1.) Der Körper der rationalen Zahlen

Hinweis: In Absprache mit der Fachschaft ist dieses Aufgabenblatt ein wenig länger; dafür wird
das 14. Aufgabenblatt kürzer, um euch in den letzten beiden Wochen der Vorlesungszeit mehr Zeit zur
Vorbereitung auf die Analysis-I-Klausur zu geben.
1.) Der Körper der rationalen Zahlen
Aufbauend auf: "Ganze Zahlen", "Äquivalenzrelationen"
Aufgaben: 3
> restart;
Konstruktion von < aus Z
Durch die Abwesenbeit der multiplikativ Inversen der meisten ganzen Zahlen ist
kein
Körper. Wie man einen Körper durch Hinzunahme neuer Elemente daraus machen kann, werden
wir jetzt sehen.
Wir können die Gleichung
mit
nicht innerhalb von
wollen durch Hinzufügen neuer Zahlen so vergrößern, dass diese Gleichungen immer lösbar
sind und darüberhinaus (Permanenzprinzip) grundlegende Eigenschaften von
größeren Zahlbereich gültig bleiben, also Assoziativ- und Kommutativgesetze für Addition und
Multiplikation, sowie die Anordnung
. Wir wollen eine Konstruktion skizzieren, wie man den
Körper
der rationalen Zahlen zusammen mit seiner Anordnung aus konstruieren
kann.
MATH: Für ganze Zahlen
,
kann man die Gleichung
betrachten. Ist ein Vielfaches von , also , so hat man eine eindeutige Lösung in . Wenn
nicht, so hat man nur noch das Gefühl, dass z.B.
für jedes
eindeutige Lösung haben, die dann in einem umfassenderen Bereich liegt. Hier die formale
Konstruktion:
Statt der Gleichung
schreiben wir einfach
. Auf
führen wir die Äquivalenzrelation
definiert durch
ein.
DENKANSTOSS: Wenn wir schon die rationalen Zahlen zur Verfügung hätten, würden wir
sagen: Die Äquivalenzrelation ist die Bildgleichheit auf
unter der surjektiven Abbildung
.
Damit sind die Fasern gleich den Äquivalenzklassen und diese stehen in Bijektion zu . Aber
wir wollen ja erst konstruieren.
Wir verifizieren mit MAPLE, dass eine Äquivalenzrelation vorliegt:
Reflexivität:
, denn
> evalb(a*b=a*b);
true
Symmetrie:
, folgt aus der Symmetrie der
Kommutativität der Multiplikation in .
(1.1.1)
-Relation und der
ÜBUNG [01]:
Verifiziere die Transitivität von .
MATH: Jede Äquivalenzklasse hat einen eindeutigen Standardvertreter. Dazu benutzen wir die
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, welche die Existenz eines größten gemeinsamen Teilers
impliziert. Wir schreiben die Elemente aus
als Listen der Länge 2:
> StaVer:=proc(p::list)
local g,pp;
pp:=p;
g:=igcd(pp[1],pp[2]);
pp:=map(iquo, pp, g);
pp:=map(r->r*sign(pp[2]),pp);
return pp;
end proc:
> StaVer([0,3]);
StaVer([70,10]);
StaVer([20,-12]);
(1.1.2)
MATH: Die offizielle Bezeichnung für die Äquivalenzklasse von
ist
.
MAPLE kennt dies bereits:
> StaVer([3,-6]),StaVer([70,10]);
3/(-6),70/10;
(1.1.3)
> StaVer([17,8]),StaVer([27,18]);
17/8,27/18;
(1.1.4)
MATH: Wir sehen, dass
eine injektive Abbildung ist, sodass sogar zwei verschiedene Bilder in verschiedenen
Äquivalenzklassen liegen. Um die Addition von zu übertragen, werden wir sicher definieren:
:
.
Diese Addition müssen wir auf ganz
so fortsetzen, dass sie mit unserer Äquivalenzrelation
verträglich ist. Sowohl dies als auch die Einsicht, dass Dinge auf derselben Skala sich wie
gewohnt addieren legt zunächst einmal nahe:
:
,
sodass für sich beliebige Paare wegen der Verträglichkeit folgende Definition ergibt:
:
.
> AD:=(p,q)->[p[1]*q[2]+q[1]*p[2], p[2]*q[2]];
(1.1.5)
> AD([a*r,a*m],[b*s,b*n]);
(1.1.6)
ist offenbar äquivalent zu
> AD([r,m],[s,n]);
(1.1.7)
wegen
> (a*b)*~%;
(1.1.8)
ÜBUNG [02]:
1) Ergänze dies obige Rechnung zu einem Beweis, dass die Addition auf
Äquivalenzrelation verträglich ist:
mit der
.
2) Folgere: Wir können eine Addition für die Äquivalenzklassen definieren :
.
Zeige insbesondere, dass diese Definition nicht nicht von der Wahl der Vertreter abhängt.
3) Definiere eine Multiplikation für die
Äquivalenzklassen auf
durch
Zeige, dass diese Multiplikation vertreterunabhängig und damit wohldefiniert ist, d. h. die
Formel
definiert eine Multiplikation auf
, die mit R verträglich ist.
DENKANSTOSS: Addition und Multiplikation der Äquivalenzklassen sind assoziativ und
kommutativ.
MATH: Die Klasse von
, also
, heißt 0. Dies ist das neutrale Element der Addition:
> AD([a,b],[0,1]);
MATH: Die negative der von
> AD([a,b],[-a,b]);
repräsentieren Klasse wird von
(1.1.9)
repräsentiert:
(1.1.10)
Wir haben also eine additive Gruppe.
DENKANSTOSS: Nimmt man die Multiplikation hinzu, bekommt man einen Ring mit
Einselement. Letzteres ist repräsentiert durch
.
MATH: Die Menge
der -Äquivalenzklassen auf
Addition und Multiplikation wird mit
genauer mit
rationalen Zahlen.
zusammen mit der induzierten
bezeichnet: dem Körper der
MATH: Zwischen zwei rationalen Zahlen findet man immer noch eine weitere: das
arithmetische Mittel. Dies kann zu dem Fehlschluss verleiten, dass jeder Punkt der Zahlengerade
durch eine rationale Zahl dargestellt werden kann. Dass dies nicht zutrifft, haben wir gesehen:
ist keine rationale Zahl:
Anordnung von <
MATH: Wir hatten bereits die
-Relation auf Z kennengelernt und sie Anordnung genannt.
Daher können wir auf < eine Relation, die wir auch mit
(lies ``kleiner'') bezeichnen, wie
folgt definieren:
mit
, genau dann, wenn
DENKANSTOSS: < ist wohldefiniert in dem Sinne, dass es unabhängig von der Darstellungen
der rationalen Zahlen ist, soweit die Nenner natürliche Zahlen sind. Für je zwei verschiedene
rationale Zahlen gibt es genau eine, die kleiner als die andere ist. Beachte, die -Relation auf <
setzt die auf Z fort (setze einfach
in der Definition).
MAPLE entscheidet diese Dinge sehr schnell:
> is(-3/2<15/8),is(15/8<-3/2);
(1.2.1)
> is(171/178 < 855/890),is(855/890 < 171/178), is(171/178 =
855/890);
(1.2.2)
MATH: Man verifiziert leicht aus den Eigenschaften der
-Relation für ganze Zahlen die
Eigenschaften 2) bis 4) für angeordnete Körper (siehe "Gruppen- und Körperaxiome") und sieht:
ist ein angeordneter Körper.
DENKANSTOSS: Warum hilft der Hauptnenner bei der Verifikation von 2) und 3)? Gibt es
noch andere Anordnungen auf ?
ÜBUNG [03]:
Welche der folgenden Mengen sind nach oben beschränkt? Gib sofern existent das Supremum
oder Maximum an:
1)
2)
3)
4)
5)
Hinweis: Wir sind in den rationalen Zahlen.
Wir fassen zusammen:
MATH: Jede rationale Zahl
lässt sich eindeutig als
, ggT
von
, durch den der Bruch
oder
darstellen mit
. Diese Darstellung errechnet man durch die Bestimmung
dann gekürzt wird, wie man sagt.
MATH: Die Vorteile dieser Art der Darstellung rationaler Zahlen sind:
1) Gleichheit kann sehr leicht entschieden werden.
2) Multiplikationen sind leicht auszuführen.
3) Man sieht sofort, ob die Zahl positiv oder negativ,
oder
ist.
Die Nachteile dieser Darstellung sind:
1) Die Addition ist etwas umständlich.
2) Die Relation
ist etwas umständlich.
Für Handrechnungen ist die Einführung des Hauptnenners das angemessene Mittel, Addition und
zu behandeln.
2.) Polynome
Aufbauend auf: "Gruppen- und Körperaxiome"
Aufgaben: 5
> restart;
Definition
MATH: Sei
ein kommutativer Ring mit . Wir betrachten -wertige Folgen
,
so dass ein von abhängiges
existiert mit
heißt auch der Grad von . Nur der Nullfolge
für alle
. Das kleinste derartige
ordnet man keinen Grad zu. Jede derartige Folge nennen wir ein Polynom über .
Klar: Da
ein Ring ist, kann man Polynome werteweise addieren:
Dann ist ihre Summe so definiert:
.
Mit dieser Addition haben wir eine abelsche Gruppe.
Wir wollen auch eine Multiplikation einführen, und zwar so, dass
das Einselement ist und die Multiplikation mit
für
eine Verschiebung nach rechts ergibt:
.
Hier ist die Formel für das Produkt:
.
Sowohl in der Mathematik als auch in Maple ist es unüblich, Polynome als Folgen zu schreiben,
obschon sie es sind. Es ist praktischer, das Polynom
als
> Sum(a[i]*x^i,i=0..n);
(2.1.1)
zu schreiben.
> A := sum(a[i]*x^i,i=0..10);
(2.1.2)
> B := sum(b[i]*x^i,i=0..4);
(2.1.3)
> for j from 0 to 5 do
coeff(A*B,x,j);
end do;
j:='j':
(2.1.4)
MATH: Man kann nun nachrechnen, dass die Menge aller Polynome über einen kommtativen
Ring mit Eins bildet. Dieser heißt Polynomring über und wird mit
bezeichnet.
