Informationen zum Seminar über p-adische Zahlen Das

Informationen zum Seminar über p-adische Zahlen
Das Seminar findet wöchentlich dienstags von 12 bis 14 Uhr im Raum 04 − 426 statt. Die
Länge eines Vortrages beträgt 90 Minuten. Die inhaltliche Grundlage orientiert sich stark
an dem Buch [1]. Zu den meisten Vorträgen sollten außerdem nach Absprache ausgewählte Übungsaufgaben und Beispiele selbstständig bearbeitet und in den Vortrag eingebunden
werden.
Um den Inhalt der einzelnen Vorträge genau abstimmen und etwaige Fragen zum Vortrag im
Vorfeld klären zu können, bitten wir jeden Teilnehmer drei Wochen vor dem jeweiligen
Vortragstermin den Betreuern ein grobes inhaltliches Konzept des Vortrages vorzustellen.
Dies kann idealerweise in einem kurzen Gespräch oder in schriftlicher Form geschehen. Ferner
bitten wir jeden Teilnehmer zwei Wochen vor dem jeweiligen Vortragstermin mit den
Betreuern den genauen Inhalt des Vortrages zu diskutieren. Zu diesem Zeitpunkt sollte das
vorheriges Konzept bereits schriftlich vollständig ausgearbeitet vorliegen. Zur methodischen
Vorbereitung eines guten Vortrages sei ferner der Text [2] wärmstens empfohlen.
Inhaltlich gliedert sich das Seminar wie folgt:
1. Metriken und Normen auf Q (Eva Lauth)
In diesem Vortrag wird auf den rationalen Q zu jeder Primzahl p die Norm k · kp definiert
und elementare Eigenschaften dieser Normen untersucht. Insbesondere wird gezeigt, dass jede
nicht triviale Norm auf Q äquivalent zu einer p-Norm oder der Betragsnorm auf Q ist.
Literatur: [1, S.1-8].
2. Die p-adischen Zahlen (Linda Raabe)
In diesem Vortrag wird der Körper der p-adischen Zahlen Qp als Vervollständigung von Q
bezüglich der p-Norm konstruiert und der Ring der ganzen p-adischen Zahlen Zp eingeführt.
Ferner wird Hensels Lemma im p-adischen Kontext bewiesen und Anwendungen auf das Lösen
von Gleichungen in Qp diskutiert.
Literatur: [1, S.8-18].
3. Ein wenig p-adische Interpolation (Danny Heow)
In diesem Vortrag werden als erste Anwendung der p-adischen Zahlen Formeln für gerade
ganzzahlige Werte der Riemannschen Zeta-Funktion und davon ausgehend eine p-adische
Interpolationsformel für die Funktion f (s) = as entwickelt.
Literatur: [1, S.21-30].
4. Erweiterung von Normen (Mathias Bergmann)
Wie im vorletzten Vortrag gesehen ist Qp nicht algebraisch abgeschlossen. Um einen Körper zu
konstruieren, der sowohl vollständig als auch algebraisch abgeschlossen ist, wird in diesem Vortrag untersucht, ob eine Norm eine Fortsetzung auf einen algebraischen Erweiterungskörper
besitzt. Insbesondere wird gezeigt, dass dies für Qp versehen mit der p-Norm der Fall ist.
Literatur: [1, S.57-65].
5. Der algebraische Abschluss von Qp und seine Vervollständigung (Benjamin
Köhl)
Wie im vorherigen Vortrag gesehen besitzt die p-Norm eine eindeutige Fortsetzung auf den
algebraischen Abschluss Qp von Qp . In diesem Vortrag werden zunächst einige Eigenschaften
des Körpers Qp untersucht. Insbesondere wird gezeigt, dass Qp nicht vollständig ist und seine
Vervollständigung Ω konstruiert.
Literatur: [1, S.66-73].
6. p-adische Potenzreihen I (Benjamin Müller)
In diesem Kapitel wird der Ring der formalen Potenzreihen über Ω eingeführt und Konvergenzkriterien für Elemente aus diesem Ring
Da die Norm k · kp nicht archimedisch
Puntersucht.
∞
n
ist, konvergiert insbesondere eine Reihe
n=0 an X genau dann, wenn die Folge (an )n∈N
eine Nullfolge ist. Ferner werden in diesem Vortrag aus der klassischen Analysis bekannte
Funktionen wie die Exponentialfunktion und der Logarithmus im p-adischen Kontext mittels Potenzreihen auf Teilmengen von Ω definiert und einige ihrer Konvergenzeigenschaften
untersucht.
Literatur: [1, S.73-86].
7. p-adische Potenzreihen II (Sebastian Steiber)
In diesem Vortrag wird zunächst gezeigt, dass sich der p-adische Logarithmus zu einer auf
ganz Ω\{0} lokal analytischen Funktion fortsetzen lässt. Darauf wird die p-adische Γ-Funktion
definiert und einige ihrer Eigenschaften diskutiert. Schließlich wird ein Kriterium vorgestellt
um zu entscheiden, ob eine normierte formale Potenzreihe aus Qp Koeffizienten in Zp besitzt.
Literatur: [1, S.86-97].
8.+9. Newton-Polygone I+II (Susanne Müller und Rebecca Riske)
In diesem Doppelvortrag werden Newton-Polygone für p-adische Potenzreihen definiert und
Zusammenhänge zum Konvergenzverhalten der Reihe hergestellt. Ferner wird eine p-adische
Version des Weierstrassschen Vorbereitungssatzes bewiesen, mit dessen Hilfe sich beispielsweise das Nullstellenverhalten p-adischer Potenzreihen untersuchen lässt.
Literatur: [1, S.97-106].
10. Hyperflächen und ihre Zeta-Funktionen (Sonja Spies)
In diesem Vortrag wird zu einer Hyperfläche und einer Primzahl p die entsprechende ZetaFunktion als erzeugende Funktion der Folge der Fpn -wertigen Punkte der Hyperfläche definiert
und einige ihrer Eigenschaften untersucht, insbesondere, dass die Koeffizienten ihrer Potenzreihenentwicklung aus positiven ganzen Zahlen besteht. Ferner wird der Satz von Dwork formuliert, der besagt, dass die Zeta-Funktion einer affinen Hyperfläche eine rationale Funktion
ist und Folgerungen dieses Satzes vorgestellt.
Literatur: [1, S.109-115].
11.+12. Die Rationalität der Zeta-Funktion I+II (Jean-Pierre Freis und Henning
von der Osten-Sacken)
Dieser Doppelvortrag bildet den Beweis von Dworks Satz. Im ersten Teil werden hauptächlich
im späteren Verlauf des Beweises verwendete Hilfsmittel, wie Charaktere des Körpers Ω behandelt. Danach wird gezeigt, dass die Zeta-Funktion eine p-adisch meromorphe Funktion ist
und schließlich die Rationalität mit Hilfe eines Kriteriums zur Rationalität von Potenzreihen
bewiesen.
Literatur: [1, S.116-128].
Literatur
[1] Neal Koblitz p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta-Functions . Second edition.
Springer 1996.
[2] Manfred
Lehn
Wie
halte
ich
einen
Seminarvortrag?
http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag.