Naturwissenschaften II (B. Sc. Maschinenbau) - IAP TU

Übungen zur Vorlesung
Naturwissenschaften II
(B. Sc. Maschinenbau)
Sommersemester 2008
Musterlösung 2
Professor Dr. G. Birkl, Dr. N. Herschbach
Besprechung in der Woche
vom 28.04 - 05.05.08
www.physik.tu-darmstadt/apq/naturwissenschaften
1. Differentialgleichung
Lösen Sie die folgende homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit der Anfangsbedingung y(0) = π:
dy(x)
dx
+ (1 − cos(x)) · y(x) = 0.
J̀
Umformen der DGL ergibt
dy(x)
/y(x)
dx
^
J́
= −(1 − cos(x))
und daraus erhalten wir
dy(x)
y(x)
= (cos(x) − 1)dx.
Integration liefert
R dy(x) y(x)
R
= (cos(x) − 1)dx
ln(y(x)) = sin(x) − x + k,
woraus
y(x) = exp(k) exp(sin(x) − x)
folgt. Mit y(0) = exp(k) = π erhalten wir
y(x) = π exp(sin(x) − x).
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1
2. Elektrostatischer Kopierer
Ein elektrostatischer Kopierer erzeugt Kopien, indem zunächst selektiv positive Ladungen auf der Oberfläche einer nichtleitenden Trommel in dem zu kopierenden Muster
angeordnet werden. Danach wird diese Oberfläche mit negativ geladenen Toner-Partikel
bestreut, die dann an dem Muster auf der Trommel haften bleiben und anschließend
auf das zu bedruckende Papier übertragen werden. Durch Erhitzen wird ihre Position
auf dem Papier fixiert.
a) Nehmen Sie an, dass jedes Toner-Teilchen eine Masse von m = 0.7·10−12 g hat und
im Mittel eine Ladung von q = −17 e mit e = 1.6 · 10−19 C trägt. Berechnen Sie
die Feldstärke in der Nähe der Trommeloberfläche die erforderlich ist, damit die
elektrische Kraft, die auf ein Toner-Partikel wirkt, mindestens doppelt so groß ist
wie seine Gewichtskraft, sodass eine ausreichende Anziehung sichergestellt wird.
b) Wie unsicher ist die erforderliche Feldstärke, wenn die mittlere Ladung um ∆q =
1.5 e schwankt, und die Masse der Toner-Teilchen um ∆m = 0.14 · 10−13 g streut?
Benutzen Sie hierzu die Gauss’sche Fehlerfortpflanzung.
Hinweis: Gewichtskraft: Fg = mg mit g = 9.81 m/s2
J̀
^
J́
a) Die elektrostatische Kraft die auf die Ladung q im Elektrischen Feld der Stärke
E wirkt ist: Fel = qE. Wir gehen davon aus, dass sie wie die Schwerkraft vertikal
ausgerichtet ist aber dieser entgegen wirkt. Die Bedingung für die erforderliche
Kraft wird:
−Fel = −(−17eE) ≥ 2Fg = 2mg,
woraus folgt E ≥
2mg
17e
= 5.05 kV/m.
b) Mit Gauss’scher Fehlerfortpflanzung erhalten wir
s
2 2
∂E
∂E
∆E = · ∆q + · ∆m
∂q
∂m
s
2mg∆q 2 2g∆m 2
+
= q q2 s
2mg · 1.5 2 2g∆m 2
+
= 17e 172 e = 0.46 kV/m.
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2
3. Kräfte auf Ladungen
Gegeben sei die abgebildete Anordnung von elektrischen Ladungen mit e = 1.6·10−19 C
und es sei a = 3 mm. Die Ladungen an den Eckpunkten des Dreiecks dieser Anordnung
sind in der Abbildung in Einheiten von q = 5 pC angeben. Diese sind nur auf ∆q/q =
0.02 genau bekannt. Ebenso kann a nur auf ∆a = 2 µm genau gemessen werden.
y
+2q
a/2
+e
x
a/2
+3q
-1q
a/2
a/2
a) Welche elektrische Feldstärke wird am Ort der Ladung +e durch die Ladungen
an den Eckpunkten des Dreiecks erzeugt?
b) Geben Sie die Kraft auf die Ladung +e an.
c) In welche Richtung zeigen Kraft und elektrisches Feld?
d) Geben Sie die Unsicherheit in der elektrischen Feldstärke durch die drei Eckpunktladungen am Ort der Ladung +e mit Hilfe der Größtfehlerabschätzung an.
e) Welche Beschleunigung erfährt die Ladung +e, wenn sie sich auf einem punktförmigen Teilchen der Masse mp = 1.67 · 10−27 kg befindet?
J̀
^
J́
a) Allgemein ergibt sich das elektrische Feld einer Ladungsanordnung als Summe
der Felder der Einzelladungen:
~ ges (~r) =
E
P
Qi ~r−~
ri
.
i 4π0 |~r−~
r i |3
Legen wir den Ursprung des Koordinatensystems (x, y) an den Ort der Ladung
+e, erhalten wir:
~ ges (~0) =
E
3
P
Qi −~
ri
.
i 4π0 |~
r i |3
Einsetzen von Ladungen und Koordinaten ergibt:
1
2q
a
a
a
3q
−q
~ ges (~0) =
√
√
√
E
· (1, −1) +
· (1, 1) +
· (−1, 1)
4π0 (a/ 2)3 2
(a/ 2)3 2
(a/ 2)3 2
qa
1
√
=
· (2 + 3 + 1, −2 + 3 − 1)
4π0 2(a/ 2)3
√
2q
1
· (6, 0)
=
4π0 a2
√
3 2q
=
· (1, 0)
2π0 a2
~
= |E(0)|
· (1, 0),
~
und |E(0)|
= 42.4 kV/m.
~ ges (~0) =
b) Die Kraft auf Ladung +e: F~ = +e · E
√
3 2eq
2π0 a2
· (1, 0) und |F~ | = 6.8 · 10−15 N.
c) Die Kraft und das elektrische Feld zeigen in Richtung der positiven x Achse.
d)
√ −2∆a ∆q
∆a
3 2 ∆q ~
~
+ q 3 = |E(0)|
+2
∆|E(0)| =
2π0 a2 a
q
a
−6
4 · 10
= 42.4 · 103 · 0.02 +
V/m = 0.9 kV/m.
3 · 10−3
e) Die Beschleunigung v̇ ergibt sich aus F = mp v̇:
v̇ = F/mp = 4.1 · 1012 m/s2 .
≺./ •∞• ./
4