Multivariate Polynome - Binomischer Lehrsatz
Statt kann man auch andere Buchstaben wählen, solange nur klar ist, dass das -te Glied der
Folge als Faktor bei steht. Wichtig wird die Wahl der Buchstaben, wenn selbst ein
Polynomring über einem anderen Ring ist:
BEISPIEL: sei der Ring der ganzen Zahlen,
betrachten den Polynomring
, kurz
.
> for i from 1 to 10 do
expand((x+y)^i);
end do;
i:='i':
der Polynomring in über
und wir
(2.2.1)
Dies ist also eine Rechnung in
. Man fängt an zu ahnen, dass eine Menge Kombinatorik
in derartigen Polynomrechnungen versteckt ist, denn die Koeffizienten erinnern an das
Pascal'sche Dreieck.
> coeff((x+y)^10,x,6);
binomial(10,6);
210
(2.2.2)
ÜBUNG [01]:
Beweise den binomischen Lehrsatz
auf folgendem Wege:
1) Zeige, dass die Koeffizienten
in
> (x+y)^n = Sum(a[n,i]*x^i*y^(n-i),i=0..n);
(2.2.3)
dieselbe Rekursion erfüllen wie die Anzahl
der i-elementigen Teilmengen einer nelementigen Menge. (Man erinnere sich an Worksheet 2: Mengen und Abbildungen. Schlage
gegebenenfalls noch einmal nach.)
Hinweis:
=
. Forme die Formel so um, dass auf der linken Seite
anstatt
steht um die Aufgabe zu erleichtern.)
2) Warum kann man nach 1)
für alle
schließen?
MATH: Sind und Ringe, so heißt eine Abbildung
alle
gilt:
, d.h. ist additiv
, d.h. ist multiplikativ
Ringhomomorphismus, falls für
heißt Ringmonomorphismus bzw. Ringepimorphismus, falls ein injektiver bzw. surjektiver
Ringhomomorphismus ist. heißt Ringisomorphismus, wenn ein bijektiver
Ringhomomorphismus ist. Die Ringe und heißen isomorph, wenn ein Isomorphimus von
nach existiert.
MATH: Wir haben bereits festgestellt, dass die Menge
für einen Ring und eine Menge
mit werteweiser Addition und Multiplikation wieder ein Ring ist. Als Beispiel für einen
Ringepimorphismus erhalten wir nun für jedes
die Projektion auf die -te Komponente:
DENKANSTOSS: Liegen in den folgenden Fällen Ringhomomorphismen vor?
1.
Re
2.
sei und wir
, wobei
ein kommutativer Ring mit
wieder mit vertreterweiser Addition und Multiplikation zu einem Ring machen.
MATH: Die Ringe
und
sind isomorph. Die Abbildung
:
> Sum(Sum(a[i,j]*x^i,i=0..n)*y^j,j=0..m);
(2.2.4)
> Sum(Sum(a[i,j]*y^j,j=0..m)*x^i,i=0..n);
(2.2.5)
ist ein Isomorphismus, d.h. sie überträgt das Rechnen.
Diesen Isomorphismus
empfinden wir als die Identitätsabbildung, aber streng
genommen passiert eine ganze Menge:
> p:=expand(mul(x+i*y,i=0..6)+mul(x^i+y,i=0..4));
collect(p,x);
collect(p,y);
(2.2.6)
ÜBUNG [02]:
1) Finde den Koeffizienten von im Polynom . (Hinweis: Wir sprechen von
.)
2) Finde den Koeffizienten von des obigen Polynoms . (Hinweis: Wir sprechen von
.)
3) Erkläre den obigen Isomorphismus
auf zwei Arten:
a) was technisch alles passiert und
b) so, dass er ganz natürlich erscheint (im Sinne von: es passiert eigentlich nichts).
MATH: Wegen dieser offensichtlichen Identifikation von
mit
schreiben wir
kurz für beide
. Selbstverständlich kann man den Prozess iterieren und kommt zu Ringen
wie
. Diese können uns noch besser zeigen, was die Binomialkoeffizienten mit
Teilmengen zu tun haben:
> collect(expand(mul(t+x[i],i=1..4)),t);
(2.2.7)
ÜBUNG [03]:
1) In welchem Ring fand die letzte Rechnung statt?
2) Wieviele Summanden hat der Koeffizient von ?
3) Was haben die Koeffizienten von mit -elementigen Teilmengen von
Erkläre dies an einem (einfachen) Beispiel mit Hilfe des Distributivgesetzes.
zu tun?
Einsetzungshomomorphismus und Polynomfunktionen
MATH: Ist
ein Polynomring über dem Ring , so bekommt man für jedes
Ringhomomorphismus (genannt Einsetzungshomomorphismus):
einen
MATH: Bezeichnet man die linke Seite mit
, so bezeichnet man häufig die rechte Seite
mit
. D.h. man hat für die Unbestimmte die konkrete Zahl eingesetzt. Die
Ringhomomorphieeigenschaften lesen sich dann so:
MATH: Sei nun ein Körper. Man kann Polynome aus
dazu benutzen, um gewisse
Abbildungen von nach darzustellen. Z.B. stellt das Polynom x immer die Identitätsabbildung
von nach dar.
Allgemeiner stellt
die Abbildung
dar, genannt die durch induzierte Polynomabbildung.
