (Siehe [4])
H i l f s s a t z 3 Es seien 7, 8 zwei nicht zueinander
Zahlen
H(ö).
mit den jeweiligen
Dann
'
7
konjugierte
Graden n\, rii und den jeweiligen
gilt
~ ' ~ 2
<5
m a x
( i>«2)-i[(
i l
n i
+ l)ff( )]nj[(„
7
2
+
B e w e i s : (Siehe [4])
S a t z 1 Wir betrachten
00
^ )
mit
90
= E
algebraische
Höhen
die verallgemeinerte
00
^
=
E ^ )
Lückenreihe
l)H(ö)] i'
n
H(j),
P (z)=
° h
k
z
(* = 0 , 1 , 2 , . . . ) ,
h
h-s
k
0 = so < ri < si < r
2
< s
<
2
<
...,
wobei c/ (h = 0 , 1 , . . . ) algebraische Zahlen aus einem festen
Zahlkörper
Q (i?) : = Q ( c o , c i , . . . ) sind, so daß
= 0 im Falle r < h < s , aber
c
y£ 0, c
^ 0 für n = 1 , 2 , . . . . Bezeichnen wir den
Konvergenzradius
t
n
Tn
n
Sn
oo
von YJ H{c )z
n
n=0
Ferner
mit R.
n
seien folgende
Bedingungen
erfüllt:
R > 0,
limsupiiYcn) < +oo,
l i m — = +oo,
^>°° r
limsup
Zahl, die den folgende
Bedingungen
n->oo
n
Es sei a eine algebraische
n->oo
n
S
< +oo.
n
genügt:
0 < \a\ < R,
[ÜT.:Q]=m,
K:=®(0,a),
B^h
Dann ist F(a)
€
B e w e i s : 1°) D a c
: dP (a)=m,
P (a)^0.
h
h
U.
m
n
6 A ist, gilt |c„| < 2H{c ).
Also konvergiert F(z)
n
für
z — a m i t 0 < \a\ < R.
2°) F(a)
:= £ läßt sich i n der F o r m
i
=
Vr„+
Pr
n
schreiben, wobei
Vr
n
= ca
So
So
+ ... + c a
ri
ri
+ ...+ c
S n
_ a "1
s
1
+ ... + c a " ,
r n
r
(1)
91
Prn
=
c
fln
a » + ... + c
i
r n + 1
a »+
r
1
+ --¬
ist. A u s (1) folgt also
Vr
n
- ... - c a
~ c cx
so
So
n
r ı
- ... - C s ^ a " 3
1
- ... - c a
rn
Tn
= 0.
Setzt m a n
± Vi/'
""äo) • • • )
•'Ti > • • • !
^Tn I — a
^sa
J<
• • •
**' ^rı
•••
^
so g i l t
P(y,
a; ,..., x )
x, x ...,
S01
(E ^[y, x, x ,...,
Tn
r ı
x ,...,
So
£r ])
rı
1
=
n
und
i ı SQ , • • • ,C
Pi^lr-n
a
c
rı
, . . . ,C _
Sn
1
, . . . , C,. ) =
n
0.
M i t Berücksichtigung v o n Hilfssatz 1 erhält m a n also die Ungleichungen
drj
rn
< m und
H( )
Vrn
< {3 « H(a) "H(c )...
2r
+3
r
ff(c^)...
H(c )...
S0
ri
H(c )} .
rn
D a l i m s u p i T ( c ) < + c o ist, g i b t es eine reelle Z a h l B > 1 m i t H(c )
n
n
n—>oo
m
< B
für alle n GN. Daraus ergibt sich
H(Vr )
<
n
Setzt m a n 3 H{a) B
5m
m
= t
m
0
(t
{3 H(a) »B }
5rn
3°) W i r wollen n u n |£ — rj
rn
rn m
> 1), so hat m a n
Q
#far„)<fS
r
(n>h).
n
\ = \p \ nach oben abschätzen.
rn
Nach der Cauchyschen Ungleichung g i l t für i = 0 , 1 , . . .
M
\
<
H
\
<
—
P
l
92
—
(0 < \a\ < p < R,
M =
max\F(z)\).
\z\=P
(2)
x
r
n
>
Daraus ergibt sich
ii-»„i
i c j ( N ) - + ... + ic,„ i(|air»+'
<
s
+1
+
| . ,t(Hr"+' +
Cs
+
(l«l) i [ ... i (l l) " ~' | ( M ) ' " * " * , ^
a
Sn
r
+1
w
1
1
p
Setzt m a n M
-=
=
\a\
1
T
> 0)
r
,
-== t
\a\
2
(t
2
> 1) u n d £ f f
=
l o g i o
¿3 {h > 0), so w i r d
\F
-
I< —
-
-
1
1
(V)
*2
D a für n > ki die Ungleichung H(r) )
Tn
1^ - »7r„ | <
„ ,
< f
Q
n
\^ ,
3
r n
g i l t , erhält m a n aus (3)
(n>A ).
