Ausgearbeitete_Fragen 19.10.2014

Ausgearbeitete Fragen zur Vorlesung „Modellierung elektronischer Bauelemente“, Tibor Grasser,
SS 2012
What is a continuity equation, explain in plain words.
Seite 2
Eine Kontinuitätsgleichung verbindet den Inhalt eines Raumvolumens mit dem Fluss durch die Hülle
und gegebenenfalls mit einer “Erzeugungsrate” im inneren des Volumens.
Allg. Struktur: Nabla * Fluss + d Anzahl / dt = Erzeugungsrate
Ist die Erzeugungsrate null, dann bedeutet die Kontinuitätsgleichung einfach nur dass jedes Teilchen
in einem Volumen entweder im Volumen bleibt oder durch die Hülle verschwindet. (Prechtl: Satz
vom Erhalt der elektrischen Ladung)
Which components contribute to the electrical current in semiconductor devices (driftdiffunsion model)? Give the expressions and explain the Einstein relation. Which
expressions form the basic semiconductor equations?
Seite 3, 4
Es gibt einen Löcher- und einen Elektronenstrom, jeweils in einer Drift- und in einer
Diffusionsvariante.
Kontinuitätsgleichung der Ladung:
∇∙
+
+
∇∙
−
−
= 0.
Aufteilen und hinzufügen von R:
∇∙
=
+
Ladungsträger mobilität:
=−
=−
=
Driftstrom:
Einführen der Leiftähigkeit:
=−
=
=
=
=
=
Partikelflussdichte F und Diffusionskoeffizient D:
=− ∇
=− ∇
Diffusionsstromdichte:
!
=−
=
!
=
=−
Einsteinrelation:
#$ %
, =
, = &'
Alles zusammen und für
= −∇( einsetzen:
1
∇
∇
,
∇) ( =
∇∙
∇∙
−
−
+
− * /,
=
=−
=−
∇( − &' ∇
=−
∇( + &' ∇
Stromdichte einsetzen in die Kontinuitätsgleichung:
− − * /,
∇) ( =
∇∙
∇∙-
∇( −
∇( +
&' ∇
+
&' ∇ . −
=−
=
= Drift-Diffusions-Model!
How do we classify second-order partial differential equations? Give an example for each
type and explain their dominant properties. How do these types differ in terms of the
boundary conditions required?
Anhang A
Die allgemeine Differentialgleichung 2. Ordnung:
)
)
)
0
0
0
0
0
/ ) + 23
+5 )+6
+7
+ 80 = 9 1, 4
1
1 4
4
1
4
Exsetzt man jetzt jede Ableitung nach x durch ein α und jede Ableitung nach x durch ein β erhält
man:
: ;, < = /;² + 23;< + 5<² + 6; + 7< + 8
Diese Gleichung beschreibt ein Kegelförmiges Gebilde.
Welche Form die Lösung hat hängt von der Diskriminante ac-b² ab.
ac-b² > 0
Ellipse
ac-b² = 0
Parabel
ac-b² < 0
Hyperbel
Aus Wikipedia:
Elliptische partielle Differentialgleichungen
2
Elliptische partielle Differentialgleichungen treten typischerweise
typischerweise im Zusammenhang mit
zeitunabhängigen (stationären) Problemen auf. Ein Kennzeichen ist, dass elliptische Gleichungen
oftmals einen Zustand minimaler Energie beschreiben. Die bekanntesten Beispiele sind die LaplaceGleichung und die Poisson-Gleichung
Gleichung.. Bei elliptischen Gleichungen sind die am häufigsten
auftretenden Randbedingungen entweder
entwe
Dirichlet-Randbedingungen oder NeumannNeumann
Randbedingungen. Die erstee bedeutet, dass die Werte der gesuchten Funktion auf dem Rand
vorgegeben sind, während die zweite eine Vorgabe der Normalenableitung der gesuchten Funktion
ist.
Parabolische partielle Differentialgleichungen
Dieser Typ von Gleichungen beschreibt ähnliche
ähnliche Phänomene wie elliptische Gleichungen, aber im
instationären Fall. Das bei weitem wichtigste Beispiel einer parabolischen Gleichung ist die
Wärmeleitungsgleichung:
, die das Abkühlen und Aufheizen eines Körpers beschreibt. Diffusionsprozesse werden ebenfalls
durch diese Gleichung beschrieben. Parabolische Gleichungen führen auf ein AnfangsAnfang
Randwertproblem. Beispielsweise müssen bei der Wärmeleitungsgleichung am (räumlichen) Rand
des Gebietes für alle Zeiten entweder die Temperatur oder der Temperaturfluss vorgegeben werden.
Dies entspricht dem Fall von DirichletDirichlet oder Neumannbedingungen im elliptischen Fall.
Hyperbolische partielle Differentialgleichungen
Die typische hyperbolische Gleichung ist die Wellengleichung.
Allgemein werden durch diese Art von Gleichungen
Gleichungen Wellen und deren Ausbreitung beschrieben.
