Ultrakalte Fermigase

Ultrakalte Fermigase sich semi-klassisch so verstehen, dass hier die Wellenlänge der Wellenfunktionen der einzelnen Teilchen in den Bereich der mittleren Teilchenabstände
Fabian Große-Schulte &
gerät und die Wellenfunktionen anfangen zu überMichael Kwasnicki
lappen. Die Wellenlänge (thermische deBroglie Wel9. Februar 2009
lenlänge)
ist dabei antiproportional zur Temperatur
√
T.
Ein interessanter Unterschied wurde zum Beispiel
bei der räumlichen Ausdehnung von Gaswolken bei
1 Theoretische Grundlagen
verschiedenen Temperaturen entdeckt. Dazu präparierte man einmal eine Gaswolke aus (bosonischem)
1.1 Grenzfall hoher Temperaturen
Li-7, und einmal aus (fermionischem) Li-6. Wo sich
Ideale Fermi-Gase sind Systeme von nicht- bei dem bosonischen Li eine drastische Verringewechselwirkenden Fermionen, die ein quantenme- rung des Durchmessers der Gaswolke mit sinkender
chanisches Analogon zum idealen Gas bilden. Temperatur ergab, fand man beim fermionischen
Jedoch werden hier quantenmechanische Effekte Li lediglich eine geringe Abnahme des Durchmesberücksichtigt und der fermionische Teilchencha- sers (siehe Abb. 1). Die Ursache für das Verhalten
rakter spielt eine entscheidende Rolle im Hinblick
auf das Pauli-Prinzip. Wie jedes System, welches
aus Fermionen aufgebaut ist, unterliegt ein FermiGas der sog. Fermi-Dirac-Statistik“, wobei die
”
mittlere Besetzungszahl hn(Ei )i im Energiezustand
Ei durch Gl.(1) beschrieben wird.
hn(Ei )i =
1
≤1
exp [β (Ei − µ)] + 1
(1)
Hierbei ist β = 1/(kB T ) und µ das zugrundeliegende chemische Potential. Die mittlere Besetzungszahl ist für Fermionen immer kleiner oder
gleich Eins, denn das Pauli-Prinzip fordert, dass
jeder quantenmechanische Zustand eines fermionischen Systems, von höchstens einem Fermion besetzt wird. Im Rahmen dieses Vortrags werden
(verdünnte) Fermi-Gase bestehend aus fermionischen Atomen diskutiert, wobei es bei neutralen
Atomen lediglich an der Anzahl der Neutronen liegt,
ob ein Atom fermionisch oder bosonisch ist. Vergleicht man nun das Verhalten von Fermi- und
Bose-Gasen im Grenzfall hoher Temperaturen, so
wird man keinen Unterschied feststellen können.
Dieses Phänomen liegt unter anderem daran, dass
sich sowohl Bose-Einstein- als auch Fermi-DiracStatistik im Grenzfall hoher Temperaturen durch
die sog. Maxwell-Boltzmann-Verteilung“ approxi”
mieren lassen.
Abbildung 1: Ausdehnung der Gaswolken bei verschiedenen Temperaturen, links: (bosonisches) Li-7, rechts: (fermionisches) Li-6
der Fermi-Gas-Wolke liegt im Pauli-Prinzip. Dieses sorgt dafür, dass die Teilchen sich nicht beliebig nahe kommen können, wenn es sich um Spinpolarisierte Fermionen handelt (Antisymmetrie der
Wellenfunktion). Auch beim absoluten TemperaturNullpunkt hätte eine Fermi-Gas-Wolke immernoch
einen endlichen Druck, den sog. Fermi-Druck“,
”
welcher unter anderem dafür verantwortlich ist,
dass Neutronen-Sterne stabil sind. Beim Bose-Gas
würde man hingegen bei T = 0 auch einen Druck
von p = 0 vorfinden (wie beim idealen Gas), da hier
alle Teilchen den gleichen Quantenzustand einnehmen dürfen.
