Klausur zur Vorlesung

Dr. Werge, S. Hintze
14.02.2017
Klausur zur Vorlesung
„Grundwissen Schulmathematik“
WS 2016/2017
Ersttermin
Allgemeine Hinweise
• Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer.
• Nutzen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt.
• Weder elektronische Rechenmaschinen noch Aufzeichungen sind zugelassen.
• Für die Bearbeitung der Aufgaben haben Sie ingesamt 90 Minuten Zeit.
• Die Lösungswege sind in fachlich korrekter Form zu dokumentieren und zu begründen.
Name, Vorname:
Matrikelnummer:
Unterschrift:
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
Gesamt
Punkte
Note:
VIEL ERFOLG !
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Aufgabe 1 - Rechnen in verschiedenen Stellenwertsystemen
Lösen Sie die folgenden Teilaufgaben a) bis c) schriftlich, ohne in das Dezimalsystem umzurechnen.
a) (43115)6 − (25342)6
(2)
b) (321)4 · (23)4
(3)
c) Ermitteln Sie den Rest, den die Zahl (242103)5 bei der Division durch (41)5 lässt.
(3)
d) Kurt hat im Stellenwertsystem zur Basis b folgende Rechnung korrekt ausgeführt:
(13)b · (11)b = (203)b
Bestimmen Sie alle b ∈ N, für die diese Rechnung gilt.
(2)
erreichbare Punktanzahl: 10
Aufgabe 2 - Beweis durch vollständige Induktion
Zeigen Sie mit Hilfe eines Beweises durch vollständige Induktion, dass der Term
17n + 7(2n−1)
für alle n ∈ N ein Vielfaches von 8 liefert.
erreichbare Punktanzahl: 10
Aufgabe 3 - lineare Kongruenzen
In der Methodisch Geordneten Aufgabensammlung aus dem Jahre 1880 befindet sich folgende Aufgabe:
Die Zahl 600 ist so in zwei Teile zu zerlegen, dass der erste durch 22 und der zweite
durch 17 teilbar ist.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus eine Darstellung des größten
gemeinsamen Teilers von 17 und 22 als Linearkombination dieser beiden Zahlen.
(2)
b) Begründen Sie, dass die Lösung der ursprünglichen Aufgabe mit Hilfe der linearen Kongruenz
600 ≡ 17x
(mod 22)
bestimmt werden kann. Ermitteln Sie alle x ∈ Z, welche diese Kongruenz erfüllen. Bestimmen
Sie anschließend alle natürlichen Zahlen, welche die Aufgabe aus der Aufgabensammlung lösen.
erreichbare Punktanzahl: 10
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(8)
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Aufgabe 4 - verschiedene Aufgaben aus der Geometrie
a) Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 6, b = 8 und c = 10. Zeigen Sie, dass
ABC rechtwinklig ist. Bestimmen Sie außerdem den Flächeninhalt von ABC sowie die Länge
der Höhe hc und die Länge der beiden Hypotenusenabschnitte.
(4)
b) In Abbildung 1 sei |AS| = 12, |BS| = 8 und |CS| = 9. Bestimmen Sie |DS|.
(2)
Abbildung 1
c) In Abbildung 2 schneiden zwei Sekanten eines Kreises einander im Punkt P , der außerhalb des
Kreises liegt. Untersuchen Sie ob für die Längen folgendes gelten kann: |P A| = 2, |P B| = 3,
|BB 0 | = 9 und |AA0 | = 13.
(2)
Abbildung 2 - nicht maßstäblich
d) Sei ABCD ein Parallelogramm, wobei AB und CD sowie BC und DA jeweils parallel zueinander sind.
Zeigen Sie, dass durch die Werte |AB| = 4, |BC| = 7 und |AC| = 9 das Parallelogramm
bereits eindeutig bis auf Kongruenz festgelegt ist. Bestimmen Sie |BD|.
(3)
erreichbare Punktanzahl: 11
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Aufgabe 5 - Quadrat, Flächen und Winkel
a
und
Sei ABCD ein Quadrat mit der Seitenlänge a. Weiterhin gelte |DG| = |DH| = |AE| =
2
a
|EF | = (siehe Abbildung 3).
4
Abbildung 3 - nicht maßstäblich
a) Bestimmen Sie den Anteil von EF GH an der Fläche von ABCD.
(4)
b) Zeigen Sie, dass ]EHG = 90◦ gilt.
(3)
c) Untersuchen Sie, ob EF GH ein Tangentenviereck ist.
(5)
erreichbare Punktanzahl: 12
Aufgabe 6 - zwei Kreise
Gegeben seien der Kreis k1 mit dem Mittelpunkt M1 und dem Radius r1 sowie der Kreis k2 mit
dem Mittelpunkt M2 und dem Radius r2 und es gelte r1 ≥ r2 . Beide Kreise berühren einander und
die Gerade g ist Tangente an beide Kreise. Sie berührt k1 im Punkt N und sie berührt k2 im Punkt
A, wobei N und A verschieden voneinander sind (siehe Abbildung 4).
Abbildung 4
Bestimmen Sie d = |AN | in Abhängigkeit von r1 und r2 .
erreichbare Punktanzahl: 7
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