Außerdem sind Gleichungen erster Ordnung immer hyperbolisch. Die zu diesem Typ gehörigen
Anfangs- und Randwerte führen auf Cauchy-Probleme.. Das bedeutet, dass wie im parabolischen Fall
zusätzlich zu räumlichen Randbedingungen Anfangswerte benötigt werden. Zur Lösung
hyperbolischer Gleichungen zweiter Ordnung benötigt man aber zwei Anfangswerte – den
Funktionswert und die zeitliche Ableitung desselben am Anfang. Am Beispiel einer eingespannten
Saite soll dies verdeutlicht werden: Die Auslenkung der Saite erfüllt die Wellengleichung. Wenn die
Saite an den Enden eingespannt ist, führt dies auf die räumlichen Randbedingungen, in diesem Fall ist
die Auslenkung am Rand 0 (weil eingespannt), damit ist der Funktionswert am Rand bekannt und es
ergeben sich Dirichlet-Randbedingungen.
Randbedingungen. (Im Fall von frei schwingenden Objekten, wie der Luftsäule
in Holzblasinstrumenten, kommt man dementsprechend auf
a Neumann-Randbedingungen.)
Randbedingungen.)
Zusätzlich müssen jetzt noch zwei Anfangsbedingungen vorgegeben werden: Die Auslenkung am
Anfang (entspricht dem Funktionswert), und die Geschwindigkeit, mit der die Saite am Anfang
angezupft wird (entspricht der zeitlichen Ableitung).
Ableitung). Mit diesen Bedingungen kann die Auslenkung zu
allen späteren Zeitpunkten eindeutig angegeben werden.
What are the most important numerical approximations for derivatives? What are their
properties (Taylor expansion, truncation order, etc.)
Seite 26, 32, 33
Rechtsseitiger Differenzenquotient:
(DE + 1G − (DEG
6(
1
>
C
?
∆1
61 @A B@
Linksseitiger Differenzenquotient:
3
Zentraler Differenzenquotient:
Taylor Entwicklung:
6(
1
(DEG − (DE − 1]
>
C
?
61 @A B@
∆1
6((1)
([E + 1] − ([E − 1]
>
≈
?
61 @A B@
2∆1
0 IJ = 0 + 0K ℎ + M(ℎ) )
Umformen:
0K =
O(hi) … first order accurate
0 IJ − 0
+ M(ℎ )
ℎ
Einheitliche Stützpunkte: (alle h gleich)
0 IJ = 0 + 0K ℎ + M(ℎ) )
0 NJ = 0 − 0K ℎ + M(ℎ) )
0 IJ − 0 NJ
+ M(ℎ)
2ℎ
Diese auf dem ersten Blick lineare Abhängigkeit des Abschneidefehlers vom Stützstellenabstand
stimmt aber nicht ganz.
Subtrahieren und Umformen:
0K =
Allgemeine Stützpunkte: (ℎ ≠ ℎ IJ )
1
1 (R)
0 IJ = 0 + 0K ℎ + 0KK ℎ) + 0 ℎR + M(ℎS )
2!
3!
1 KK )
1 (R)
K
0 NJ = 0 − 0 ℎ NJ + 0 ℎ NJ − 0 ℎRNJ + M(ℎSNJ )
2!
3!
Subtrahieren und Umformen:
0 IJ − 0 NJ ℎ − ℎ NJ KK
ℎR + ℎRNJ
0K =
+
0 +MT
U
ℎ + ℎ IJ
2
ℎ + ℎ NJ
Der Abschneidefehler (truncation error) ist für ein äquidistantes Gitter (hi = hi-1) von der Ordnung
M(ℎ) )|0KK (1)|
(second order accurate)
Also:
Gitter
Uniform
Quasi-uniform
Non-uniform
Erste Ableitung u‘
Quadratisch
Quadratisch
Linear
Zweite Ableitung u‘‘
Quadratisch
Quadratisch
Linear
How do we discretize the basic differential operators divergence and gradient? What
happens at the boundaries?
Anhang B
A…Vektorfeld
F…Fluss
ΔV…kleinse Volumen
Man nimmt eine rechteckige Box an aus der in x und in y-Richtung ein Fluss fließt.
4
=W
Z∆[
Mit dem Gauss’schen Theorem erhält man:
X ∙ 6Y = W ∇ ∙ X6&
\
@
Sodass:
@
+
∆&
\
=
∆[
X\
∆1∆4
4
X@
≈
∆1∆4
1
≈
^ 1
+ \
X@
=]
_ ∙ `X a = ∇ ∙ X
∆1∆4
\
^ 4
@
Gradient: einfach nach Ort ableiten.
Explain the difference between a Dirichlet and a Neumann boundary condition. How are
they implemented in a finite difference scheme?
Seite 42, 43
Dirichlet: Am Rand sind die Werte der gesuchten Funktion vorgegeben
Neumann: Der Fluss nach Außen (bzw. die räumliche Ableitung der gesuchten Funktion) ist
vorgegeben
Bestes Beipiel: Kondenstor:
Bei den Elektroden: Potential ist vorgegeben (Dirichlet)
Restlicher Rand: Der Fluss nach außen aus dem Simulationsgebiet wird vernachlässigt
(Neumann).
Implementation:
Dirichlet: Funktionswerte an den äußersten Stützstellen ist vorgegeben
Neumann: Änderung beiden äußersten Stützstellenreihen ist vorgegeben
Explain the box integrated method. How do we implement Dirichlet and Neumann
boundaries?
Seite 44 ff.
Box integrated method (aka finite volume method)
Anwendbar für strukturierte und unstrukturierte Gitter. Es wird um jede Stützstelle ein Volumen
definiert sodass jeder Punkt im kontinuierlichem Raum einem Volumen und weiters einer Stützstelle
zugeordnet werden kann. Funktionswerte werden an den Stützstellen, und Flüsse an den
Grenzflächen zwischen benachbarten Volumen definiert. Zur Erhöhung der Stabilität und Genauigkeit
können Funktionswerte auch an Punkten zwischen zwei Stützstellen „geschätzt“ werden.
Benötigt wird zusätzlich der Abstand benachbarter Stützstellen, die Grenzfläche zwischen zwei
benachbarten Volumen (3D) bzw. die Länge der Kante zwischen zwei benachbarten Flächen (2D).
Dies kann wesentlich erhöhten Speicherplatzbedarf bedeuten.
Implementation:
5
Dirichlet: Funktionswerte an den äußersten Stützstellen ist vorgegeben
Neumann: Änderung beiden äußersten Stützstellenreihen ist vorgegeben
What are the advantages of unstructured grids? What is a Voronoi tessellation and how
do we construct it? What is a Delaunay mesh?
Seite 51 ff.
(tessellation = Mosaik)
Vorteile:
Kleinerer Abstand der Stützstellen in kritischen Bereichen (MOSFET – Gate)
Genauere Simulationsergebnisse in kritischen Bereichen
In unkritischen Bereichen: weiterer Stützstellenabstand (MOSFET – Bulk)
Ersparnisse beim Rechenaufwand und Speicherplatz
Hat man nun willkürlich verteile Stützpunkte b = {dJ , d) , … df } im beliebig-dimensionalen Raumℝ ,
dann Beschreibt die Voronoi-Box Ωi alle Punkte die näher bei der Stützstelle ri liegen als bei allen
anderen Stützstellen.
Grafisch geht man so vor:
Man verbindet zwei nahe beieinander ligende Stützstellen mit einer Geraden. In der Mitte dieser
Geraden zieht man eine Linie (Fläche) die normal dazu liegt. Das macht man bei allen in der Nähe
liegenden Stützstellen. Die eingezeichneten Normalen bilden die Grenzen der Voronoiboxen.
Diese Vorgehensweise ist kompliziert und schwierig zu implementieren.
Zum Glück gibt es zu jedem Voronoi Mosaik ein dazu duales dreieckiges Delaunay-Gitter. Dieses
Delaunay-Gitter ist wesentlich einfacher zu berechnen und zu handhaben. Dieses Gitter besteht aus
Dreiecken zwischen nebeneinanderliegenden Stützpunkten. Und zwar in einer Art und Weise sodass
im Kreis der von den Stückpunkten eines Dreiecks aufgespannt wird kein weiterer Stützpunkt liegt (=
Empty Sphere Criterion). Mit diesem Kriterium gibt es mehrere Wege ein Delaunay-Gitter zu
konstruieren.
1) Punkt für Punkt hinzufügen und Kriterium überprüfen (incremental method)
2) Willkürliche Anordnung von Dreiecken konstruieren und jene Dreiecke ändern, die das
Kriterium verletzen (swapping method)
Allgemein sollte der Abstand der Stützpunkte eine Funktion des Gradienten (Lokale Änderungsrate)
der Größen sein.
Außerdem müssen bei unstrukturierten Gittern immer mehrere Informationen zu jedem Gitterpunkt
gespeichert werden. Der Ort eines Stützpunktes im kontinuierlichen Raum kann man nicht mehr
einfach mit dem Index (xi, ui,…) identifizieren. Zu jeder Kante eines Dreiecks müssen die Kantenlänge
und die dazigehörige Fläche (3D) bzw. Kantenlänge (2D) der dualen Voronoibox gespeichert werden
(di,j, Ai,j).
How does the box integration method handle unstructured grids? What happens at
boundaries and interfaces?
Seite 51 ff.
Teilweise schon beantwortet in der vorherigen Frage.
Die Box um einen Stützpunkt ist die Voronoi-Box.
6
In SGFramework Neumann Randbedingungen mit keinem Fluss nach außen werden implizit
implementiert. ∑ lmm n opq! j
,j X ,j = k &
r
n
nofn
Hat man nun keinen Fluss nach außen muss man diesen Fluss extra in der Summe berücksichtigen.