1.2 Was passiert bei sinkenden
Im Modell kann man sich die Unterschiede der Gase
Temperaturen?
bei T = 0 mit Bild 2 verdeutlichen.
Die physikalisch wesentlich interessantere Tempe- In (a) sind die räumlichen Ausdehungen der Welraturregion ist die bei niedrigen Temperaturen na- lenfunktionen der einzelnen Teilchen gezeigt, die in
he dem absoluten Nullpunkt. Hier treten quanten- die Größenordnung des mittleren Teilchenabstandes
mechanische Effekte auf und die Unterschiede zwi- d geraten. In (b) sieht man die Unterschiede der Beschen Bose- und Fermi-Gasen werden, aufgrund der setzung der einzelnen Energieniveaus bei T = 0 für
verschiedenen Konstituenten (Bosonen bzw. Fer- Bosonen (links) und Fermionen (rechts) in einem
mionen) der jeweiligen Gase, deutlich. Dies lässt harmonischen Oszillatorpotential.
1
1.4 Streutheorie
Geht man davon aus, dass das Fermi-Gas auf
die gewünschte Temperatur gebracht wurde, repräsentieren Streuprozesse der Fermionen untereinander die fundamentale Wechselwirkung innerhalb
des Gases. Ausgehend von einem zentralsymmetrischen, kurzreichweitigen Streupotential, lässt sich
eine sog. Partialwellen-Entwicklung“ durchführen,
”
bei der man die Wellenfunktion, die den Streuprozess beschreibt, in eine unendliche Superposition
aus Wellen unterschiedlichen Drehimpulses entwickelt (Gl.(3)).
Abbildung 2: Illustration zum mittleren Teilchenabstand (thermische de BroglieWellenlänge) a), Besetzung der
Energiezustände im harmonischen
Oszillatorpotential b)
1.3 Wie kühlt man ein Fermi-Gas?
Ψ~k (~r) =
l=0
Wie im vorherigen Abschnitt erläutert, spielt sich
die interessante Physik im Bereich niedriger Temperaturen ab, deshalb stellt sich natürlich die Frage, wie man in diese Temperatur-Regionen gelangt,
wie man also ein Fermi-Gas auf solche Temperaturen kühlt. Im Experiment bedient man sich oft
des sog. evaporativen Kühlens“. Hierbei werden
”
die energiereichsten Teilchen einer Gaswolke aus
dieser entfernt. Anschließend muss das Gas thermalisieren, also ein thermodynamisches Gleichgewicht ausbilden, was durch elastische Stöße passiert. In Folge dessen hat sich die mittlere Energie der Gaswolke verringert und die Temperatur
der Gaswolke sinkt. Entscheidend hierbei sind jedoch die elastischen Stoßprozesse der Gasteilchen
untereinander, ohne die kein Kühleffekt auftritt. Bei
Spin-polarisierten Fermi-Gasen hat man das Problem, dass die Teilchen untereinander nicht stoßen können, da die Ortwellenfunktion φ der Teilchen antisymmetrisch sein muss, wegen Symmetrie
der Spin-Wellenfunktion χ. Dies impliziert aber,
dass die Teilchen sich nicht am gleichen Ort aufhalten können, da sonst die Ortswellenfunktion trivial
symmetrisch wäre. Folglich sind Stoßprozesse mit sWellen-Symmetrie aufgrund des Pauli-Prinzips für
Spin-polarisierte Fermi-Gase verboten, was evaporatives Kühlen unmöglich macht.
Ψ(1, 2) = φ(~r1 , r~2 ) χ(1, 2)
| {z } | {z }
| {z }
antisymm.
