Mathematik für Ingenieure I, WS 2008/2009 Freitag 23.1 $Id: folgen.tex,v 1.5 2009/01/26 11:02:37 hk Exp $ III. Analysis §11 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 11.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen Die vorigen beiden Beispiele divergenter Folgen, also an = (−1)n und an = sin(n) sind dabei beschränkte Folgen. Unbeschränkte Folge, wie zum Beispiel an = n sind sowieso immer divergent. Tatsächlich ist jede konvergente Folge auch beschränkt, es liegen ja fast alle ihre Glieder nahe beim Grenzwert. Für Situation wie im Beispiel an = n, ist es nützlich eine etwas verallgemeinerte Notation einzuführen. Diese Folge ist zwar divergent, aber auf eine ganz andere Art als das Beispiel an = (−1)n . Wir führen hierzu die Symbole −∞ und ∞ ein, und bilden die erweiterte Zahlengerade R := R ∪ {−∞, ∞}. Wir sagen, dass eine reelle Folge (an )n∈N gegen ∞ konvergiert, wenn es für jedes a ∈ R ein n0 ∈ N mit an > a für alle n ≥ n0 gibt. Analog konvergiert (an )n∈N gegen −∞, wenn es für jedes a ∈ R ein n0 ∈ N mit an < a für alle n ≥ n0 gibt. Trotzdem nennt man die Folge weiterhin divergent, manchmal spricht man von einer bestimmt divergenten Folge. Konvergiert die reelle Folge (an )n→∞ gegen ∞ oder −∞ und ist an 6= 0 für alle n ∈ N, so ist (1/an )n∈N eine Nullfolge. Die Umkehrung gilt nicht, wie etwa die Folge an = (−1)n n zeigt. Oft schreiben wir auch an → a anstelle von (an )n∈N konvergiert ” gegen a“. Wenn wir wollen, können wir die Konvergenz komplexer Zahlenfolgen auf diejenige reeller Zahlenfolgen zurückführen, für eine komplexe Zahlenfolge (an )n∈N gilt nämlich: h i lim = an ⇐⇒ lim Re(an ) = Re(a) ∧ lim Im(an ) = Im(a) . n→∞ n→∞ n→∞ Für das Rechnen mit Grenzwerten sind die folgenden Rechenregeln nützlich: Satz 11.2 (Rechenregeln für Grenzwerte) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen. (a) Die Folge (an + bn )n∈N ist konvergent mit lim (an + bn ) = lim an + lim bn . n→∞ n→∞ n→∞ (b) Für jedes c ∈ C ist die Folge (can )n∈N konvergent mit lim (can ) = c · lim an . n→∞ n→∞ 22-1 Mathematik für Ingenieure I, WS 2008/2009 Freitag 23.1 (c) Die Folge (an bn )n∈N ist konvergent mit lim (an bn ) = lim an · lim bn . n→∞ n→∞ n→∞ (d) Gelten limn→∞ bn 6= 0 und bn 6= 0 für alle n ∈ N, so ist auch die Folge (an /bn )n∈N konvergent mit lim an an lim = n→∞ . n→∞ bn lim bn n→∞ (e) Jede Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N ist konvergent mit lim ank = lim an . n→∞ k→∞ (f ) Sind (an )n∈N , (bn )n∈N reelle Folgen und gibt es ein n0 ∈ N mit mit an ≤ bn für alle n ≥ n0 , so ist auch lim an ≤ lim bn . n→∞ n→∞ Diesen Satz wollen wir hier nicht beweisen, sondern einige seiner Anwendungen diskutieren. Es wird sich herausstellen, dass wir für sehr viele konkrete Berechnungen von Grenzwerten mit diesen Rechenregeln auskommen werden, auf die Definition eines Grenzwerts werden wir uns, glücklicherweise, eher selten beziehen müssen. Betrachten wir einmal den Grenzwert 2n3 − 7n + 5 lim . n→∞ 3n3 + 6n2 − n + 9 Wir würden hier natürlich gerne die Rechenregel (d) verwenden, nur ist diese für diesen Grenzwert gar nicht zuständig, da weder im Zähler noch im Nenner konvergente Folgen stehen. Dieses Problem kann man aber leicht beheben, wir erweitern den Bruch mit 1/n3 und erhalten 2 − n72 + n53 2n3 − 7n + 5 = lim . n→∞ 3n3 + 6n2 − n + 9 n→∞ 3 + 6 − 12 + 93 n n n lim Jetzt wissen wir bereits, dass die Folge 1/n, und auch die Potenzen 1/n2 , 1/n3 gegen Null konvergieren. Damit sagt Rechenregel (b), dass auch die Folge 7/n2 gegen 7 · 0 = 0 konvergiert, und ebenso sind alle die anderen Bruchterme in Zähler und Nenner Nullfolgen. Die konstanten Folgen konvergieren schließlich trivialerweise gegen selbige Konstante, und damit haben wir 7 5 7 5 lim 2 − + 3 2 3 n n 2 − n2 + n3 2n − 7n + 5 2 = . lim = lim = n→∞ 6 1 9 6 1 9 3 2 n→∞ 3n + 6n − n + 9 n→∞ 3 + 3 − n2 + n3 lim 3 + n − n2 + n3 n n→∞ 22-2 Mathematik für Ingenieure I, WS 2008/2009 Freitag 23.1 Ein ähnliches Beispiel ist der Grenzwert 2n2 + 7n − 1 lim n→∞ n3 − 5 nur das diesmal der Grad im Nenner größer als der im Zähler ist. Trotzdem führt hier derselbe Rechengang zum Erfolg 7 2 1 + lim 2 2 − n3 n n 2n + 7n − 1 0 = = 0. = n→∞ lim 5 3 n −5 1 lim 1 − n3 n→∞ Betrachten wir noch ein weiteres, diesmal etwas komplizierter wirkendes Beispiel 2n2 + sin(2n + 1) . n→∞ 3n3 − 6 cos(n2 ) lim Da sich die Terme sin(2n + 1) und cos(n2 ) in einer schwer zu überschauenden Weise verhaltem, erwartet man zunächst Probleme bei der Berechnung dieses Grenzwerts. Trotzdem wird erneut der obige Rechenweg zum Erfolg führen, denn so kompliziert die Sinus- und Cosinuswerte auch sind, sie bewegen sich doch alle nur zwischen −1 und 1. Insbesondere ist | sin(2n + 1)/n2 | ≤ 1/n2 und somit ist sin(2n + 1)/n2 , und ebenso auch cos(n2 )/n2 , ein Nullfolge. Also haben wir diesmal sin(2n+1) sin(2n+1) lim 2 + n2 2 + n2 2 2n2 + sin(2n + 1) n→∞ = . = lim lim = 2) 2 3 2 cos(n n→∞ 3 − 6 n→∞ 3n − 6 cos(n ) 3 2 lim 2 − 6 cos(n ) n n2 n→∞ Behandeln wir schließlich einen Fall in dem der Grad des Zählers größer als derjenige des Nenners ist n + n13 n4 + 1 lim = lim . n→∞ 19n3 + 23n + 9 n→∞ 19 + 232 + 93 n n Um hier weiterzukommen müssen wir ausnutzen, dass die Rechenregeln für Grenzwerte auch für Konvergenz gegen ±∞ gelten, solange nur Terme der Form Reelle Zahl ± ∞, (Reelle Zahl 6= 0) · (±∞), Reelle Zahl 6= 0 ±∞ oder (±∞) · (±∞) und Ähnliches auftauchen, also Ausdrücke deren Bedeutung unmißverständlich klar ist, aber keine Terme wie 0/0 oder ∞ − ∞. Da im Beispiel der Zähler gegen ∞ und der Nenner gegen 19 konvergieren haben wir n + n13 n4 + 1 = lim n→∞ 19n3 + 23n + 9 n→∞ 19 + 232 + n lim 9 n3 = ∞ = ∞. 19 Allgemein führt das in den obigen Rechnungen verwendete Argument zu folgenden Satz: 22-3 Mathematik für Ingenieure I, WS 2008/2009 Freitag 23.1 Satz 11.3: Seien r, s ∈ N0 und a0 , . . . , ar , b0 , . . . , bs ∈ C mit ar 6= 0 und bs 6= 0. Für den Fall s ≥ r gilt dann ( ar , r = s, ar nr + ar−1 nr−1 + · · · + a0 br lim = s s−1 n→∞ bs n + bs−1 n + · · · + b0 0, s > r. Sind dagegen a0 , . . . , ar , b0 , . . . , bs alle reell und haben wir s < r, so ist ( ∞, ar bs > 0, ar nr + ar−1 nr−1 + · · · + a0 = lim