In SGFramework wird das mittels zwei nsum Funktionen gehandhabt.
Handhabung von Interfaces: (z.B. zwischen 2 unterschiedlichen Oxidschichten)
s
tuJ
∙X+s
tu)
∙X =k&
In SGFramework: 2 nsum Funktionen
What is the difference between diffusive and convective processes? Why is that difference
important?
Seite 69
Diffusion:
Mit dem Fluss Γ = − ∇ mit dem (konstanten) Diffusionskoeffizienten D erhält man die
allgemeine Erhaltungsgleichung:
− ∇) = w
Das ist eine parabolische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. Daraus schließt
man dass sich in rein diffusiven Relaxationsprozessen ein Gleichgewicht einstellt das von den
(z.B. homogenen Neumann-) Randbedingungen bestimmt wird.
Convektion (Drift):
Mit dem Fluss: Γ =
mit der (konstanten) Mobilität µ erhält man eine hyperbolische
partielle Differentialgleichung erster Ordnung:
+ ∇∙
=Y
Rein konvektive Prozesse beschreiben sich fortbewegende Wellen, ohne dass sich deren
Form zeitlich ändert. Aufgrund der wellenartigen Fortbewegung gibt es einen Fluss nach
außen.
In so gut wie allen Systemen tragen beide Bewegungen zum Stromfluss bei. Deshalb muss man
besonders in Hinblick auf die zeitliche Diskretisierung auf die Stabilität von Näherungen achten.
How do we discretisize time derivatives? What is stability? What are explicit and implicit
schemes?
Seite 70 bis 74
Ausgangspunkt:
6
=ℎ
,
6
Explicit Euler scheme (forward Euler scheme):
xIJ −
x
=ℎ
x ,
xIJ − x
xIJ =
x + xIJ − x ℎ
7
x
x
,
x
Implicit Euler scheme (backward Euler scheme):
xIJ −
x
=ℎ
−
xIJ
x
xIJ =
x + xIJ −
xIJ
x
ℎ
,
xIJ
xIJ
,
xIJ
Plus Seite 3 und 74. Ist mir zu viel Arbeit die ganzen Formeln abzutippen.
Nach DFT erhält man eine Gleichung der Form:
xIJ
y z, # + 1) = y(z, #){(Δ1z) = y(z, 0)-{(Δ1z).
Die Lösung ist begrenzt für |{(Δ1z)| ≤ 1
Diskretisierung in der Zeit und im Ort sind beim expliziten Euler Schema eng miteinander verknüpft.
(∆1)²
∆ ≤
2
Beim impliziten Euler Schema ist die Bedingung |{(Δ1z)| ≤ 1 immer erfüllt. Das heißt aber nicht das
die Ergebnisse immer gut sind, egal welche Diskretisierung man verwendet.
Stabilität:
Ist Δt zu groß gewählt worden, dann kann die Lösung stark schwanken.
Explain the derivation of the Scharfetter-Gummel discretization (qualitatively). What are
the limiting cases for large positive and negative arguments of the Bernoulli functions?
Seite 87
Die Ladungs ni bzw. nj sind an den Stützstellen definiert. Die Stromdichte Ji+1/2 ist in der Mitte
zwischen zwei Stützstellen definiert.
E
NJ/) − IJ/)
=
∆1
Ziel der Scharfetter-Gummel Diskretisierung ist es nun, den Wert der Stromdichte zwischen den
Stützstellen gut zu approximieren.
Entlang einer geraden Linie zwischen zwei benachbarten Stützpunkten nimmt man folgende
Annahmen an:
1) Ji+1/2 ist konstant, aber noch unbekannt im Intervall Δx
2) Das elektrische Feld Ei,j ist konstant
3) Die Beweglichkeit µ ist konstant.
Dies führt zusammen mit der lokalen Koordinate xr = (x-xi)/di,j zu einer gewöhnlichen
Differentialgleichung erster Ordnung mit den 2 (!!!) Randbedingungen: n(0) = ni und n(1) = nj.
, ,j
Die Lösung ist:
, ,j
Mit
, ,j
=
=−
=
&'
6 ,j
,j
6
6
61 ,j
~ j ℬ-∆ ,j . −
&'
6 ,j
+ &'
ℬ-−∆ ,j .€
~ j ℬ-−∆ ,j . −
8
ℬ-∆ ,j .€
∆ ,j =
&j − &
&'
1
−1
Das asymptotische Verhalten der Bernoulli-Funktion ist:
−1, 1 ≪ 0,
ƒ
ℬ(1) ≈ • 1 − „, 1 ≈ 0, >
0, 1 ≫ 0.