MATH:
Polynomfunktionen.
ist ein Ringhomomorphismus. Sein Bild in
heißt der Ring der
DENKANSTOSS: Beweise dies.
BEISPIEL:
dargestellt.
. Die Abbildung
, die die beiden Elemente vertauscht, wird durch
ÜBUNG [04]:
1.) Finde ein Polynom vom Grad 2, welches die Nullabbildung
von
darstellt.
2.) Finde ein Polynom vom Grad 3, welches die Nullabbildung
von
darstellt.
3.) Sei ein endlicher Körper. Finde ein Polynom vom Grad , welches die Nullabbildung
darstellt.
4.) Zeige: Für
und
ist der Homomorphismus
ein
Ringepimorphismus. (freiwillig: Für jeden endlichen Körper .)
5.) (freiwillig) Zeige: Für jeden unendlichen Körper ist
ein
Ringmonomorphismus.
6.) Gib einen Körper und eine Abbildung
an, die keine Polynomfunktion ist.
MATH: Bei Polynomen aus
Teiler von
ist:
> p:=x^3+x^2-2;
liegt eine Nullstelle
genau dann vor, wenn
. Dies sieht man z. B. so:
ein
.
(2.3.1)
> subs(x=1,p);
0
> subs(x=``(x-1),expand(subs(x=x+1,p)));
(2.3.2)
(2.3.3)
MATH: Wir folgern daraus: Ein Polynom in einer Variablen hat also höchstens so viele
Nullstellen wie sein Grad. Insbesondere ist ein Polynom in einer Variablen mit unendlich vielen
Nullstellen schon das Nullpolynom.
MATH: Auch Polynome in
können Nullstellen haben, die dann in
denn wir haben den Einsetzungshomomorphismus für jedes
:
liegen,
> p:=(x+y)^3-(x-y+1)^4;
q:=(x-3*y-1)^5+3;
(2.3.4)
> subs([x=1,y=2],p*q);
(2.3.5)
> subs([x=1,y=2],p)*subs([x=1,y=2],q);
(2.3.6)
MATH: Leider kann man bei einer Nullstelle
eines Polynoms in zwei Variablen keinen
Faktor abspalten. Z. B. hat
unendlich viele Nullstellen. Es hat aber Grad 1 und kann daher
nicht mehr faktorisiert werden. Insbesondere kann man aus der Tatsache, dass ein Polynom
unendlich viele Nullstellen hat nicht schließen, dass es Null ist. Eine Analogie zu Polynomen in
einer Variablen ist die folgende:
MATH: Sei
Dann gilt
mit
für alle
mit
unendlich.
.
Diese Aussage werden wird oft in der folgenden Form benutzt:
wie oben
.
Beweis: Schreibe
, also fasse das Polynom als Polynom in auf mit Koeffizienten, welche
Polynome in sind.
Das Polynom
hat für jedes
unendlich viele Nullstellen
gleich Null für jedes
, d. h.
für unendlich viele
. Wegen
für alle , also
.
> p:=(x+y)^2-(x-y)^2;
, ist also
, folgt
(2.3.7)
> q:=4*x*y;
(2.3.8)
> map(a->map(b->subs([x=a,y=b],p),[-1,0,1]),[-1,0,1]);
(2.3.9)
> map(a->map(b->subs([x=a,y=b],q),[-1,0,1]),[-1,0,1]);
(2.3.10)
Da beide Polynome den Grad 2 haben, zeigt diese Auswertung bereits:
.
ÜBUNG [05]:
Formuliere und beweise eine Verschärfung des letzten Satzes, der mit endlichen Mengen
auskommt. (Hinweis: Benutze den Grad von p.)
3.) Multinomialkoeffizienten
Aufbauend auf: "Polynome", "Gruppen- und Körperaxiome"
Aufgaben: 3
> restart;
with(combinat, multinomial):
Bivariate Polynome und Binomialkoeffizienten
und
MATH: Wir wollen nun die Multiplikation für Polynome in mehreren Unbestimmten benutzen,
um kombinatorische Konsequenzen zu erkennen.
> expand((x+y)^10);
(3.1.1)
> add(binomial(10,i)*x^(10-i)*y^i,i=0..10);
(3.1.2)
MATH: Welche Fragen können wir damit beantworten?
Die 120 bei
sagt uns: Es gibt beim Ausmultiplizieren der 10 Faktoren genau 120 mal den
Term
, d. h. in 7 Faktoren haben wir gewählt und in den drei übrigen . Damit ist klar, dass
wir auch die 7-elementigen Teilmengen einer 10-elementigen Menge abgezählt haben.
Weiteres Szenario: Untersuche Manhattan mit seinem gitterförmigen Grundriss.
interpretieren wir folgendermaßen: "geh einen Block nach Osten" und
:
"gehe einen Block nach Norden".
sagt uns, wo wir hin wollen:
7 Blöcke nach Osten und 3 nach Norden.
Der Faktor 120 sagt uns dann:
Es gibt 120 Wege von unserer Ausgangsposition in
Manhattan bis zu unserer Zielposition, wenn wir nur nach Osten oder nach Norden gehen dürfen.
ÜBUNG [01]:
1) Verstehe den Absatz, welcher die 120 als Koeffizient von
erläutert. Insbesondere:
Warum ist beim binomischen Lehrsatz durch obiges Argument mit dem Ausmultiplizieren klar,
dass der Binomialkoeffizient als Koeffizient auftaucht?