n→∞ bs ns + bs−1 ns−1 + · · · + b0 −∞, ar bs < 0. Mit den genannten Rechenregeln kann man zwar bereits einen Gutteil der üblicherweise, zumindest in Übungsaufgaben, vorkommenden Grenzwerte berechnen, aber nicht alle. Ein komplizierteres Beispiel ist der Grenzwert √ lim n n, n→∞ der sich als 1 herausstellen wird. Um dies einzusehen beginnen wir mit der folgenden Rechnung, die wieder auf der binomischen Formel des §3 beruht n X √ n √ n n ( n n − 1)k . n = (1 + ( n − 1)) = k k=0 √ Beachte das zumindest n n ≥ 1 ist, und damit sind alle Terme in der Summe auf der rechten Seite nichtnegativ. Der Ausdruck verkleinert sich also wenn wir einige dieser Terme fortlassen, und wir lassen hier alle, bis auf den quadratischen Term, weg. Dies führt zu n X n √ n √ n(n − 1) √ k n ( n n − 1)2 , n= ( n − 1) . ≥ ( n n − 1)2 = k 2 2 k=0 und dies können wir noch zu 0≤ √ n r n−1< √ 2 2 =√ n−1 n−1 √ √ √ umformen. Die Folge n n − 1 ist also stets zwischen 0 und der Nullfolge 2/ n − 1. √ n Der folgende Satz zeigt uns dann, daß damit auch n − 1 eine Nullfolge ist. Satz 11.4 (Einschnürungssatz) Seien (an )n∈N , (bn )n∈N und (cn )n∈N drei reelle Zahlenfolgen mit an ≤ bn ≤ cn für alle n ∈ N, oder auch alle n ≥ n0 für eine natürliche Zahl n0 ∈ N. Die Folgen (an )n∈N und (cn )n∈N seien konvergent mit demselben Grenzwert a := lim an = lim cn . n→∞ 22-4 n→∞ Mathematik für Ingenieure I, WS 2008/2009 Freitag 23.1 Dann gilt auch lim bn = a. n→∞ √ n n − 1 an. Diese wird von rechts durch die Wir wenden√diesen Satz auf die Folge b = n √ Folge cn = 2/ n − 1 begrenzt. Aber wir haben auch eine sehr einfache Folge auf der linken Seite, √ nämlich die konstante Folge an = 0. Der Einschnürungssatz liefert folglich limn→∞ ( n n − 1) = 0, und eine weitere Anwendung der Rechenregeln für Grenzwerte ergibt dann √ lim n n = 1. n→∞ Weiter können wir nun auch limn→∞ c ≥ 1 haben wir nämlich 1≤ √ n c≤ √ n √ n c = 1 für jede reelle Zahl c > 0 zeigen. Für n für alle n ∈ N mit n ≥ c, √ und der Einschnürungssatz liefert sofort limn→∞ n c√= 1. Den anderen Fall, also 0 < c < 1 kann so leider nicht behandelt werden, da n c dann für jedes n ∈ N kleiner als 1 ist. Wir können aber c = 1/(1/c) schreiben, und wegen 1/c > 1 ergeben die die Rechenregeln für Grenzwerte dann erneut lim n→∞ √ n 1 c = lim q = n→∞ n 1 c 1 lim n→∞ q = 1. n 1 c Als ein letztes Beispiel in diesem Abschnitt wollen wir noch die Folge an = 1 1+ n n behandeln. Wir haben bereits eingesehen, dass diese Folge streng monoton steigend und nach oben beschränkt ist. Nun ist es eine Eigenschaft der reellen Zahlen, dass jede solche Folge konvergiert, dies ist die sogenannte Vollständigkeit der reellen Zahlen. Bei unserer Besprechung reeller Zahlen in §4 hatten wir die Axiome eines angeordneten Körpers aufgelistet, und vermerkt das die reellen Zahlen all diese Axiome erfüllen, die Axiome umgekehrt aber nicht ausreichen die reellen Zahlen zu beschreiben. Das noch fehlende Axiom, durch das die reellen Zahlen dann festgelegt sind, ist das sogenannte Vollständigkeitsaxiom: Vollständigkeitsaxiom: Jede monoton steigende, nach