Und der Bernoulli-Funktion
ℬ(1) =
7@
Für große Feldstärken E >> 0 erhält man den rechtsseitigen Differenzenquotienten:
IJ −
=
∆1
Für E << 0 erhält man den linksseitigen Differenzenquotienten:
− NJ
=
∆1
In beiden Fällen ist der Diffusionsterm verschwunden. Die Scharfetter-Gummel Diskretisierung passt
sich selbstständig der dominanten Elektronenbewegung an. Bewegen sich die Elektronen nach rechts
-> rechtsseitiger Differenzenquotient. Bewegen sich die Elektronen nach links -> linksseitiger
Differenzenquotient.
Give an example for a hyperbolic differential equation (first order). Why are these
equations difficult to handle numerically?
Seite 80
Wellengleichung, einfachstes Beispiel:
Lösung:
+/
† (1
1
=0
−/ )
Schwierigkeiten:
1) Es ist eine Differentialgleichung erster Ordnung und benötigt deswegen nur eine einzige
Randbedingung. Hat man nun in einem konkreten Beispiel zwei Randbedingungen, dann
existiert nur eine Lösung wenn die beiden Randbedingungen aufeinander abgestimmt sind.
Die Welle bewegt sich unverändert in ihrer Form mit der Geschwindigkeit a vorwärts, und
kann somit nicht irgendwelche willkürlich gewählten zweiten Randbedingungen genügen.
2) Im x-t-Plot bewegt sich die Welle mit der Geschwindigkeit a entweder schräg nach rechts
oder schräg nach links. Je nach Richtung liefert der linksseitige bzw. rechtsseitige
Differenzenquotient nur Blödsinn.
What happens when a discretizated hyperbolic equation is dispersive?
Seite 83, 84 (Fig. 6.14)
???
Die Anfangswelle weitet sich aus.
9
What is the equilibrium distribution function? What is the Fermi-Level? Explain the
components of the total carrier energy.
Seite 10, 11
Im thermischen Gleichgewicht verschwindet die Zeitableitung in der Boltzmann Transportgleichung.
8
+0∙∇ 8+ ∙∇ 8 =‡ 8
r…Ortsvektor
p…Impulsvektor
Q…Streuoperator
F…externe Kraft
Außerdem verschwindet auch der Streuoperator da Streuungen, egal von welchem Moment p zu p‘,
gleich wahrscheinlich in beide Richtungen sind.
Die Lösung der Boltzmann-Transportgleichung ohne Q und ohne Zeitableitung (equilibrium solution)
ist die Fermi-Dirac Verteilung:
1
8 ,d =
( , d) − ˆ
1 + 71 ` !
a
#$ %‰
Die Fermi-Dirac Statistik berücksichtigt übrigens das Pauli-Prinzip (i.e Spinentartung). Sie ist damit
geeignet für Simulationen von degenerierten (= entarteten) Halbleitern.
EF…Fermilevel
TL…Temperatur der Ladungsträger
Etot…totale Ladungsträgerenergie bestehend aus kinetischer und potentieller Energie:
( , d) = ! (d) + ℰx ( , d)
Die potentielle Energie hänge von der Bandkante des Leitungsbands ab, welches durch ein Potential
verändert werden kann:
! (d) = ‹ = ‹,† − ((d)
Ergibt:
! ( , d) = ‹ (d) + ℰ( , d)
Mit ℰ als der kinetischen Energie welche durch die Bandstruktur gegeben ist.
!
Daraus ergibt sich die Dispersionsrelation:
ℰ( , d) =
| |)
Œ∗ (d)|0|)
=
2Œ∗ (d)
2
Aus der Fermi-Dirac Verteilung erhält man die Maxwell-Boltzmann Verteilung wenn man ℰ‹ −
#$ %‰ annimmt.
ℰ( )
ℰ( )
ˆ −
! ( )
ˆ − ‹
8( , d) = exp T
a exp `−
a = X 71 `−
a
U = exp `
#$ %‰
#$ %‰
#$ %‰
#$ %‰
Die Maxwell-Boltzmann Verteilung berücksichtigt NICHT das Pauli-Prinzip.
Die Maxwell-Boltzmann Verteilung ist die Lösung der Boltzmann-Transportgleichung wenn man
einen vereinfachten Streuoperator Q(f) verwendet.
10
ˆ
≫
How is the Maxwell-Boltzmann distribution obtained from the Fermi-Dirac distribution?
What advantages does the Maxwell-Boltzmann distribution have and how does this allow
to split the contributions of the potential and kinetic energy?
Seite 11 und Antwort auf letzte Frage.
Explain the difference between microscopic quantities and macroscopic quantities.
Seite 9
In der Theorie sollte man die Newtongleichungen für jedes einzelne Elektron/Loch lösen:
6
=
, d, +
, d,
6
6d
=0
6
i = 1….N
r…Ortsvektor
p…Momentenvektor
t…Zeit
R…Zufällige Kraft die Effekte wie die Gitterschwingungen berücksichtigt
F…externe Kraft (für Elektronen: F=-qE)
Das bedeutet aber enormen Rechenaufwand (Monte Carlo Simulation).