2) Wir setzen einen Punkt bei 0 auf die Zahlengerade. Dieser Punkt kann von seiner jeweiligen
Position um 1 nach rechts oder nach links verschoben werden, also zu
oder
. Gib
an, wieviele 10-schrittige Wege es von 0 zu irgendeinem
gibt.
Hinweis: Fasse 0 als Exponent von
auf. Was ist die Multiplikation mit
? Wieso
modelliert
den Schritt nach links? Wie kann man die obige Rechnung modifizieren?
MATH: Eine wichtige Methode in der Kombinatorik ist es, Bijektionen zwischen endlichen
Mengen herzustellen. Die Anzahlbestimmung einer endlichen Menge ist nichts anderes, als
eine Bijektion zwischen und
für ein herzustellen. Diese Bijektion direkt
anzugeben, ist oftmals zu schwierig. Deshalb nimmt man Bijektionen auf andere Mengen zur
Hilfe. Das Sehen dieser Bijektionen erfordert ein wenig Übung. Wenn du die obige Einführung
mit Verstand gelesen hast, weißt du nun, dass es Bijektionen zwischen den folgenden Mengen
gibt:
1.) Menge der Folgen der Länge gebildet aus und mit Folgengliedern gleich und
Folgengliedern gleich .
2.) Menge der Folgen der Länge gebildet aus und mit Folgengliedern gleich und
Folgenglieder gleich . (charakteristische Funktion!)
3.) Menge der Folgen der Länge gebildet aus und mit Folgengliedern gleich und
Folgenglieder gleich . (Wege in Manhattan)
4.) Menge der -elementigen Teilmengen einer -elementigen Menge. (
).
5.) Menge der Folgen der Länge gebildet aus und
mit Summe
. (Übung)
6.)
.
Das Phantastische ist, dass dies alles aus der Multiplikation von Polynomen herauskam.
ÜBUNG [02]:
Betrachte ein in alle Richtungen unendliches Schachbrett. Ein Springer steht auf einem Feld
dieses Schachbrettes und macht 7 Rösselsprünge.
1) Bestimme die Anzahl aller Wege aus 7 Schritten in Abhängigkeit vom Zielpunkt.
Hinweis: Es reicht ein geeignetes Polynom hinzuschreiben, wenn du die Anzahl der Wege an
diesem Polynom ablesen kannst.
2) Wieviele Wege gibt es insbesondere, die wieder beim Ausgangspunkt enden?
3) Gib einen anschaulichen Grund für die Anzahl in Teilaufgabe (2).
Hinweis: Betrachte die Farbe der Felder auf den Schachbrett.
4) Warum ist die Anzahl aller Wege ?
Multivariate Polynome und Multinomialkoeffizienten
MATH: Die Zeit ist reif für Multinomialkoeffizienten:
> expand((x+y+z)^10);
(3.2.1)
MATH: Sei
in
. Der Multinomialkoeffizient
ist der Koeffizient von
.
MATH: Also haben wir keine Schwierigkeit mit der Interpretation. Wie steht es mit dem
allgemeinen Ausrechnen? Hier ist eine Idee:
> Z1:=expand((xy+z)^10);
(3.2.2)
> Z2:=subs(xy=x+y,Z1);
(3.2.3)
> expand(Z2);
(3.2.4)
MATH: Mit anderen Worten: der Koeffizient bei
in
ist gleich
wobei der erste Faktor aus Z1 kommt und der zweite Faktor aus dem Koeffizienten von
.
Da wir wissen
,
folgt: Koeffizient bei
in
MATH: Der Multinomialkoeffizient
und
ist gleich
oder
.
mit
ist gegeben durch
.
Er zählt die Abbildungen einer -elementigen Menge in eine -elementige Menge
dass die Faser über gerade aus Elementen besteht.
Entsprechend gilt:
, so
wobei die Summe über alle
mit
zu nehmen ist.
Hier ist der Maple-Befehl:
> multinomial(10,2,8);
binomial(10,2),binomial(10,8);
45
(3.2.5)
> multinomial(10,2,5,3);
binomial(10,2)*binomial(8,5);
2520
2520
(3.2.6)
ÜBUNG [03]:
In einem Hörsaal sind 10 Sitzreihen. In 5 der Sitzreihen sitzen je 12 Studierende in den anderen
5 sitzen je 8 Studierende. Die insgesammt 100 Studierenden sollen nach rechts aus den Reihen
austreten, vorne ihr Bestechungsgeld an die Professorin zahlen und dann wieder von links in
ihre Reihe gehen. Innerhalb einer Sitzreihe kann man nicht überholen (bzw. die dort Sitzenden
überspringen). Jedoch ist die Reihenfolge, in denen die Sitzreihen zum Zuge kommen, beliebig.
(Es könnten z. B. erst drei Studierende der ersten Reihe, dann eine Studentin der letzten, dann
ein Student der 2. dann wieder einer der letzten etc. heraustreten und nach vorne gehen.)
Wieviele mögliche Reihenfolgen gibt es?
