Bergische Universität Wuppertal ¨Ubungen zur Vorlesung Elemente

Bergische Universität Wuppertal
WS 2014/15
Blatt 12
20.1.15
Übungen zur Vorlesung
Elemente der Komplexen Analysis
Apl. Prof. Dr. G. Herbort
Aufgabe 1. Sei λ : H + −→ C 00 holomorph und nicht konstant. Es gelte λ ◦ f = λ für alle
f ∈ G . Zeigen Sie, dass λ für kein x0 ∈ R in eine Kreisscheibe ∆(x0 , r) holomorph fortsetzbar
ist.
Lösung. (A) Sei x0 ∈ R \ Q und angenommen, es sei λ auf einer Kreisscheibe ∆(x0 , r)
holomorph. Sei weiter b0k := 4[4k x0 ] und d0k = 4k+1 x0 + 1, für genügend großes k. Dann kürzen
bk
, der ab genügend großem k in
wir durch den ggT von b0k und d0k und erhalten einen Bruch
dk
∆(x0 , r/2) liegt und bei dem bk durch 4 teilbar und dk ungerade ist. Da bk und dk teilerfremd
sind, gibt es ganze Zahlen ak , ck mit ak dk − bk ck = 1. Dabei
muss ak ungerade sein. Ist ck
ak b k
bk
ungerade, so schreiben wir bk ck = 2 (2ck ), so dass Ak =
. Wir erhalten dann mit
ck d k
bk ϕk = fAk , dass ϕk (it) − −→ 0 mit k → ∞, also x0 = lim ϕk (it). Dann hätten wir aber
k→∞
dk
wegen λ(ϕk (it)) = λ(it), dass λ konstant sein müsste.
(B) Ist x0 ∈ Q und λ auf einer Kreisscheibe ∆(x0 , r) holomorph, so wählen wir immerhalb
∆(x0 , r/2) eine irrationale reelle Zahl x1 . Dann wäre λ auf ∆(x0 , r/2) holomorph, was nach (A)
nicht geht.
Aufgabe 2. a) Zeigen Sie, dass jede ganze nichtkonstante Funktion f , die kein Polynom ist,
bis auf höchstens eine Ausnahme jeden Wert w ∈ C in unendlich vielen Punkten annimmt.
b) Sei f ∈ O(C) und g = 1 + ef . Zeigen Sie, dass g nullstellenfrei ist oder unendlich viele
Nullstellen hat.
c) Angenommen, das Polynom p sei nicht das Nullpolynom. Zeigen Sie, dass dann f (z) =
p(z) − ez unendlich viele Nullstellen haben muss.
1
Lösung. a) Ist f kein Polynom, so hat f ( ) in 0 eine wesentliche Singularität. Nun folgt die
z
Behauptung aus dem großen Picardschen Satz, den es gibt nun (bis auf höchstens eine Ausnahme)
zu jedem Wert w in ∆(0, 2−n ) \ {0} ein Urbild zn für w unter f . Dann ist aber f (ζn ) = w längs
der unbeschränkten Folge der Punkte ζn := z1n , wenn n → ∞.
b) Angenommen, g habe eine Nullstelle, ohne die Nullfunktion zu sein. Dann nimmt ef den
Wert −1 an und ist kein Polynom (da es keine Nullstelle hat). Nach a) nimmt ef dann unendlich
viele Mal den Wert -1 an, also hat g unendlich viele Nullstellen.
c) Hätte f keine Nullstelle, gäbe es eine ganze Funktion g mit f = eg , also p(z) = ez +eg(z) und
damit p(z)e−z = 1 + eh(z) , mit h(z) = g(z) − z. Nun ist eh kein Polynom, sonst wäre auch ez ein
Polynom. Da p nicht-konstant ist, hat es eine Nullstelle, also nimmt eh den Wert -1 an, nach a)
geschieht dies in unendlich vielen Punkten, also hätte p unendlich viele Nullen, ein Widerspruch
zu p 6= 0.
Aufgabe 3. a) Angenommen, f, g ∈ O(C). Zeigen Sie: Wenn ef + eg = 1, so sind f und g
konstant.
c) Zeigen Sie: Ist die ganze Funktion f periodisch, so gibt es ein z0 mit f (z0 ) = z0 .
Lösung. a) ef und eg lassen die Werte 0 und 1 aus, müssen also konstant sein.
b) Sei ω 6= 0 eine Periode von f und g(z) = f (z) − z. Dann gilt g(z + ω) = f (z) − z − ω =
g(z) − ω. Hat g eine Nullstelle z0 , so ist diese ein Fixpunkt für f . Hätte die Funktion g keine
Nullstelle, müsste sie jeden anderen Wert, also auch ω, annehmen, etwa an einer Stelle z1 . Dann
wird aber g(z1 + ω) = g(z1 ) − ω = 0, also ist z0 = z1 + ω Fixpunkt zu f .
Aufgabe 4. Sei ℘ die Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter Γ = ZZ⊕ZZe2πi/3 . Dann benutzen
Sie, dass g2 = 0 (wobei g2 , g3 wie in der Differenzialgleichung der ℘-Funktion definiert sind), um
zu zeigen, dass es meromorphe Funktionen f, g ∈ M (C) mit f 3 + g 3 = 1 gibt. (Man probiere
a + b℘0
a − b℘0
f=
,g=
).
℘
℘
Lösung. Wir errechnen
f (z)3 + g(z)3 =
a3 + 3a2 b℘0 (z) + 3ab2 ℘0 (z)2 + b3 ℘(z)3 + a3 − 3a2 b℘0 (z) + 3ab2 ℘0 (z)2 − b3 ℘(z)3
℘(z)3
2a3 + 6ab2 ℘0 (z)2
2a3 + 6ab2 (4℘(z)3 − g2 ℘(z) − g3 )
=
=
℘(z)3
℘(z)3
2a3 − 4g3
= 24ab −
℘(z)3
2
Nun haben wir aber noch Freiheiten bei der Wahl von a und b. Sei also a so, dass a3 = 2g3 und
dann b so, dass 24ab2 = 1.