(4)
1
Offenbar ist l i m s u p - M s = + 0 0 .
4°) N u n betrachten w i r wieder r] , die d u r c h (1) gegeben ist. I m Falle
m = 1 ist der G r a d von r/ „ für jedes n gleich m . I m Falle m > 1 sind
alle Körperkonjugierten von 77,. i n bezug auf den Körper Q (i9,a) nach
einer b e s t i m m t e n Stelle ab voneinander verschieden. D a m i t ist auch i n diesem Falle nach einem b e s t i m m t e n n ab der G r a d von r] gleich m. Für
m = 1 ist die B e h a u p t u n g klar. U m die B e h a u p t u n g i m Falle m > 1 zu
beweisen, bestätigen w i r zuerst die folgenden Aussagen: Für ein festes Paar
(^i)gilt :
rn
r
n
Tn
a) V o n einer b e s t i m m t e n Stelle ab folgt aus 7 7 ^ ^ rj^} die Ungleichheit
„(0
T
lr +i
n
-A
7=
J3)
'lr +in
b) Z u jeder beliebig gewählten natürlichen Zahl N g i b t es eine natürliche Zahl k
1
> N, so daß mindestens eine der Ungleichheiten 77,^, 7 ^ 7 7 ^ ]
93
und r ß
+
1
+ r$
+
gilt.
l
Beweis v o n a): A u s den Gleichheiten
Ä i
=
+ ^2(a
Ä x
= vtt + c i i a ü ) ) - + . . . + ^
( i )
) " + • • • + cg
s
+ 1
+ 1
(«
( 0
) "
r
+ 1
(aWr»+i
erhält m a n
h—s
n
u n d daher
r +i
n
„
lr„+i
_
_
,
JVfnVhk
n+
Der G r a d v o n r)
Tn
sei za D a u < m u n d rjr } 7^ r / ^ ist, folgt aus Hilfssatz 2
1
( 4 m ) - ( - ^ { ( m + l)^(i/ „ ) } - ( ^ - ) / .
>
m
2
2
r
Daraus folgert m a n m i t Hilfe v o n H(rj )
m
2
2
2 m
2
2
) / = ¿4 gesetzt wurde. D a für jedes 7 6 A
gilt, bekommt m a n dann
1
2
=
K o W ) * ^ _ p ) ) + ^((a^Y
<
4(H)*|c*|
<
1
1
0
wobei ( 4 m ) (
)/ (m+l) (
die Ungleichung
| < 2H('y)
2
< f^ ( n > k\)
rn
94
_Jj)t
'ir i\
0
8(1«!)^^).
c
- (a^)*)!
Da nach der Cauchyschen Ungleichung für t — 0 , 1 , . . .
TUT'
|ü"(
C t
0
)|<—
(\a\<p<R,
0
M' = max|^F(
C i
K|)
g i l t , erhält m a n
t
\\\
a
u n d folglich
r +i
8M'
n
Y:
|cW(aW)*- ü) ü)y
c
SM'
(w)
( a
(w)
- - « ? r - - * ( ? r .
9 )
1
_
M
Also ist
r +l
n
Da
'»'n+l I —
/
/
1—r\
\ s„
l i m ^ = + 0 0 i s t , g i b t es ein k G N , so daß für alle n > k > k\
2
2
n—foo " »
8M'
<
t
4
g i l t . D a m i t ist der Beweis v o n a) beendet.
Beweis v o n b ) : Sei N € N gegeben. Nach den Voraussetzungen des Satzes
können w i r ein k' G N wählen, so daß k' > N u n d dPk>(a)
= m ist. Wäre
95
für dieses k' sowohl 7 7 ^ , = r^y als auch rjrl
den Gleichheiten
P${a)
gültig, so würde aus
= ilry
+l
+l
erhalten. Das ist aber ein W i d e r s p r u c h zu dPk'{a)
= Py\a)
= m.
D a m i t ist auch b) bewiesen.
