Spatial Games - Vortrag im Rahmen der Vorlesung Spieltheorie von

Spatial Games
Vortrag im Rahmen der Vorlesung Spieltheorie von M.Schottenloher
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
23. März 2009
Spatial Games
23. März 2009
1 / 33
Gliederung
1
2
Betrachtung von evolutorischen Spielen im Raum
Spatial Games
Allgemeine Definition der räumlichen evolutorischen Spiele
Betrachtung des räumlichen Gefangenendilemmas
Untersuchung des Basisspiels
Ausweitung des Basisspiels auf den Raum
Grundlegende Szenarien
3
Das Falke-Taube-Spiel als Spatial game
Betrachtung des räumlichen Falke-Taube-Spiels
Graphische Analyse des Falke-Taube Spiels
4
Variationen
5
Zusammenfassung
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
2 / 33
Spatial Games
Bei den Spatial Games treffen zwei Theorien erstmals aufeinander:
(evolutorische) Spieltheorie
zelluläre Automaten
John von Neumann war maßgeblich an der Entwicklung beider Theorien
beteiligt. Spatial Games bestechen durch ihre mathematischen
Eigenschaften und die ihre Dynamik in der Simulation
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
4 / 33
Spatial Games
Allgemeine Definition
Strategiemenge
P
Auszahlungsmatrix E = (E [i , j])i ,j
Zelle I im Gitter Λ
N(I) die Menge aller zu I benachbarten Zellen
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
N ∗ (I ) = N(I ) ∪ I .
Spatial Games
23. März 2009
5 / 33
Spatial Games
Allgemeine Definition
Dynamischer Prozess
Zelle I in Generation t erhält
st (I ) =
X
(E [ςt (I ), ςt (J)])
J∈N(I )
ĵ = max J∈N ∗ (I ) {st (J)}
Dann setzt man st+1 (I ) = ĵ.
Jede Zelle I, die in Generation t die Strategie st (I ) verfolgt, übernimmt in
Generation t+1 die in t erfolgreichste Strategie st (J) ihrer Nachbarn.
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
6 / 33
Untersuchung des Basisspiels
2 Spieler M = {1, 2} (Individuen oder organisierte Gruppen)
S1 = S2 = {D, C} ist die Menge der reinen Strategien für beide
Spieler
Die Spieler entscheiden sich gleichzeitig für eine Strategie,
unabhängig voneinander
zugehörige, symmetrische Bimatrix:
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
C
D
C
(1, 1)
(b, 0)
D
(0, b)
(ε, ε)
Spatial Games
23. März 2009
8 / 33
Die Räumliche Erweiterung
Abbildung: Moore-, von-Neumann-Umgebung
Auszahlungen für Moore-Umgebung:
u(C ) = {0, 1, 2, .., 8}
u(D) = {0, b, 2b, .., 8b}
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
9 / 33
Simulation des räumlichen Gefangenendilemmas
Zeitliche Entwicklung für die Parameterwerte b = 1.1, 1.3, 1.5, 1.7
Abbildung: Es wird auf einer 100 × 100-Marix gespielt. Die Anfangskonfiguration
besteht aus einer zufälligen Anordnung mit 10%Defektoren und 90%
Kooperatoren.
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
10 / 33
Simulation des räumlichen Gefangenendilemmas
Zeitliche Entwicklung für die Parameterwerte b = 1.1, 1.3, 1.5, 1.7
Abbildung: Es wird auf einer 100 × 100-Marix gespielt. Die Anfangskonfiguration
besteht aus einer zufälligen Anordnung mit 10%Defektoren und 90%
Kooperatoren.
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
11 / 33
Simulation des räumlichen Gefangenendilemmas
Zeitliche Entwicklung für die Parameterwerte b = 1.1, 1.3, 1.5, 1.7
Abbildung: Es wird auf einer 100 × 100-Marix gespielt. Die Anfangskonfiguration
besteht aus einer zufälligen Anordnung mit 10%Defektoren und 90%
Kooperatoren.
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
12 / 33
Simulation des räumlichen Gefangenendilemmas
Zeitliche Entwicklung für die Parameterwerte b = 1.1, 1.3, 1.5, 1.7
Abbildung: Es wird auf einer 100 × 100-Marix gespielt. Die Anfangskonfiguration