Hinweis: Bringe die Menge der Reihenfolgen in Bijektion mit einer gewissen Menge von
Abbildungen, die von Multinomialkoeffizienten abgezählt werden. Teste dein Modell zuerst an
einem kleinen Beispiel: 2 Sitzreihen mit 3 und 1 Studierenden.
4.) Neue Sicht der Binomialkoeffizienten
Aufbauend auf: "Kombinatorik (Inklusions-Exklusions-Prinzip)"
Aufgaben: 1
> restart;
Neue Sicht der Binomialkoeffizienten
Wir wollen uns überlegen, wie die Binomialkoeffizienten in einfachster Weise unter Benutzung
des Summationsoperators und des Differenzenoperators konstruiert werden können. Zwei
Anwendungen werden gegeben:
MATH: Wenden wir
auf die Folge
an, so erhalten wir die Folge
.
Wir iterieren die Anwendung:
> factor(sum(expand(binomial(i,0)),i=1..n)),factor(expand
(binomial(n,1)));
(4.1.1)
> factor(sum(expand(binomial(i,1)),i=1..n)),factor(expand
(binomial(n+1,2)));
(4.1.2)
> factor(sum(expand(binomial(i+1,2)),i=1..n)),factor(expand
(binomial(n+2,3)));
(4.1.3)
> factor(sum(expand(binomial(i+2,3)),i=1..n)),factor(expand
(binomial(n+3,4)));
(4.1.4)
MATH: Allgemein gilt:
> Sum(binomial(i+k,k+1),i=1..n) = binomial(n+k+1,k+2);
(4.1.5)
wobei wir beide Seiten als Folgen in für festes auffassen.
Beweisen kann man dies ganz einfach durch Benutzung von
(mit der Konvention
)
DENKANSTOSS: Überzeuge dich, dass die neuen (linearen) Operatoren invers zueinander
sind.
Die linke Seite unserer Formel liefert bei Anwendung von
( ist invers zu ):
und die rechte Seite
,
aber die rekursive Definition der Binomialkoeffizienten ist gerade
,
womit die Gleichheit etabliert ist, wenn man noch die Anfangsdaten der Rekursionen vergleicht.
DENKANSTOSS: Mache eine Skizze im Pascalschen Dreieck.
MAPLE: Man kann mit Maple so etwas nicht direkt zeigen, aber man kann sich mit Maple die
Vermutung verschaffen.
Wir wollen aus der Formel
eine Summenformel für die -ten
Potenzen der natürlichen Zahlen herleiten, also Formeln für
.
Wir haben
> Sum(binomial(i+k,k+1),i=1..n) = binomial(n+k+1,k+2);
(4.1.6)
Also für
:
> Sum(binomial(i,1),i=1..n) = expand(binomial(n+1,2));
(4.1.7)
Für
:
> Sum(expand(binomial(i+1,2)),i=1..n) = expand(binomial(n+2,3))
;
(4.1.8)
Wir kennen bereits
Man kann also einfach nach
auflösen.
> { 1/2*Sum(i^2,i = 1 .. n)+1/2*Sum(i,i = 1 .. n)=1/6*n^3+1/2*
n^2+1/3*n, Sum(i,i = 1 .. n) = 1/2*n^2+1/2*n };
solve(%, {Sum(i^2,i = 1 .. n),Sum(i,i = 1 .. n)});
(4.1.9)
ÜBUNG [01]:
Leite aus der Formel
der natürlichen Zahlen für
eine Summenformel für die -ten Potenzen
her, also Formeln für
.
Hinweis: Drücke die relevanten Binomialkoeffizienten
> expand(binomial(n+1,2));
expand(binomial(n+2,3));
(4.1.10)
>
(4.1.10)
etc. durch Potenzen von aus. Benutze dies rekursiv, um die Potenzen durch die
Binomialkoeffizienten auszudrücken.
5.) Formale Potenzreihen
Aufbauend auf: "Polynome", "Neue Sicht der Binomialkoeffizienten"
Aufgaben: 4
> restart;
Definition formaler Potenzreihen
Formale Potenzreihen sind eine Verallgemeinerung von Polynomen, die es im Falle des reellen
oder komplexen Zahlkörpers ermöglicht, Potenzreihen, wie sie später in der Analysis behandelt
werden, in zwei Schritten zu behandeln: erst formal (meist einfacher), dann unter dem
Konvergenzgesichtspunkt. Hier beschränken wir uns (vorerst) auf den formalen Fall.
MATH:
sei ein Körper. Eine Zahlenfolge
kann auch als
notiert werden. Hier liegt kein Grenzwert vor, sondern nur eine Notation für eine solche Folge.
Die Menge aller dieser Folgen wird auch mit
abgekürzt und heißt formaler
Potenzreihenring. Die Elemente nennt man formale Potenzreihen. Dass diese einen Ring
bilden, werden wir unten sehen.
