2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3P 2.6 3P 2.7 3P

Topologie: Übungsblatt 2
Dr. Hog-Angeloni/J. Hofmann
2.1
Die Metrik d auf Rn sei durch
d(x, y) := |x1 − y1 | + . . . + |xn − yn |
gegeben, beschreiben sie die -Bälle bezüglich dieser Metrik für n = 2. Vergleichen Sie die Standardtopologie auf Rn mit der von d induzierten Topologie.
2.2
Sei X = (−1, 1) × {0, 1}, wobei (−1, 1) mit der Standardtopologie und {0, 1} mit der diskreten Topologie versehen ist. Beweisen Sie:
1. Verklebt man X bezüglich der Relation (x, 0) ∼1 (x, 1) für alle x ≤ 0, so ist der entstehende
Quotientenraum X1 = X/ ∼1 separiert, aber nicht lokal euklidisch.
2. Verklebt man X bezüglich der Relation (x, 0) ∼2 (x, 1) für alle x < 0, so ist der entstehende
Quotientenraum X2 = X/ ∼2 lokal euklidisch, aber nicht separiert.
2.3
Geben Sie Triangulierungen der Sphäre S 2 und des Torus S 1 × S 1 an.
2.4
Sei X ein topologischer Raum und X/ ∼ ein Quotientenraum. Außerdem sei ein f : X → X/ ∼ die
Projektion auf den Quotientenraum. Dass eine Abbildung g : X/ ∼→ Z in einen topologischen Raum
Z genau dann stetig ist, wenn g ◦ f stetig ist, sollen Sie beweisen.
2.5
3P
Auf R wird durch x ∼ y :⇔ x − y ∈ Q eine Äquivalenzrelation definiert. Zeigen Sie, dass X := R/ ∼
unendlich viele Punkte hat und die Quotiententopologie die Klumpentopologie {∅, X} ist.
2.6
3P
Sei (Y, TY ) ein topologischer Raum und sei X ein Menge, sei außerdem f : X → Y ein Abbildung.
Zeigen Sie, dass
TX := f −1 (U )|U ∈ TY
eine Topologie auf X ist.
2.7
3P
Die konvexe Hülle einer Teilmenge M ⊂ Rn ist definiert als die kleinste konvexe abgeschlossene Menge
n
die M enthält. Zeigen Sie, dass die konvexe Hülle endlich vieler P
Punkte x1 , . . . , xm ⊂ Rn , wobei
Pm R mit
m
der euklidischen Topologie versehen ist, durch alle x der Form j=1 λj xj mit λi ≥ 0 und j=1 λj = 1
gegeben ist.
Abgabe: 03.05.2013