besteht aus einer zufälligen Anordnung mit 10%Defektoren und 90%
Kooperatoren.
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
13 / 33
Grundlegende Szenarien
Defektor dringt bei Kooperatoren ein
Auszahlungsmatrix
8
8
7
C
D
8b
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
C
(1, 1)
(b, 0)
D
(0, b)
(ε, ε)
Wegen b > 1 übernehmen die Nachbarn die
Strategie
Spatial Games
23. März 2009
14 / 33
Grundlegende Szenarien
Defektor dringt bei Kooperatoren ein
8
7
6
5
1
5b < 6, das System geht in Zustand 1
zurück
2
6 < 5b < 7, das System geht in
Zustand 3, und anschließend in Zustand
1
3
7 < 5b < 8, das System verändert sich
nicht mehr weiter
4
8 < 5b, der Cluster breitet sich weiter
aus (Perserteppich)
5b 3b
0
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
15 / 33
Grundlegende Szenarien
Defektor dringt bei Kooperatoren ein
8
8 7
8b
1
5b < 6, das System geht in Zustand 1
zurück
2
6 < 5b < 7, das System geht in
Zustand 3, und anschliessend in
Zustand 1
3
7 < 5b < 8, das System verändert sich
nicht mehr weiter
4
8 < 5b, der Cluster breitet sich weiter
aus (Perserteppich)
8
7 6 5
5b 3b
0
8 8 7 7
5 5b
4b
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
16 / 33
Grundlegende Szenarien
Kooperator dringt bei Defektoren ein
Ein einzelner Kooperator würde sofort
verschwinden, deswegen wird ein
3 × 3-Cluster eingebracht
0
b
2b 3b
5
1
3
8
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
2
2b < 3, der Cluster expandiert
gleichmäßig als n × n Cluster
< b < 53 , der Cluster expandiert
ungleichmäßig
3
2
3
5 < 3b < 8, das System verändert sich
nicht mehr weiter
4
8 < 3b, der Cluster verschwindet
innerhalb von zwei Zügen
Spatial Games
23. März 2009
17 / 33
Grundlegende Szenarien
Vergleich der Invasionen
8
7 6 5
5b3b
0
Es lassen sich drei Klassifizierungen
bestimmen.
1
2
0
b 2b3b
5 3
8
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
3
b < 85 , nur Kooperatoren-Cluster
können wachsen
5
3
< b, nur Defektoren-Cluster können
wachsen
< b < 53 , Cluster beider Phänotypen
können wachsen
8
5
Spatial Games
23. März 2009
18 / 33
Grundlegende Szenarien
Walker und der Big Bang of Cooperation
Ein Walker
b
2b
3b
3b
2b
b
2b
3
5
5
3
2b
2b
3
5
6
4
3b
b
2b
3b
5b
3
3b
2b
1
2b
b
b
b
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
spezieller Cluster bestehend aus
10 Kooperatoren
fängt im Bereich
zu “laufen”
Spatial Games
3
2
<b<
23. März 2009
5
3
an
19 / 33
Grundlegende Szenarien
Walker und der Big Bang of Cooperation
1.62
3.24
4.86
4.86
3.24
1.62
3.24
3
5
5
3
3.24
3.24
3
5
6
4
4.86
1.62
3.24
4.86
8.1
3
4.86
3.24
1
3.24
1.62
1.62
1.62
spezieller Cluster bestehend aus
10 Kooperatoren
fängt im Bereich
zu “laufen”
3
2
<b<
5
3
an
Abbildung: Walker mit b=1.62
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
20 / 33
Grundlegende Szenarien
Walker und der Big Bang of Cooperation
1.62
3.24
4.86
4.86
3.24
1.62
3.24
3
5
5
3
3.24
4.86
4
6
5
3
3.24
4.86
3
8.1
4.86
3.24
1.62
3.24
1
3.24
1.62
1.62
1.62
spezieller Cluster bestehend aus
10 Kooperatoren
fängt im Bereich
zu “laufen”
3
2
<b<
5
3
an
Abbildung: Walker mit b=1.62
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
21 / 33
Grundlegende Szenarien
Walker und der Big Bang of Cooperation
1.62
3.24
4.86
4.86
3.24
1.62
3.24
3
5
5
3
3.24
3.24
3
5
6
4
4.86
1.62
3.24
4.86
8.1
3
4.86
3.24
1
3.24
1.62
1.62
1.62
spezieller Cluster bestehend aus
10 Kooperatoren
fängt im Bereich
zu “laufen”
3
2
<b<
5
3
an
Abbildung: Walker mit b=1.62
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
22 / 33
Das Falke-Taube-Spiel als Spatial game
Untersuchung des Basisspiels
Ein Individuum in diesem Spiel kennt 3 Verhaltensmuster:
Auftreten (display)