W i r werden n u n beweisen, wenn die natürliche Z a h l k% > k
so gewählt
2
w i r d , daß dPk (a)
= m g i l t , ist d a n n für jedes k > &3 dr]
3
= m. Nach b)
rk
g i l t mindestens eine der Ungleichheiten 7 7 , ^ 7 ^ 7 7 ^ u n d ? 7 r ^
Ist 4*1
so ist 7 7 §
4ll,
wieder 7 7 ^
Paar
+
^ Vnl+i
1
n
a
c
n
nach a) . Ist aber r$
^
3 + 1
b
)'
= 7 7 ^ , so ist
a
A
l
s
o
S
n t
immer 7 7 ^
+
1
°a k
^ Vnl+i-
unabhängig gewählt w i r d , gilt für beliebiges Paar
auch ? 7 r ^
7 ^ Vrk +i
3 + 1
•
a
man d a n n drj
rfi
Also
der G r a d von r)
rit
+ 1
Vn^+v
7^
3 + 1
a
vom
(i ^
j)
gleich m. M i t a) erhält
= m für jedes k > k%.
Es g i b t unendlich viele voneinander verschiedene Glieder i n der Folge { 7 7 , . , , } :
Nach Voraussetzung des Satzes g i b t es unendlich viele n, so daß dP (a)
=
m u n d P {a)
^ 0 ist. Daher existiert eine Teilfolge {n }
der natürlichen
Zahlen m i t n\ < n < • • • < rif. < . . . , so daß für j = 1 , 2 , . . . dP . (a) = m
und P (a) ^ 0 g i l t . Gäbe es i n der Folge {rj }
nur endlich viele voneinander verschiedene Glieder, hätte d a n n die Folge { | ? 7 r , — r\r -1}
positive
untere Schranke. Das ist aber ein W i d e r s p r u c h dazu, daß
n
n
k
2
n
nj
rn
n
0
<
k„.
-
+ 1
Vr
nj
I =
\P
(a)|
nj
gilt. Also g i b t es eine Teilfolge { 7 7
r m
.}
,
lim
\P
e
n
+ 1
(a)|
n
=
m
e
0
(m\ > k%) von { 7 7 , . } , so daß ihre
n
Glieder voneinander u n d von £ verschieden sind u n d drj .
rrn
= m für jedes
j g i l t . D a m i t folgert m a n aus ( 4 )
*i
0<|£-i?r ,.|<
m
D a ¿3 p o s i t i v u n d l i m
= + 0 0 ist, ist auch l i m - ^ - ¿ 3 = + 0 0 . Also ist
j->oo' j
j->oo
m
m
U ü u
h
j
d.h.
<
96
V m
m.
(5)
5°) W i r werden n u n zeigen, daß
> m ist.
1) D a nach der D e f i n i t i o n von
die Ungleichung //*(£) > 1 i m m e r
r i c h t i g ist, gibt es i m Falle m = 1 nichts zu zeigen.
2) Sei n u n m > 1 u n d ß eine algebraische Zahl, deren G r a d kleiner
als m , u n d deren Höhe H(ß) größer als später zu erklärender Wert ist. W i r
betrachten n u n die Ungleichung
\t~ß\
=
\(Vr -ß)
(6)
+ (£-rir )\>\Tlr -ß\-\Z-rir \.
n
n
n
n
D a H(r] )
< f
( n > k\) u n d dr\ = m ( n > k^) ist, erhält m a n d a n n für
n> ks durch A n w e n d u n g von Hilfssatz 3 die Ungleichung
rn
ü
Ürn-ßl
n
Tn
>
, . *
H(ß) t ™
m
6
( m
[
_Dr
'
*6 = 2 - m - ( m + l ) — .
1
m
m
1
(7)
1 ) r n
Nach (3) u n d (7) bekommen w i r aus (6)
\Z-ß\
>
H{ß)^~
~f
n
l)rn
KT
# "
(n->h).
(8)
N u n bestimmen w i r /, so daß die Ungleichung
tl> < H(ß)
< ig'
g i l t . Die E i n d e u t i g k e i t v o n l ist klar. W i r unterscheiden n u n zwei Fälle,
j e nachdem H(ß) z u m ersten oder zweiten der folgenden Teilintervallen
gehört:
1) t >
r
2) 4
0
<H(ß)<tf,
<H(ß)<t >.
a
0
D a b e i ist A > 1 eine später zu erklärende natürliche Zahl.