Deshalb berücksichtigt man nur die statistische Verteilungen von p, r, sodass f(p,r,t)dpdr die
Wahrscheinlichkeit ein Teilchen mit einem Moment im Bereich von [p, p+dp] innerhalb des
Volumens [r, r+dr] zu finden ist. Damit ist auch klar dass dieser klassische Ansatz der
Heisenberg‘schen Unschärferelation widerspricht. Diese Verteilungsfunktion f(p,r,t) genügt der
Boltzmann Transportgleichung (Siehe Frage etwas weiter oben).
Der Übergang von mikroskopischen auf makroskopischen Größen spiegelt also den Wechsel von den
Newton’schen Transportgleichungen auf die Boltzmann Transportgleichung wieder.
List the most important physical effects that affect the carrier mobility. How are these
effects modeled (no formulas, just sketch)?
Seite 91 ff
1)
2)
3)
4)
Streuung an Gitteratomen oder Gitterdefekten: µL
Streuung an geladenen oder neutralen Verunreinigungen: µI
Streuung durch Oberflächenrauhigkeit: µS
Streuung an Gitterschwingungen (Phononenstreuung): µF
Um alle 4 Streumechanismen handhabbar zu machen, beginnt man bei der Modellierung mit einer
Streuart. Die zweite Streuart wird dann in Abhängigkeit der ersten modelliert, usw.
Also:
Man beginnt mit einer konstanten Initialmobilität µ0. Dann berücksichtigt man die Streuung an
Gitteratomen und Gitterdefekten. Dabei kommt eine Formel für µL raus, usw…
Schlussendlich hat man:
µLISF=µLISF(µLIS(µLI(µL)))
11
List the most important recombination processes. Which assumption is fundamental in
their derivation?
Seite 96 ff
Man hat herausgefunden dass in indirekten Halbleitern wie Silizium und Germanium die
Rekombination vorwiegend in Rekombinationszentren stattfindet. Diesen Ansatz verfolgt die
Shockley-Read-Hall Generation/Recombination (Phonon assisted recombination an generation)
Zu den Phonon-unterstützen Rekombinationsprozessen gehört:
(Generation wurde weggelassen)
a) Electron capture: An electron from the conduction band is trapped by an unoccupied defect
which becomes occupied.
b)
c) Hole capture: An electron from an occupied trap moves to the valence band and neutralizes
a hole. The trap becomes unoccupied.
d)
Die dazugehörigen Reaktionsraten sind:
l
Mit:
Nt0…Konzentration der neutralen Traps
Nt--…Konzentration der besetzten Traps
Nt= Nt0+ Nt--…Gesamtkonzantration der Traps
r
= #l y †
= #r y N
Photon-unterstützte Rekombinationsprozesse:
Wegen dem kleinen Moment eines Photons sind diese Prozesse nur in direkten Halbleitern wie GaAs
zu berücksichtigen.
Auger Generation-Rekombination:
Hier sind drei Partikel am Prozess beteiligt, aber nur zwei bewegen sich von einem Band in ein
anderes.
a) Electron capture: An electron from the conductoin band moves to the valence band. The
excess energy is transmitted to another conduction electron. In the Valence band the
electron neutralizes a hole.
b)
c) Hole capture: An electron from the conduction band moves to the valence band. The excess
energy is transmitted to another hole. In the Valence band the electron neutralizes a hole.
d)
Die dazugehörigen Raten sind:
12
l
r
=5
=5
)
)
c…Konstanten
n…Elektronenkonzentration
p…Löcherkonzentration
Stoßionisation (Impact ionization)
Ist ein reiner Generationsprozess
Why is impact ionization so difficult to model (both from physical and numerical point of
view)?
Seite 104
Ein hochenergetischer Träger erzeugt ein Elektron-Loch Paar. Mikroskopisch betrachtet gibt es
keinen Unterschied zwischen Stoßionisation und der Auger Generation. Nur die Energiequelle
unterscheidet sich.
Die Auger Generationsrate wurde im thermischen Gleichgewicht berechnet (principle of detailed
balance, which holds in equilibrium). Die Stoßionisation ist aber ein typischer Prozess außerhalb des
thermischen Gleichgewichts da man hohe elektrische Felder benötigt.
Quelle der Stoßionisation kann entweder ein hochenergetisches Elektron im Leitungsband oder ein
hochenergetisches Loch im Valenzband sein. (Auger-Prozess b, und d)
Modellierung im Drift-Diffusion Model:
l
=;
q
=;
| |
‘ ‘
α…Ionisationskoeffizient
Die Ionisationskoeffizienten sind definiert als die reziproke mittlere Distanz die die Ladungsträger
zwischen zwei Ionisationsereignissen durchlaufen.
Totale Generationsrate: GII=va+vb.
Man sieht also den Unterschied zwischen Auger- und Stoßionisation ganz deutlich:
Auger…Benötigt hohe Ladungskonzentrationen
Stoß…..Benötigt hohe Stromdichte (und hohe el. Felder wie wir gleich sehen werden)
Die Ionisationskoeffizienten hängen exponentiell von der Feldstärke ab:
; = X 71 -− ’ / “” .