∞
X
uk,l(r)
r
Pl (cos(θ))
(3)
Wegen geforderter Teilchenzahlerhaltung und wegen der durch die Symmetrie des Streupotentials
gegebenen Drehimpulserhaltung, ergibt sich, dass
sich die einlaufende von der auslaufenden Welle nur
um eine Phase δl (k) unterscheiden darf. Die Größe
δ0 (k)/k ist dabei ein Maß für die Stärke und die
Art (attraktiv oder repulsiv) des zugrundeliegenden
Streupotentials. δ0 (k) beschreibt die von der sog.
s-Welle (mit verschwindendem Drehimpuls l = 0)
aufgesammelte Phase (siehe Abb.3). Im Rahmen
der Quantenmechanik lässt sich zeigen, dass lediglich Partialwellen mit l = 0, also verschwindendem Drehimpuls, bei ultrakalten, d.h. niederenergetischen (k → 0), Streuprozessen beitragen (sog.
s-Wellen-Streuung“).
”
(2)
antisymm. symm.
Abbildung 3: Illustration zur
aufgesammelten“
”
Phasenverschiebung bei verschiedenen zugrundeliegenden Potentialen
Man löst dieses Problem, indem man dafür sorgt,
dass χ antisymmetrisch ist. Das heißt man benutzt
fermionische Teilchen unterschiedlichen Spins. Da
die Ortswellenfunktion nun symmetrisch sein darf,
ohne das Pauli-Prinzip zu verletzen, sind Stoßprozesse erlaubt. Da Stoßprozesse nicht nur für das
Kühlen des Fermi-Gases essenziell sind, sondern
auch die fundamentale Wechselwirkung der Fermionen untereinander darstellen, soll im Folgenden ein
kleiner Einschub in die quantenmechanische Streutheorie gemacht werden.
Für die s-Wellen-Streuung wird häufig die sog.
elastische s-Wellen-Streulänge“ über
”
δ0 (k)
a = − lim
(4)
k→0
k
definiert. Sie ist positiv (negativ) für repulsive (attraktive) Streupotentiale. Die Verknüpfung zwischen den experimentell beobachtbaren Größen und
2
n (siehe z.B. H. Feshbach, Thel Nuclear Physics, Wiley, New
nal
.3
Wirkungsquerschnitt
Streulänge
Energie
sich ihre Energien mithilfe eines exterauf kohärente Weise erzeugen. Dazu
nen Magnetfeldes zur Übereinstimmung verringert man das Magnetfeld über die
bringen (Entartung).
Resonanz hinweg, um an der in Abb. ii
Typische Streuparameter wie z.B. die gezeigten „vermiedenen Kreuzung“ von
s-Wellen-Streulänge und der elastische
dem Atom-Zustand (schwarz) auf den
Wirkungsquerschnitt variieren erhebMolekül-Zustand (rot) zu wechseln.
lich in der Nähe einer Feshbach-Resonanz.
auch inelastische Prozesse
dieser Streulänge ist
derAber
Wirkungsquerschnitt,
der
wie
z.
B.
die
Drei-Körper-Rekombinadie Wechselwirkungswahrscheinlichkeit
angibt.
Atomtion sind in der Nähe einer FeshbachZustand
2
Resonanz
verstärkt.
Die s-Wellen-Streulim σ0 ≈ 4πa
(5)
k→0
länge
ist von zentraler Bedeutung bei
Molekülder die
Beschreibung
ultrakalter
Stöße, da
Man sieht also, dass
Wechselwirkung
lediglich
Zustand
sie die
Streueigenschaften
A
von einem Parameter
abhängt,
nämlich vonvollständig
a. Inatomarer Abstand
r
festlegt.
Die
Streulänge
ist positiv, wenn
teressant
wäre es nun,
wenn
man
diesen Parameter
Feshbachdie könnte,
Energie was
des gebundenen
Zustands
experimentell
steuern
zur
Kontrolle
der
Resonanz
:
leicht unterhalb der Energie des Streuinnerhalb des Gases führen würde.
