3. Thermodynamische Potentiale

3. Thermodynamische Potentiale
Betrachtenwir𝑛MoleeinesidealenGases,sogeltenzweiBeziehungen.DieersteBeziehung
istdieidealeGasgleichung,auchthermischeZustandsgleichunggenannt:
𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇
(1)
𝑝 bezeichnet hier den Druck, 𝑉 das Volumen und 𝑇 die absolute Temperatur. 𝑅 ist eine
Konstante.
DiezweiteBeziehungistdiekalorischeZustandsgleichung:
)
𝐸 = 𝑛𝑅𝑇
*
(2)
𝐸 ist die innere Energie des Gases; sie ist die Summe der kinetischen Energien aller
Gasteilchen.SieisteineZustandsfunktion,dasheisstsiehängtvondenZustandsvariablen𝑛
und𝑇ab.EineweitereZustandsfunktionistdieEntropie𝑆,dieeinMassfürdieUnordnungin
einemGasist.JegrösserdieUnordnung,destogrösserdieEntropie.DieungefähreÄnderung
der Entropie bei Änderung der inneren Energie und des Volumens ist gegeben durch die
Funktion
𝑑𝑆 =
1
𝑝
𝑑𝐸 + 𝑑𝑉
𝑇
𝑇
𝑑𝑆 ist ein totales Differential, also jenes lineare Taylorpolynom, das auch eine lineare
Abbildungist.Mansagtauch,dieEntropieSseieinthermodynamischesPotential.
Aufgabe1a)
DastotaleDifferentialaneinenPunkt 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 einerFunktion𝑓inzweiVariablen
istgegebendurch
𝑑𝑓 = 𝑓4 𝑥0 , 𝑦0 𝑑𝑥 + 𝑓5 𝑥0 , 𝑦0 𝑑𝑦
6
8
9:
9:
7
7
9;
9<
Darausfolgt,dassdieKoeffizienten und geradedenpartiellenAbleitungen und entsprechen.
Aufgabe1b)
AufgrundderTatsache,dassdieKoeffizientendiepartiellenAbleitungendarstellen,kannder
ersteKoeffizientnachderEnergieundderzweitenachdemVolumenintegriertwerden.Da
diesejedochFunktionenderEnergiebzw.desVolumenssind,müssensieumgeschrieben
6
werden.AuflösenvonGleichung(2)nach liefert
7
𝜕𝑆 1 3𝑛𝑅
= =
𝜕𝐸 𝑇
2𝐸
NachdemIntegrierenerhältmanfürdieEntropiealsFunktionvonEnergieundVolumen
folgendenAusdruck:
𝑆=
3𝑛𝑅
3
𝑑𝐸 = 𝑛𝑅 ∙ 𝑙𝑜𝑔 𝐸 + 𝑓(𝑉)
2𝐸
2
Um die Abhängigkeit 𝑓 𝑉 der Entropie vom Volumen zu erhalten, muss man die partielle
p
Ableitung alseineFunktiondesVolumensumschreibenundanschliessendintegrieren.Wir
T
formendiethermischeZustandsgleichung(1)um:
𝑝 𝑛𝑅
=
𝑇
𝑉
DurchIntegrierenerhältmanwiederumdieEntropie:
𝑆=
𝑛𝑅
𝑑𝑉 = 𝑛𝑅 ∙ log 𝑉 + 𝑔(𝐸)
𝑉
FürdieEntropieeinesidealenGaseserhältmanzusammengefasst:
3
𝑆 = 𝑛𝑅( log 𝐸 + log 𝑉 )
2
AusdieserGleichungistersichtlich,dassesdurchausSinnmacht,dieEntropieeinesidealen
GasesalseinMassfürdieUnordnungaufzufassen,dasiemitwachsenderAnzahlMoleküle
wieauchmitwachsendemVolumenundwachsenderEnergiezunimmt.