Wintersemester 2010/11 Blatt 2: Kristallstruktur

Übungen Theoretische Festkörperphysik –
Wintersemester 2010/11
Blatt 2: Kristallstruktur
Übungsbeispiele
1. Kristallgitter: Zeigen Sie, daß das reziproke Gitter des reziproken Gitters wieder das
ursprüngliche Gitter ist. Warum betrachten wir überhaupt reziproke Gitter, bieten sie
irgendwelche Vorteile?
2. Hexagonales Bravais-Gitter: In der unteren Abbildung ist die primitive Elementarzelle
des hexagonalen Bravais-Gitters dargestellt. Die Basisvektoren a1 und a2 schließen einen
Winkel von φ = 60◦ ein, und besitzen jeweils die Länge a. Senkrecht zu jedem dieser
Vektoren steht der Basisvektor a3 , dessen Länge durch die Gitterkonstante c gegeben
wird.
Berechnen Sie die Basisvektoren b1 , b2 und b3 des zugehörigen reziproken Gitters. Zeigen
Sie, daß die reziproken Gittervektoren ebenfalls ein hexagonales Gitter beschreiben, und
geben Sie die entsprechenden Gitterkonstanten an. Welche Beziehung besteht zwischen
den Volumina V und V ∗ der Elementarzellen im realen bzw. reziproken Raum?
3. Attraktives Kronig-Penney-Modell: Um mit einem einfachen Modell das Verhalten
von Valenzelektronen in einem kristallinen Festkörper zu untersuchen, betrachten Sie das
eindimensionale Potential
X
V (x) = −v0
δ(x − na),
(v0 > 0)
n
also attraktive Delta-Peaks an den Gitterplätzen na. Lösen Sie die Schrödinger-Gleichung
(in atomaren Einheiten) für gebundene Zustände (d.h. Eigenenergien E < 0).
Anleitung: Machen Sie den Ansatz
ψ(x) = Cn eκ(x−na) + Dn e−κ(x−na) ,
für
na < x < (n + 1)a.
Wie hängt κ mit den gesuchten Eigenenergien zusammen? Zeigen Sie, daß die erste Ableitung bei x = na (oder x = (n + 1)a) einen Sprung der Größe
−2v0 ψ(na)
macht. Benutzen Sie ferner das Bloch-Theorem
ψ(x + a) = eika ψ(x)
um einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten Cn−1 , Dn−1 und Cn , Dn zu bekommen und leiten Sie ein homogenes Gleichungssystem für Cn , Dn her. Wann hat dieses
nicht-triviale Lösungen?
Zeigen Sie, das zwischen κ (und damit möglichen Eigenenergien) und k die Beziehung
κ cosh(κa) − v0 sinh(κa) = κ cos(ka)
erfüllt sein muß, damit Eigenwerte existieren. Diskutieren Sie diese Beziehung graphisch
und bestimmen Sie den Energiebereich, in dem Energieeigenwerte liegen konnen. Plotten
Sie κ(k) bzw. E(k).
4. Symmetrie der Bandstruktur: Wenn D eine Symmetrieoperation (Drehung oder Spiegelung, Element der Punktgruppe) bezeichnet, die das Gitter in sich selbst überführt, kann
man einen zugehörigen Operator D auf dem Hilbertraum definieren durch:
Df (r) = f (Dr).
Dann vertauscht D mit dem Hamilton-Operator (für wechselwirkungsfreie Elektronen im
Gitterpotential). Zeigen Sie, dass die Bandstruktur (Eigenenergien)
ε(k) = ε(D−1 k)
erfüllen.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß
Dψk (r) = ψk (Dr)
ein Eigenzustand zur Eigenenergie ε(k) des Hamilton-Operators H ist. Zeigen Sie dann
ψk (Dr) = ψD−1 k (r).
Untersuchen Sie dazu, wie ein beliebiger Translationsoperator TR auf ψk (Dr) wirkt.
5. Periodische Strukturen: Beweisen Sie das Blochsche Theorem!