Wir hatten bereits gesehen: Gibt es ein
In der Mathematik schreibt man oft auch
nur Notation.
mit
für
so heißt auch Polynom in .
für das Polynom oder die Potenzreihe . Dies ist
BEISPIEL: Die Folge
liefert uns eine Potenzreihe, die MAPLE auch verarbeiten kann:
> Sum(x^i,i=0..infinity);
(5.1.1)
Allgemeiner kann man die Folge in Maple auch als Potenzreihe schreiben:
> Sum(b[i]*x^i,i=0..infinity);
(5.1.2)
MATH: Es ist sehr naheliegend, eine Addition für Potenzreihen einzuführen:
> Sum(b[i]*x^i,i=0..infinity)+Sum(c[i]*x^i,i=0..infinity);
(5.1.3)
soll gleich
> Sum((b[i]+c[i])*x^i,i=0..infinity);
(5.1.4)
sein. Dies ist eine nicht sehr überraschende Definition.
MATH:
und auch
bilden eine abelsche Gruppe mit dieser Addition:
Assoziativgesetz und Kommutativgesetz der Addition in übertragen sich sofort, die Null ist
> Sum(`0`*x^i,i=0..infinity);
(5.1.5)
Das Negative von
> Sum(b[i]*x^i,i=0..infinity);
(5.1.6)
ist
> Sum(-b[i]*x^i,i=0..infinity);
(5.1.7)
MATH: Ist
eine Zahl (im Sinne von Körperelement), so kann man diese Zahl in jedes
Polynom
für einsetzen und bekommt eine Zahl aus . In formale Potenzreihen
kann man nur einsetzen, weil unendliche Summen in einem Körper nicht definiert sind.
MATH: Formale Potenzreihen lassen sich multiplizieren, indem man die bekannte Multplikation
von Polynomen fortzusetzen versucht:
> for n from 1 to 3 do
collect(sum(b[i]*x^i,i=0..n)*sum(c[i]*x^i,i=0..n),x);
od;n:='n':
(5.1.8)
Beachte: Der Koeffizient von ist in allen drei Produkten gleich, ebenso der von . Jedoch hat
sich der von anfangs noch geändert und ist dann stabil geblieben. Schauen wir uns den
Koeffizienten von an:
> map(n->coeff(sum(b[i]*x^i,i=0..n)*sum(c[i]*x^i,i=0..n),x,3),
[$1..8]);
(5.1.9)
Ab dem dritten Glied ist er konstant.
MATH: Man definiert also das Produkt von zwei formalen Potenzreihen als
> Sum(b[i]*x^i,i=0..infinity)*Sum(c[i]*x^i,i=0..infinity)=Sum
(Sum(b[j]*c[i-j],j=0..i)*x^i,i=0..infinity);
(5.1.10)
MATH: Die obigen Überlegungen über die formale Annäherung durch Polynome zeigt dann,
dass auch
ein kommutativer Ring mit ist, der
als Teilring enthält.
Elemente, die in
nicht invertierbar sind, können sehr wohl in
:
> Sum(x^i,i=0..infinity)=sum(x^i,i=0..infinity);
invertierbar sein, z. B.
(5.1.11)
Wir wollen uns dies genauer ansehen.
ÜBUNG [01]:
1.) Beweise mit der Formel zum Ausmultiplizieren:
> simplify((1-x)*Sum(x^i,i=0..infinity)=(1-x)*sum(x^i,i=0..
infinity));
(5.1.12)
2.) Zeige: Jede formale Potenzreihe
mit
3.) Zeige: Die formale Potenzreihe
ist invertierbar.
ist nicht invertierbar.
Einsetzen in formale Potenzreihen
MATH: Während das Einsetzen einer Zahl einen (Ring- oder -Algebren-)Homomorphismus
des
definiert, ist das Einsetzen für formale Potenzreihen nur für
definiert.
Für die Fälle
und
kann man hoffen, dass das Einsetzen eines
für einige Potenzreihen eine konvergente Reihe liefert.
zumindest
BEISPIEL:
> p:=Sum(x^i,i=0..infinity);
(5.2.1)
> subs(x=1/2,p);
(5.2.2)
> value(%);
2
(5.2.3)
> value(p);
(5.2.4)
Man könnte nun denken, dass man auch
> subs(x=-1,p);
einsetzen kann:
(5.2.5)
> value(%);
(5.2.6)
Da Maple streikt, müssen wir nachhelfen:
> limit(sum((-1)^i,i=0..n),n=infinity);
(5.2.7)
Dies sieht wirr aus, bedeutet aber im Wesentlichen, dass es keinen Grenzwert gibt.
Grenzwerte werden später in der Analysis genau behandelt wird (Stichwort: Konvergenzradius) wir kommen auch hier auf das Thema zurück.
Formale Potenzreihen und Binomialkoeffizienten
MATH: Im Abschnitt "Neue Sicht der Binomialkoeffizienten" hatten wir die Formeln
> Sum(binomial(i+k,k+1),i = 1 .. n) = binomial(n+k+1,k+2);
(5.3.1)
welche von den zwei Parametern und (
) abhängen. Wir wollen dies in eine äquivalente
Formel für formale Potenzreihen verwandeln, die nur noch von einem Parameter abhängt.