“•
; = X 71 ~−-’ / . €
What is the quasi-Fermi level? Sketch some important cases.
Seite 15, 16
13
Original:
†
†
− ‹
a=
#$ %‰
[− ˆ
= y[ 71 `
a=
#$ %‰
= y‹ 71 `
Neu:
=
−
a
#$ %‰
− ˆ
71 `
a
#$ %‰
ˆ
71 `−
Mit:
71 `
ˆ
–
(
a 71 ` a
&'
&'
– = &' — ` a − (
Ein Vergleich ergibt:
−
a=
#$ %‰
Im thermischen Gleichgewicht gilt: n0p0=ni2
Aber hier gilt:
=
71 `
ˆ
=
Bilder: Seite 16
)
71 `
71 `
=
ˆ
∇
ˆ
−
#%
−
#$ %‰
ˆ
,†
(
a 71 ` a
&'
a
ˆ
What are contact potentials? When do they have to be considered in device simulation?
Seite 17, 18
Bringt man zwei unterschiedliche Metalle (i.e. unterschiedlichem Fermi Level im Vergleich zur
Vacuumenergie) in Kontakt zu einander, dann gibt das Metall mit höherem Fermi Level Elektronen an
das andere Metall ab. Dadurch werden die Metalle positiv bzw. negativ geladen was wiederum ein
Potentialunterschied (= contact potential) zwischen den Metallen hervorruft.
ˆJ − ˆ)
˜J) =
= –) − –J
˜J™ = –™ − –J
14
Bringt man nun nicht zwei Metalle sondern zwei unterschiedlich dotierte Halbleiter zusammen, dann
nennt man den auftretenden Potentialunterschied built-in potential.
What is the built-in potential?
Seite 18 und 20, 21
Hat man im thermischen Gleichgewicht eine beliebige Elektronenkonzentration n(r), dann benötigt
man eine Potentialverteilung um die nicht konstante Elektronenkonzentration aufrecht zu erhalten.
d
(q = &' — `
a
Merke: Das built-in Potential ist (bis auf eine additive Konstante) die Lösung des Drift-Diffusion
Models wenn kein Strom fließt.
How do we model Ohmic contacts?
Seite 21 ff
Metall-HL-Übergänge:
Fermi Level Metall < Fermi Level HL (normalerweise bei n-Dotierung)
Schottky Kontakt
Fermi Level Metall > Fermi Level HL (normalerweise bei p-Dotierung)
Ohmscher Kontakt
Aber auch aus einem Metall/nHL kann man einen quasi Ohmschen Kontakt machen, indem man den
HL sehr hoch dotiert (ND > 1017 cm-3). Die entstehende Potentialbarriere wird dadurch so dünn dass
die Elektronen durchtunneln können.
Fig. 2.15 auf Seite 22
Ohmscher Kontakt -> Dirichlet Randbedingungen für Potential und n, p
Aus physikalischer Sicht ist die Annahme man hätte einen Ohmschen Kontakt zwischen Metall/HL
sehr grob. Aber man hofft dass die physikalische Ungenauigkeit in der Randzone auf das Device und
dessen Simulation nur wenig Einfluss hat.
Hoch dotierter n-Bereich:
Cy
C
Hoch dotierter p-Bereich:
)
^
K
( = &r − –š›
+ &' — y ⁄
C y•
C
)
^
K
( = &r − –š›
− &' — y• ⁄
15
What are the basic assumptions used in the derivation of the analytical diode model?
When are these assumptions violated?
Seite 105 ff
1) In der RLZ: ρ=qC; außerhalb: ρ=0.
2) Der Übergang dazwischen wird als abrupt angenommen.
Trifft zu solange die Weite der RLZ viel größer ist als die Debye Länge ž = Ÿ, &' ⁄ y
Damit kann man bereits die Poisson Gleichung lösen. (E konstant außerhalb der RLZ und linear
fallend/steigend innerhalb der RLZ). Die Lösung beschreibt eine reale Diode relativ gut, solange sie im
Sperrbereich betrieben wird. Im Durchlassbereich existiert nämlich keine RLZ mehr und die
Annahmen gelten nicht mehr.
Diese und weitere Annahmen zusammengefasst:
1) Abrupt doping profiles. Diese Annahme ist immer schlechter erfüllt je kleiner die Diode ist.
2) Depletion approximation: (Abrupte Grenzen der RLZ). In Wahrheit gibt es einen
kontinuierlichen Übergang zwischen neutraler Zone und RLZ in der Größenordnung der
Debye Länge.
3) No recombination: Keine Rekombination und auch keine Generation in der RLZ.
4) Short diode: Wir nehmen an, dass die Diode kurz genug ist um die Rekombination außerhalb
der RLZ zu vernachlässigen. Und dass sie lang genug ist um die Weite der RLZ in der
Driftgleichung der Minoritäten zu vernachlässigen.