Eskalieren/Angreifen (escalate)
Rückzug (retreat)
H
D
H
(1-β)
0
D
2
1
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Maxime des Falkens (H): Kämpfen, bis er
selbst verletzt ist oder sich der Gegner
zurückzieht.
Maxime der Taube (D): Auftreten, sofort
Zurückziehen, wenn der Gegner zum Angriff
übergeht.
Spatial Games
23. März 2009
24 / 33
Ausweitung des Basisspiels auf den Raum
Räumlichen Ausweitung des Falke-Taube-Spiels
P
Strategiemenge
Λ quadratisches, ebenes n x n-Gitter
N(I) Moore-Nachbarschaft
h Anteil der Falken an der Gesamtpopulation
gemischte Strategien sind nicht zulässig
periodische Randbedingungen
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
25 / 33
Ausweitung des Basisspiels auf den Raum
Im Allgemeinen wird für β < 1 jede anfängliche Konfiguration von
Falken und Tauben nach einer endlichen Anzahl an Wiederholungen
ausschließlich aus Falken bestehen. In diesem Fall sind die Ergebnisse
des klassischen Spiels mit denen der räumlichen Version identisch.
Ist β sehr groß, ist der Schaden, den sich aufeinander treffende Falken
gegenseitig zufügen sehr groß. Somit wird jede anfängliche Menge an
Falken und Tauben nach einer endlichen Anzahl an Runden des
klassischen wie des räumlichen Spiels nur noch aus Tauben bestehen.
Jedoch gibt es β-Werte innerhalb dieser extremen Grenzen, für die
substanzielle Unterschiede zwischen dem klassischen Spiel und dessen
räumlicher Version auftreten.
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
26 / 33
Ausweitung des Basisspiels auf den Raum
Abbildung: Variation des Falken-Anteils h als Funktion von β.
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
27 / 33
Variationen
Nach der allgemeinen Definition der Spatial Games sind für eine konkrete
Fragestellung zu wählen
Das Basisspiel mit der zugehörigen, endlichen Menge an Strategien
P
und der Auszahlungsmatrix E
Das Gitter Λ
Die Nachbarschaft N*(I) bzw. N(I) jeder Zelle I aus Λ
Die Randbedingungen für das Gitter Λ
Die Updating-Regeln
Die Startkonfiguration
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
29 / 33
Spatial Games - Zusammenfassung
Die räumliche Verallgemeinerung der evolutorischen Spiele ist ein
endlicher zellulärer Automat
Die räumliche Struktur kann es einer Strategie ermöglichen, zu
wachsen, auch wenn dies aus Sicht der klassischen evolutionären
Spieltheorie nicht zu erwarten wäre
Über einen weiten Bereich der relevanten Parameter können
Strategien unendlich lang nebeneinander existieren
Für den Vergleich mit der klassischen Spieltheorie ist die Betrachtung
von größeren Systemen und deren statistische Auswertung von
Bedeutung.
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
31 / 33
Anmerkungen zur Simulation
http://lorax.fas.harvard.edu/virtuallabs/
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
32 / 33
Bibliographie
Nowak, M.A , May, R.M. 1992 Evolutionary Games and spatial Chaos.
Nature, Lond. 379, 826-829
Nowak, M.A, Bonhoeffer, S, May, R.M. 1994 Spatial Games and the
maintenance of cooperation. Proc. natn. Acad. Sci. 91, 4877-4881.
Nowak, M.A. 2006 Evolutionary Dynamics: exploring the equations of
life. Harvard University Press
Killingback, T. Doebli, M. 1996 Spatial evolutionary Game Theory:
Hawks and Doves Revisited. Proceeding: Biological Sciences 263,
1135-1144
Anne-Marie Rambichler, Christoph Wichmann ()
Spatial Games
23. März 2009
33 / 33

Spatial Games - Vortrag im Rahmen der Vorlesung Spieltheorie von

Produkte

Unterstützung

Spatial Games - Vortrag im Rahmen der Vorlesung Spieltheorie von

Dieses Dokument Sammlung (en)

Dieses Dokument gespeichert

Schlagen Sie uns vor, wie wir StudyLib verbessern können