ülpotential, welchesWechselwirkung
den Stoß
zustands liegt (wie in Abb. i eingefreier niedrigenergetischer
In der Atome
Tat ist dies mit Hilfe eines von außen anzeichnet und wie in Abb. ii A links vom
eibt (schwarz), und gelegten
ein weiteres
Magnetfeldes bzw. einer sog. FeshbachKreuzungspunkt der Zustandsenergien
”
ülpotential (rot), welches einen
B
möglich.
enen Zustand trägtResonanz“
(tiefer liegenrealisiert). Sie ist negativ, wenn die
tände sind nicht eingezeichnet).
Energie des Molekülzustands oberhalb
totisch unterscheiden sich die
des Streuzustands
1.5
Feshbach-Resonanz
(FR)liegt. Bei Resonanz
Molekülpotentiale dadurch, dass
divergiert
die
Streulänge (siehe Abb. ii
erschiedlichen Spinzuständen entEine Feshbach-Resonanz
ist elastische
eine magnetisch
abB) und der
Wirkungsqueren. Die Energie des gebundenen
stimmbare
Streuresonanz,
auftritt
wenn (siehe
ein
C
ds unterscheide sich
nur wenig von
schnitt ist die
resonant
überhöht
hezu verschwindenden)
freierStoßenatomarer Streu-Zustand
einem
gebunAbb. ii C). Diemit
Breite
der Resonanz
er beiden freien Atome
(Streuzudenen
Molekülzustand
koppelt.
die kine-und
wird durch
die Stimmt
Kopplungsstärke
Magnetfeld
blau).
Differenz dermit
magnetischen
Motische Energie derdieStoßpartner
der Energie
mente der
Zustände
gegeben.
des gebundenen
Zustands
überein,
so kommt
esFür
zu ein
1992)). Das Grundprinzip
beAbb.
Abbildung
4: ii:
Illustration zur FR: A) avoided crosatomares BEC
beispielsweise hat die
Eine Feshbach-Resonanz
kann durch
einer resonant
Wechselwirkungswahrarin, dass ein Streuzustand
bei überhöhten
sing der Energieeigenwerte,
B) DiKopplung
Streuzu- 12
einer Feshbach-Resonanz
ewissen Streuenergie
an einen derExistenz
CHAPTER
2. BCS-BECzwischen
CROSSOVER atomarem
PHYSICS
scheinlichkeit,
Feshbach-Resonanz.
Diese Revergenz
der Streulänge
(FR), C)
stand
und
gebundenem
Molekülzustand
dramatische
Konsequenzen.
Die efdenen Zustand koppeln
sonanzkann.
kann aufgrund
der verschiedenen
magnetiÜberhöhter
WQ
anZeemander FR
entstehen.
A zeigt
die
colors represent
fermions Abb.
in two different
spin states;
two states are required if
fektive
Wechselwirkung
der
Atome
Physik ultrakalterschen
GaseMomente
findet
µ
~ des Molekül- bzw. freien Atom- im the fermions
Energie
der
als Funktion eines
are to pair
via Zustände
s-wave (l = 0) interactions.
Kondensat,
die
sog.
Mean-Field-Wecheuprozess bei einer
nahezu durch ein äußeres Magnetfeld herbeiexternen
Magnetfelds. Bei einemBCS
gewissen
zustands,
BEC
selwirkung, ist proportional zur Streuwindenden Streuenergie
statt.
Magnetfeld
(durch
den
Pfeil
angedeutet)
geführt, die Energien also relativ zueinander verlänge. Sie ist anziehend für negative
kreuzen sich die Zustände. Die Kopplung
eshbach-Resonanz tritt hier als
schoben und in Übereinstimmung gebracht werden
der Zustände führt zu einer „vermiedenen
tisch abstimmbare Streuresonanz Werte der Streulänge. Das BEC kann
(Zeeman-Effekt). Schaut
man
sich
die
Streulänge
Kreuzung“, wie im Ausschnitt gezeigt. Die
dann kollabieren. Für positive Werte
enn der Zustand von zwei freien,
s-Wellen-Streulänge divergiert an dieser
in
Abhängigkeit
des
Magnetfelds
an,
so
sieht
man,
ist
diese
Wechselwirkung
abstoßend,
diatomic molecules
strongly interacting pairs
Cooper pairs
ander stoßenden Atomen, der
Stelle (Abb. B)
und der elastische
Wirdassander
Parameter
≤ a ≤
∞ und somit
was−∞
zu stabilen
Kondensaten
führt.
omare Streuzustand,
einen
Figure kungsquerschnitt
2.1: Cartoon illustration of the
continuum
pairing ein
in thestark
BCS-BEC
(Abb.