I m Falle 1): Setzt m a n i n (8) n = l ein u n d berücksichtigt die D o p p e l u n gleichung 1), folgt d a n n für / > ks
\£-ß\
>
H{ßym~\
H(ßY^'
97
W i r d die Z a h l A so gewählt, daß sie der Ungleichung A >
1
genügt, gilt
dann
h
H(ß)*»*
<\^T^T
2
Hiß) ™2
(H(ß)>H ),
l
1
wobei Hi eine passend groß gewählte positive Z a h l ist. Also g i l t
I m Falle 2): Setzt m a n i n (8) diesmal n = l + 1 e i n , so erhält m a n unter
B e n u t z u n g v o n 2) i n (8)
\Z-ß\
Da
>
H{ß)
m X(m-lVJ±l
+
l i m f - = +oo und 0 =
2
SQ
H
< ri < s\ < r
2
{
ß
)
H ^
< s
2
< r% < ... ist,
= + o o . Also gibt es ein k^ > k*. so daß für l > ki
ist auch l i m
"l+l > ß g i l t . D a b e i ist \x eine später zu erklärende positive Zahl. D a auch
limsup - ^
r J
±
:= 9 < + o o g i l t , existiert ein k^ £ N , so daß für l > ks > k^
die Ungleichung
< 6 + 1 g i l t . Also findet m a n daher für l > ks
jy(0)m+(fl+l)A(m-l)
Es sei ß so gewählt, daß die Ungleichung
m + (6 + l ) A ( m - 1)
g i l t . Also ist
ii
für # ( / ? ) > H
2
98
u n d folglich
t /2
5
H(ß)^
D a b e i ist H eine passend groß gewählte positive Zahl. I s t also H(ß)
max{i
, H i , H } , d a n n gilt
>
2
0
f c 5
2
If-fl
>
H(ß)m+(0+l)\(m-l)
'
k
wobei te = ¿5/2 gesetzt wurde. Somit erhalten w i r endlich
(9)
/**(£) > m.
Aus (5) u n d (9) folgt also
= m, d.h. (eU^
=
U.
m
Einige Beispiele:
I n folgenden fünf Beispiele seien {s }
u n d {r }
rationalen Zahlen m i t den Eigenschaften
n
lim — = + 0 0 ,
r
n->oo
hmsup
n-^-oo
n
0 = so < r i < si < r
( z . B . s = 0, r i = 1, s
n
0
1. Ist F(z)
=
Y
ChZ
h
= (n + l ) r
zwei Folgen v o n ganzen
n
m
< s
2
r
S
< r$ <
2
n
+
1
< +00,
n
—
= (2n + 5 ) r „ , ( n = 1 , 2 , . . . ) . )
die verallgemeinerten Lückenreihe, deren Koeffi¬
zienten durch
f c
h
| c
Ä
= 0, falls
r <h
= 1, falls
s
n
n
< s
(n =
n
</t < r
n
+
i
1,2,...),
(n = 0,1,2,...)
erklärt werden, so ist F ( f ) € E/i für jedes § e Q
m i t 0 < |f I < 1.
99
2. Eine Verallgemeinerung von Beispiel 1: Sei a /
Zahl v o m G r a d m. Ist F(z)
=
c
0 eine algebraische
die verallgemeinerten Lücken¬
k.z
reihe, deren Koeffizienten durch
j Ch = 0, falls
|
c
r
< h < s
n
= cv, falls
h
s
erklärt werden, so ist F (f)
oo
3. Ist F ( ^ ) =
Y
c
h,z
n
(n = 1 , 2 , . . . ) ,
n
< /i< r
G U
m
n
+
1
(n = 0 , 1 , 2 , . . . )
für jedes f G Q
m i t 0 < |§| < 1.
die verallgemeinerten Lückenreihe, deren Koeffi-
/i=0
zienten d u r c h
f c/j = 0, falls
r
| c/,, = 1, falls
s
< h < s
n
(n = 1 , 2 , . . . ) ,
{n = 0 , 1 , 2 , . . . )
< h < ri
n
n+
erklärt werden, so ist -F(a:) G f /
vom G r a d m m i t 0 <
n
m
für eine algebraische Z a h l a G R
|a| << 1 (etwa für a =
w | mit
0 < p
+
<
5, p u n d g sind Primzahlen).
4. Ist F ( Ä ) =
X] / i *
h=o
zienten d u r c h
( c
c
die verallgemeinerten Lückenreihe, deren Koeffi-
= 0, falls
h
| c ~V2,
h
< h < s
r
n
falls
Y h,z
h=o
zienten d u r c h
c
f Ch=0,
n + i
(n = 0 , 1 , 2 , . . . )
€ U±.
die verallgemeinerten Lückenreihe, deren Koeffi-
falls
r
<h
( Cft = i , falls
s
< /i< r i
n
erklärt werden, so ist F ( ^
100
r
n
erklärt werden, so ist F
5. Ist F ( ^ ) =
(n = 1,2,...),
n
s <h<
n
n+
n
t i
< s
)
G f/ .
4
(n = 1 , 2 , . . . ) ,
(n = 0 , 1 , 2 , . . . )
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H.Gürses
Department of Mathematics
Faculty of Science
Istanbul University
Vezneciler 34459, I s t a n b u l , Turkey
E - m a i l : [email protected]
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