oben beschränkte Folge reeller Zahlen ist konvergent. Dass dies eine Eigenschaft der reellen Zahlen ist, ist anschaulich klar 22-5 Mathematik für Ingenieure I, WS 2008/2009 an Freitag 23.1 M sup a n n Dass die Folge nach oben beschränkt ist, bedeutet das sie stets unterhalb einer gewissen Schranke M verläuft. Zugleich soll die Folge monoton steigend sein, wird also ständig größer. Da sie nicht über die Zahl M hinauslaufen kann, muss sie sich letztlich einem größtmöglichen annähern. Der Grenzwert der Folge stellt sich dann als die bestmögliche obere Schranke der Folge heraus, das sogenannte Supremum der Folge. Die hier gegebene Form des Vollständigkeitsaxioms ist nicht die üblicherweise verwendete Formulierung, aber zu dieser äquivalent. Normalerweise formuliert man das Vollständigkeitsaxiom in Termen oberer und unterer Schranken von Mengen reeller Zahlen mit dem Begriff des Supremums, den wir in dieser Vorlesung an dieser Stelle noch nicht einführen wollen. Die Formulierung in Termen von monoton steigenden Folgen ist für uns an zunächst auch etwas bequemer als die übliche Formulierung. Durch Übergang zur Folge (−an )n∈N folgt aus dem Vollständigkeitsaxiom auch, dass jede nach unten beschränkte, monoton fallende reelle Folge konvergent ist. Insbesondere ist jede monotone und beschränkte reelle Zahlenfolge konvergent. Folglich existiert auch der Grenzwert n 1 e = lim 1 + , n→∞ n und es stellt sich heraus, dass dieser mit der eulerschen Zahl e = 2, 71828... identisch ist. 11.3 Häufungspunkte und Cauchyfolgen Wir hatten bereits eingangs bemerkt, dass Folgen weniger für rechnerische Anwendungen, sondern mehr als Hilfsmitteln in Beweisen, und für Überlegungen innerhalb der Mathematik verwendet werden. Auf die beiden in diesem Abschnitt behandelten Begriffe, Häufungspunkte und Cauchyfolgen, trifft dies in nochmals verstärkter Form zu. Daher wollen wir diese Begriffe auch nur kurz und nicht sehr ausführlich behandeln. 22-6 Mathematik für Ingenieure I, WS 2008/2009 Freitag 23.1 Wir kommen noch einmal zum Beispiel der Folge an = (−1)n zurück. Diese wechselt ständig zwischen −1 und 1 hin und her, konvergiert aber gegen keine dieser beiden Zahlen. Trotzdem würde man natürlich am liebsten sagen, dass sie gegen beiden Zahlen zugleich konvergiert. Einen derartigen Begriff gibt es tatsächlich man spricht nur nicht mehr von Grenzwerten, sondern von sogenannten Häufungspunkten. Definition 11.6: Sei (an )n∈N eine Folge. Ein Häufungspunkt von (an )n∈N ist eine Zahl a ∈ C für die eine gegen a konvergente Teilfolge (ank )k∈N existiert. Im Fall einer reellen Folge lassen wir auch −∞ und ∞ als Häufungspunkte zu. Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert. Dies trifft auch auf reelle Folgen, die gegen ±∞ konvergieren zu. Andere Folgen können mehrere Häufungspunkte haben. Beispielsweise hat die Folge an = (−1)n genau zwei Häufungspunkte nämlich −1 und 1, die Häufungspunkte sind hier also wirklich die beiden Grenzwerte“ der Folge. Ebenso hat die Folge an = (−1)n n genau die beiden ” Häufungspunkte −∞ und ∞. Eine Folge kann durchaus auch unendlich viele Häufungspunkte haben. Es stellt sich beispielsweise heraus, daß jede reelle Zahl zwischen −1 und 1 ein Häufungspunkt der Folge (sin(n))n∈N ist. Es stellt sich heraus, daß eine reelle Zahlenfolge immer Häufungspunkte hat (hierfür brauchen wir das −∞ und ∞ als Häufungspunkte zugelassen sind), dies ist der sogenannte Satz von Heine-Borel. Wir können damit für jede reelle Zahlenfolge die folgenden beiden Zahlen definieren: Definition 11.7: Sei (an )n∈N eine reelle Zahlfolge. Dann heißt der kleinste Häufungspunkt von (an )n∈N der Limes Inferior der Folge, und der größte Häufungspunkt heißt der Limes Superior, geschrieben als lim inf an n→∞ und lim sup an . n→∞ Beispielsweise sind lim inf (−1)n = −1, lim sup(−1)n = 1, n→∞ n→∞ lim inf (−1)n n = −∞, lim sup(−1)n n = ∞, n→∞ n→∞ lim inf sin(n) = −1, n→∞ lim sup sup(n) = 1. n→∞ Für viele theoretische Überlegungen zu Folgengrenzwerten ist der Begriff der Cauchyfolge entscheidend. Vom rein rechnerischen Standpunkt aus gesehen, ist dieser Begriff nicht besonders bedeutsam, daher werden wir ihn hier nur sehr kurz besprechen. Definition 11.8: Eine Folge (an )n∈N heißt eine Cauchyfolge, wenn es für jedes > 0 einen Index n0 ∈ N mit |an − am | < für alle n, m ∈ N mit n, m ≥ n0 gibt. Es stellt sich dann heraus, daß Cauchyfolgen überhaupt dasselbe wie konvergente Folgen sind: 22-7 Mathematik für Ingenieure I, WS 2008/2009 Freitag 23.1 Satz 11.5 (Vollständigkeit der reellen und komplexen Zahlen) Eine Zahlenfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Der Vorteil von Cauchyfolgen ist, dass man die Bedingung an eine Cauchyfolge nachprüfen kann, selbst wenn der Grenzwert der Folge nicht bekannt ist. Man kann dann also die Konvergenz einer Folge beweisen, selbst wenn man ihren Grenzwert nicht kennt. Den Beweis des Satzes wollen wir hier nicht vorführen, sondern nur eine kurze Zusammenfassung der Argumentation angeben. Dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist, ist einfach. Liegen nämlich für große n alle Folgenglieder an nahe beim Grenzwert, so liegen sie auch nahe beieinander. Die eigentliche Arbeit liegt darin, zu zeigen das eine Cauchyfolge (an )n∈N einen Grenzwert hat. Zuerst überlegt man sich dazu das eine Cauchyfolge beschränkt sein muss. Dann kann man zeigen, dass eine beschränkte Folge immer einen von ∞ und −∞ verschiedenen Häufungspunkt hat. Damit gibt es einen Häufungspunkt a ∈ C der Folge, und es läßt sich zum Schluß einsehen, dass ein Häufungspunkt einer Cauchyfolge bereits ein Grenzwert sein muss. Da für uns Cauchyfolgen wie gesagt erstmal nicht besonders wichtig sind, wollen wir diesen Abschnitt nun mit einer kleinen Bemerkung zur Definition einer Cauchyfolge abschließen. Es reicht nicht aus, dass die Abstände direkt √ aufeinanderfolgender Folgenglieder klein werden. Betrachte etwa die Folge an = n. Diese ist nicht konvergent, also sicherlich keine Cauchyfolge. Für jedes n ∈ N haben wir andererseits √ √ √ √ √ √ 1 ( n + 1 + n) · ( n + 1 − n) √ =√ n+1− n= √ √ , n+1+ n n+1+ n und somit ist √ √ lim ( n + 1 − n) = 0. n→∞ 22-8