C)ofzeigt
crossover.
die Wechselwirkung
stufenlos
durchgefahren
werden lässt
einer
Feshbach-Resonanz
resonantes
Verhalten.
ularen, d. h. gebundenen
Zustand Mithilfe
Abbildung
5: Illustration
zum BEC-BCS-Crossover
kann (siehe Abb.4).
In other pairing mechanisms, such as Cooper pairing, the underlying fermionic
nature of the system is much more apparent. Cooper considered the problem of
two fermions with equal and opposite momentum outside a perfect Fermi sea [17].
The energy
of the two
fermions turns
out to be
less than
of 2 EF
© 2004
WILEY-VCH
Verlag
GmbH
& the
Co.expected
KGaA,value
Weinheim
for arbitrarily weak attractive interactions. This result is in surprising contrast to
the result of the problem of two fermions in vacuum; in this case there will not be
a bound state until the interaction reaches a certain threshold. The key difference
between the two situations arises from Pauli blocking, which in the Cooper pair
case prevents the two fermions under consideration from occupying momentum
states k < kF , where kF is the Fermi wavevector [92].
Considering only one pair of electrons as free to pair on top of a static Fermi
sea is not a sufficient solution to the pairing problem. All fermions should be
allowed to participate in the pairing, and we expect that pairs should form until
an equilibrium point is reached. At this equilibrium point the remaining ensemble
of fermions is disturbed enough from a Fermi sea configuration to no longer lead
to a bound state at the given interaction strength [93]. The BCS state is an
approximate solution to this many-body problem. A description of the full BCS
theory is beyond the scope of this current discussion, but is presented in the
original papers [15, 16] and discussed in numerous books, for example Refs. [92,
93]. Qualitatively the BCS state consists of loose correlations between fermions
1.7 Quellen
1.6 BEC-BCS-Crossover
• Deborah Jin - A Fermi gas of atoms“
”
(Apr.4,2002):
http://physicsworld.com/cws/article/print/5287
Mit Hilfe der Feshbach-Resonanz ist es sogar
möglich, aus freien Fermionen, gebundene bosonische Moleküle und damit ein molekulares BEC zu
erzeugen. Denn dadurch, dass der freie atomare
Zustand an den Molekülzustand koppelt, kommt
es zu einer vermiedenen Kreuzung“ im Bild der
”
Energieeigenwerte, wodurch es ab einem bestimmten äußeren Magnetfeld für die Streupartner energetisch günstiger ist, ein Molekül zu bilden. Dies ist
die sog. BEC-Seite“ der Feshbach-Resonanz (lin”
ke Seite). Erhöht man nun das äußere Magnetfeld
wieder über die Feshbach-Resonanz hinweg (BECBCS-Crossover), so werden die Moleküle aufgebrochen, bis sie schließlich sog. atomare Cooper”
Paare“ bilden. Dabei wirkt zwischen zwei Atomen eine schwach attraktive Wechselwirkung, deren
Kohärenzlänge mehrere mittlere Teilchenabstände
beträgt. Da die BCS-Theorie die Cooper-Paare mathematisch beschreibt, wird diese Seite (rechte Seite) der Feshbach-Resonanz auch die BCS-Seite“
”
genannt (siehe Abb.5).