5) Low-level injection: Wir nehmen an dass die Minoritätsträger selten genug sind um die
Konzentration der Majoritätsträger nicht zu verändern. (Klingt für mich wie die
Vernachlässigung der Rekombination).
Was mir sonst noch so einfällt, besonders in Hinblick auf das Drift-Diffusion Model:
1) Keine magnetischen Felder. (Erweiterung der quasi-statischen Annahme)
Hätte aber sowieso so gut wie keinen Einfluss da unser Modell nur im Sperrbereich gilt.
2) Nicht entartet.
Explain the Newton method for the solution of a non-linear equation system.
Seite 35 ff.
Man geht mal von der diskretisierten Gleichung f(xk) = 0 aus. Bessergesagt: man sucht ein xk sodass
f(xk) = 0 ist. Hat man ein System von Gleichungen, dann ist f eine Matrix und x ein Vektor.
Eine Taylorerweiterung von f in xk liefert:
8 1xIJ C 8 1x + 8 K 1x 1xIJ − 1x
Da mit steigendem k f(xk) immer mehr Richtung Null gehen sollte setzen wir mal f(xk+1) = 0!
Das kann man nun umformen zu:
8 1x
8 K 1x
Hat man ein System von Gleichungen wäre f‘ die Jakobimatrix.
1xIJ = 1x −
Der vollständige Newton Algorithmus lautet nun:
16
1)
2)
3)
4)
Man startet mit einer Initialläsung x0 und k=0.
Berechne f(xk) und beende den Algorithmus wenn |f(xk)|<ε.
Berechne f‘(xk) und in weiterer Folge xk+1.
Erhöhe k um eins und fahre mit Punkt 2 fort.
What is the junction capacitance and what is the diffusion capacitance?
Seite 110 ff
Junction capacitance:
Ladung wird in der RLZ gespeichert. Beobachtet man nun Wechselspannungen mit ausreichend
hohen Frequenzen, dann sorgt diese Ladung für eine Kapazität.
Ändert sich die angelegte Spannung, so ändert sich auch die Weite der RLZ. Da die RLZ eine
Raumladung aufweist führt eine Weitenänderung zwangsweise zu einem Ladungstransport, also
einem kapazitiven Stromfluss.
Diffusion capacitance:
Durch die Injektion gelangen Ladungen auf die jeweils andere Seite der RLZ (Minoritätsträger). Diese
Injektion ist exponentiell von der angelegten Spannung abhängig. Ändert sich also die angelegte
Spannung, so ändert sich auch die Anzahl an Minoritätsträgern. Die Differenz muss abgebaut werden
-> die diffusions Kapazität.
Show the band diagram of a MOS transistor. What is the flat-band case?
Seite 120
Fig. 8.17 auf Seite 120
Flachband Fall:
Die Bänderstruktur eines Metall/SiO2/pSi Stapels ohne angelegte Spannung:
Die Bänder von pSi biegen sich hin zum SiO2 etwas nach unten.
Legt man nun eine leicht negative Spannung von ungefähr 0.9V am Gate an (= φMS=φM-φS), dann
erhält man eine gerade Bandkante des Leitungs- und Valenzbands vom pSi.
What is the threshold voltage?
Seite 121
Das ist die Gatespannung ab der im Kanal starke Inversion stattfindet (n>p für nMOS, oder EC erreicht
EF )
Which quantum mechanical effects are important in MOS transistors?
Seite: unbekannt
Ich schätze mal: Tunneln durch das Oxid
???
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What are short-channel effects?
Seite ???
1) Die Thresholdspannung nimmt bei zu kurzer Gatelänge ab. Der Kanal ist ja im Bändermodell
eine Barriere zwischen Source und Drain. Diese Barriere kann aber nicht unendlich schnell in
x-Richtung anwachsen. Man hat einen fließenden kontinuierlichen Übergang zwischen S, G
und D. Sind nun Source und Drain zu nahe beieinander, so lässt der Abstand dazwischen es
nicht zu dass die Barriere ihr Maximum erreicht. -> VT nimmt ab.
2) Bei hohen Drainspannungen oder bei kleinen Gatelängen wird das longitudinale Feld im
Kanal sehr groß. Nach v = µE müsste die Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger stetig
zunehmen. Oberhalb des ‚kritischen Feldes‘ sättigt die Geschwindigkeit jedoch. Man nennt
das ‚velocity saturation'. Alternativ kann man (wegen µ = v/E) sagen: Die Mobilität nimmt ab:
‚mobility degradation‘. Konsequenz: der Drainstrom steigt nicht so stark an wie erwartet.
3) Die Thresholdspannung hängt bei kurzen Gatelängen von der Drainspannung ab weil die
Drainspannung die RLZ um den Drainkontakt und wie oben bereits erklärt auch die Barriere
im Kanal beeinflusst.
What is poly-depletion?
Seite ???
???
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