Maple kennt schon das Resultat für die ersten 5 Werte von . Wir betrachten:
> Sum(binomial(i+k,k)*q^i,i = 1 .. infinity);
(5.3.2)
was unabhängig von geworden ist, und erhalten:
> map(k->factor(sum(binomial(i+k,k)*q^i,i=0..infinity)),[$0..5]
(5.3.3)
>
) ;
(5.3.3)
MATH: Unsere Vermutung ist somit: Im formalen Potenzreihenring
gilt:
> Sum(binomial(i+k,k)*q^i,i=0..infinity)=1/(1-q)^(k+1);
(5.3.4)
Wenn wir die obige Rechnung glauben, haben wir schon für die Induktion nach den
Induktionsanfang. Für
haben wir die berühmte geometrische Reihe:
> Sum(q^i,i=0..infinity)=sum(q^i,i=0..infinity);
(5.3.5)
Für den Induktionsschritt brauchen wir also nur noch zu zeigen:
> Sum(q^i,i=0..infinity)*Sum(binomial(i+k,k)*q^i,i=0..infinity)
=Sum(binomial(i+k+1,k+1)*q^i,i=0..infinity);
(5.3.6)
Verinnerlicht man die Definition des Produktes von formalen Potenzreihen und betrachtet
danach den Koeffizienten von in beiden Fällen, so lässt sich die Gleichheit der Reihen
zurückführen auf
> Sum(binomial(i+k,k),i=0..n)= binomial(n+k+1,k+1);
(5.3.7)
Dies entspricht genau dem, was wir im Abschnitt "Neue Sicht der Binomialkoeffizienten"
bewiesen haben.
DENKANSTOSS: Wir haben gezeigt, dass die Binomialidentitäten die Reihenidentitäten
implizieren. Schau genau hin um die umgekehrte Richtung auch einzusehen.
ÜBUNG [02]:
Leite Formeln für
mit
her.
Hinweis: Benutze die Formeln für
für
und multipliziere die Binomialkoeffizienten aus, um den Zusammenhang von
diesen mit den Potenzen
zu sehen. Du solltest erkennen, dass die Übung in völliger
Analogie zur Übung im Abschnitt "Neue Sicht der Binomialkoeffizienten" steht.
>
Entwicklung rationaler Funktionen in Potenzreihen
MATH: Zur Festlegung einer formalen Potenzreihe muss man im Allgemeinen unendlich viele
Koeffizienten angeben. Oftmals lässt sich eine formale Potenzreihe als Quotient zweier
Polynome darstellen, z. B. ist
der Quotient von und
. Hier ist ein Programm, welches die ersten Koeffizienten einer
solchen formalen Potenzreihe f ausrechnet.
> Entw:=proc(f,n::posint)
local g,i,L,a;
L:=NULL;
g:=f;
for i from 0 to n+1 do
a:=subs(x=0,g);
L:=L,a;
g:=simplify((g-a)/x);
end do;
return sort(add(L[i]*x^(i-1),i=1..n), order=plex(x),
ascending);
end proc:
> Entw(1/(1-x^7-x^5+x^12),100);
(5.4.1)
ÜBUNG [03]:
1.) Erkläre die grundlegende Idee des Programms.
2.) Wie muss man das Programm modifizieren, wenn man als Potenzreihe in
darstellen will?
3.) Wende dein modifiziertes Programm auf das obige Beispiel an.
4.) Warum geht es schief? Was kann man tun?
statt in
Formale Potenzreihen und Kombinatorik
MATH: Wir wollen den kombinatorischen Inhalt der obigen Rechnung beleuchten:
> factor(1-x^7-x^5+x^12);
(5.5.1)
(5.5.1)
> expand((x^4+x^3+x^2+x+1)*(x-1));
expand((x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)*(x-1));
(5.5.2)
Also
> 1/(1-x^7-x^5+x^12) = 1/(x^5-1) * 1/(x^7-1);
(5.5.3)
> is(%);
true
(5.5.4)
> Entw(1/(1-x^5),100);
(5.5.5)
> Entw(1/(1-x^7),100);
(5.5.6)
> Entw(1/(1-x^7-x^5+x^12),50);
(5.5.7)
Also ist der Entwicklungskoeffizient von
von
gleich der Anzahl der
Möglichkeiten, als Summe zweier nicht negativer ganzer Zahlen zu schreiben, wobei die erste
durch und die zweite durch teilbar ist.
ÜBUNG [04]:
Finde die kleinste Zahl n
, so dass für alle
die Zahl auf mindestens 2 Arten als
Summe zweier nicht negativer ganzer Zahlen geschrieben werden kann, wobei die erste durch 3
und die zweite durch 5 teilbar ist. (Beweis!)
DENKANSTOSS: Vergleicht man mit dem Summen- und Differenzenoperator aus dem
Abschnitt "Definition von Folgen und einige wichtige Beispiele", kommt man in der Sprache der
formalen Potenzreihen zu der Formulierung:
Differenzenoperator = Multiplikation mit
Summenoperator = Division durch
.
6.) Bonusaufgabe (freiwillig)
Aufbauend auf: ?
Aufgaben: 1 (freiwillig)
> restart;
Höhere angewandte Mathematik beim HSZ
freiwillig ÜBUNG [01]:
Gehe auf die Webseite http://hochschulsport.rwth-aachen.
de/sportarten/aktueller_zeitraum/_Sportartikel.html#T080701 und beantworte die beiden
folgenden Fragen:
(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es beim HSZ genau 3 Vorhängeschlösser zu kaufen?
(b) Wie viele Möglichkeiten gibt es für genau Vorhängeschlösser?
(Besonders kreative Lösungen können per Mail an [email protected]
geschickt werden.)