• Sebastian Ernst - Diplomarbeit Kontrolle
”
der interatomaren Wechselwirkung mit einer
Feshbach-Resonanz in einem Bose-EinsteinKondensat aus Rb(87)“
• J.J.Sakurai - Modern Quantum Mechanics“
”
(1994)
2 Experimentelle
Untersuchungen
2.1 Erzeugung Ultrakalter Fermigase
Fermionen müssen sympathetisch gekühlt werden,
da sie auf Grund des Pauli-Prinzips nicht mit
einander Stoßen können, was aber eine notwendige Voraussetzung für das evaporative Kühlen
3
man shift &! # !9/2 '
T/TF ! 0.5, the forced evaporation becomes
interpretation of these images, we produced a
microwave lines at the
grossly inefficient in reducing T/TF, and
single-component gas of m F # 9/ 2 atoms by
ely high T (case 1 in
removing the m F # 7/ 2 atoms with a micromany more atoms are removed to accomplish
wave sweep (23). To keep the remaining
&!, a single frequency
the same change in T.
m F # 9/ 2 atoms in thermal equilibrium, we
equally from both spin
This plunge in cooling efficiency does not
chose a time scale for the sweep that was
3 in Fig. 2B) where %!
coincide with any observed change in the
slow compared with the collision rate in the
e lines are distinct and
atoms’ loss or heating rate and is robust
Nachweis
Suprafluidität
ist. toMan sample.
kann dazu
ein this
bosonisches
HintergrundIndeed,
sweep provides
the final 2.3against
encies are needed
changesvon
in the
details of evaporation.
gas
verwenden,
mit
dem
die
Fermionen
im
therevaporative cooling. The time-of-flight im- Als The
of the gas in parallel.
behavior survives
variation
initial
Suprafluidität
bezeichnet
man in
diethe
ViskositätsKontakt
stehen
man off
ver-the
age
was taken
by können,
suddenly oder
switching
ase (case 2, Fig.mischen
2B)
number ofbei
atoms
temperature of
the sameigenschaft,
demand
reibungsfreier
Fluss
möglich
andere
des Fermicurrent
that Spin-Komponente
provides the magnetic
trapping wird.
pplication of anywendet
rele- eine
ple,Nachweisen
changes in lässt
the duration
of the
microwaveüber
sich diese
Eigenschaft
Pauli-Prinzips
# 5.0 densweep
2 atoms, changfieldGrund
(alwaysdesreleasing
from theistB 0wegen
ency will removeGases.
un- Auf
that removes
m F # 7/Flüssigkeiten
Drehimpuls.
Bei normalen
genügt
der
asymmetrischen
Spin-Wellenfunktion
eineallowed
symgauss trap) was switched off, which
the evaporation
timing,
and die
evenReibung
res from each species. It
es es
deninBehälter
zu drehen:
durch
wodurch
theOrts-Wellenfunktion
gas to expand freely möglich,
for 15 to 20
ms. The überträgt
placement
the second
stage ofauf
evaporation
le to efficiently metrische
cool
sichof der
Drehimpuls
die Flüssigdas Gas mit sich selber thermalisieren kann. Da
absorption shadow, generated by illumination keit.with
single-frequency
removal
ith a microwave field.
Beicontinued
Suprafluiden
ist das anders.
Durchof den
zwei verschiedene Spinzustände auch unterschiedtrap
(as
in
case
1, Fig.
of the expanded gas with a 24-$s pulse of reibungsfreien
atoms in a lower
problem we controlled
Fluss Bmuss
über
Laser
eine
starke
0
liche Grundzustandsenergien haben, sind die Ener2B). In addition
the datagebracht
presented
in Fig. wolight resonant with the 4S1/2, F # 9/ 2 to Asymmetrie
me through adiabatic
in das toSystem
werden,
gieverteilungen gegenseitig verschoben, was bei der
4P , F # 11/ 2 transition, was imaged onto durch
3 obtained
withsimuliert
the evaporation
procedure
ic trap strength, which
die Reibung
wird (vergleiche
AbbilEvaporation3/2zu ungleichmäßigem Kühlen führt.
8
After "10 atoms are
a charge-coupled device array, and the optical dung
described
above,
we observed
thatüber
the reduc(7)). Der
Nachweis
kann nur
eine MoDurch adiabatische Kompression ist es jedoch
y weak magnetic trap,
depth was calculated. The probe beam, which
tion in evaporation efficiency always occurs
möglich die Energieverteilung zu verbreitern um
high-+r trap increases
travels
along
the
double-MOT
axis
(Fig.
1),
is
near T/TF * 0.5, even when we varied N and
dann doch weiter zu kühlen. Wenn man dann eivaporation. The evap+
circularly
polarized
and
has
a
uniform
intenr. At the point where the evaporation effine Spinkomponente aus dem Gas entfernt, hat
man ein ultrakaltes spinpolarisiertes Fermi-Gas.
ure of the
and schef evaporaping atoms
m F # 7/ 2
e F # 9/ 2
ave elastic
e indicated
!9/2 and
erated Zeedriven for
removing
n compohe fraction
2.2 Moleküle und Cooper-Paare
remain in
Abbildung 7: Schematische Versuchsdurchführung
us the apFig. 3. Evaporation trajectory. A plot T/TF verzum Nachweis
Durch eine optische Dipol-Falle kann man das
ency (arbisus N showsdes
theExperimentes
result of evaporation;
the inset von
Suprafluidität
zweikomponentige Gas noch weiter kühlen und
frequency
displays the entire trajectory, starting at
ation !evap
T/T F * 240 and N # 10 8 atoms, and the main
über die Feshbachresonanz die Fermionen zu Momentaufnahme
Macht man
ein Foto
figure
shows geschehen.
the low-temperature
region.
The mit
line (note
lekülen zusammenbinden. Somit erhält man auf der
bulk
of
the
evaporation
is
very
efficient,
as
seen
requencies
Blitzlicht
von
einem
Plattenspieler,
so
sieht
man
linken Seite der Resonanz ein molekulares Boseinnicht
the large
slopeerofsich
therotiert.
T/TF versus
toms). The
N curve.
ihm
an,
dass
Bei
Suprafluiden
Einstein-Kondensat (BEC) (vergleiche Abbildung
lassical gas
However,
the cooling
processaus,
becomes
bliden
sich allerdings
Vortices
die inlimited
der Mitte
(6)). Fährt
das Magnetfeld
überT (case
die Resofield removes all atoms
above aman
particular
energy. The high
1), low materiefrei
at T/T F *sind.
0.5, where
effects
of
FD
statistics
Das
kommt
daher,
dass
dieareWelnanz
die Bardeen-Cooper-Schrieffer
(BCS) Sei-%!
diate regimes (case
2) auf
are distinguished
by the spread of frequencies
observed in the momentum distribution of the
eines rotierenden Systems in eine radiate,with
so bleiben
die Fermionen
Es sind sog. lenfunktion
the trap compared
the Zeeman
shift &! atkorreliert.
the trap center.
gas.
le
und
eine
azimutale Komponente zerlegt werden
Cooper-Paare. Man hat beobachtete, dass der BECkann.
Damit
die azimutale Wellenfunktion eine geein fließender
trotz
10BCS-Crossover
SEPTEMBER 1999
VOL 285 Übergang
SCIENCE ist,
www.sciencemag.org
schlossene
Welle
bildet, können nur diskrete Energidessen, dass genau bei der Resonanz die Streulänge
en
angenommen
werden um die Randbedingungen
divergent ist und das Vorzeichen ändert.
zu erfüllen. Die de Broglie-Wellenlänge eines rotieletters to nature
renden Systems ist gegeben durch
λ=
h
.
mv
(6)
Somit ist die Randbedingung für eine geschlossene
Welle gegeben durch
nh
Abbildung 6: Dichteverteilung eines thermischen
2πr = nλ =
.
(links) und eines teilweise Bosemv
Figure 2 Molecular condensate fraction N /N versus the scaled temperature T/T . The
Einstein-kondensierten (rechts) Gases
temperature of the
molecules is varied
by changing
initial temperature
of the fermionic
Daraus
folgt
fürthedas
Geschwindigkeitsfeld
atoms before the formation of the molecules. All other parameters are similar to those
nach einer kurzen freien expansion
described in Fig. 1 legend. We observe the onset for Bose–EinsteinIcondensation at a
nh
temperature of ,0.8T ; the dashed line marks zero condensate fraction.
v · 2πr = ~v · d~s =
.
m
Figure 1 Time-of-flight images of the molecular cloud, taken with a probe beam along the
0
c
c
axial direction after 20 ms of free expansion. Data are shown for temperatures above and
below the critical temperature for Bose–Einstein condensation. a, Surface plot of the
optical density for a molecule sample created by applying a magnetic-field sweep to an
atomic Fermi gas with an initial temperature of 0.19T F (0.06T F) for the left (right) image.
Here the radial trapping frequency of the optical trap was 350 Hz (260 Hz). When we start
with the lower initial temperature of the fermionic atoms (right) and ramp across the
Feshbach resonance from B ¼ 202.78 G to 201.54 G in 10 ms, the molecules form a
BEC. During expansion the interparticle interaction was reduced by rapidly moving the
magnetic field 4 G further away from the Feshbach resonance. The total molecule number
was 470,000 (200,000) for the left (right) picture. The surface plots are the averages of
(7)
control the interparticle interaction strength during expansion. We
can significantly reduce the interaction energy momentum kick by
rapidly changing the magnetic field before we switch off the optical
4
trap for expansion.
The field is lowered typically by 4 G in 10 ms. At
this magnetic field further away from the resonance, a is reduced to
,500a 0. We find that this magnetic-field jump results in a loss of
typically 50% of the molecules, which we attribute to the reduced
molecule lifetime away from the Feshbach resonance.
Below an initial temperature of 0.17TF, we observe the sudden
(8)
Das führt aber dazu, dass die Wellenlänge zum Rotationszentrum immer kürzer ist. Die Energie steigt
zur Mitte der Rotation überproportional stark an
und divergiert im Zentrum. Um das Problem zu
vermeiden, muss die radiale Wellenfunktion im Zentrum identisch null sein. Deshalb muss das Zentrum der Drehung Materiefrei sein. Es entstehen
somit Löcher, die man beobachten kann. Statt einem Vortex mit dem Gesamtdrehimpuls bilden sich
viele kleine Vortices aus, die in der Summe den Gesamtdrehimpuls tragen. Das ist energetisch günstiger, da alle Vortices sich mit der minimalen Bahngeschwindigkeit drehen können, statt sprungweisen
Anstiegen bei einem einzigen Vortex. Bei makroskopischen Objekten nimmt die Bahngeschwindigkeit linear mit dem Radius zu. Das ist bei einem
Quantenmechanischen System nicht möglich. Auch
Abbildung 8: Absorptionsbilder auf der BEC-Seite,
direkt auf der Feshbach-Resonanz
und auf der BCS-Seite
hat man festgestellt, dass sich die Suprafluidität bei
ungleicher Anzahl an Spinzuständen ausbildet.
2.4 Quellen
• B. DeMarco und D. S. Jin - Science Vol 285
Onset of Fermi Degeneracy in a Trapped Ato”
mic Gas“
• M. Greiner, C.A. Regal und D.S. Jin - Nature Vol 426 Emergence of a Molecular Bose”
Einstein condensate from a Fermi gas“
• W. Ketterle, M. Zwierlein, C. Schunck und
A. Schirotzek - Vortices & Superfluidity in a
”
Strongly Interacting Fermi Gas.“
http://cua.mit.edu/ketterle group/experimen
tal setup/BEC I.htm
• W. Ketterle, M. Zwierlein, C. Schunck und A.
Schirotzek - Science Vol 311 Fermionic Super”
fluidity with Imbalanced Spin Populations“
5