Kombinatorische Optimierung WS 2016/17

5. Übungsblatt
Kombinatorische Optimierung
WS 2016/17
Jens M. Schmidt
Aufgabe 1: Schnittmengen
Seien (A, A) und (B, B) minimale st-Schnitte in einem gerichteten (aber ungewichteten) Graphen G. Beweisen Sie, dass dann auch (A ∩ B, A ∪ B) und (A ∪ B, A ∩ B)
minimale st-Schnitte in G sind. Folgern Sie, dass ein inklusions-minimaler Schnitt
(d.h. ein minimaler st-Schnitt (A, A), so dass kein minimaler st-Schnitt (B, B) mit
B ⊂ A existiert) eindeutig ist.
Tipp: Die gerichtete Schnittfunktion δ(X) gibt für jede Knotenteilmenge ∅ =
6 X⊂V
die Anzahl der Kanten an, die in X starten und in X enden. Zeigen Sie zuerst, dass
δ submodular ist.
Aufgabe 2: Eindeutig Flow
Finden Sie einen möglichst effizienten Algorithmus, der bestimmt, ob ein gegebenes
Netzwerk einen eindeutigen minimalen st-Schnitt enthält.
Aufgabe 3: Bergbau, Gold und Diamanten
Sie leiten ein Bergbauprojekt. Die Erde unter Ihnen ist in Blöcke aufgeteilt. Abbaubedingt gibt es Abhängigkeiten, dass wenn Block v abgetragen wird, auch Block
w abgetragen werden muss (z.B. wenn w über v liegt). Sie modellieren die Blöcke
als Knoten eines gerichteten Graphens G. Für jede Abhängigkeit wie oben existiert
eine gerichtete Kante vw (G ist nicht notwendigerweise azyklisch). Durch Probebohrungen kennen Sie für jeden Block v dessen Profit c(v) ∈ R an Bodenschätzen, der
auch negativ sein kann, um die Kosten des Abtragens zu modellieren, wenn v nichts
Verwertbares enthält.
i) Konstruieren Sie einen Hilfsgraphen Gst aus G mit zwei neuen Knoten s, t,
geeignet gewichteten inzidenten Kanten zu s und t, und Kantengewichten ∞
auf E, so dass folgendes Lemma gilt:
Lemma: Eine Teilmenge S ⊆ V hat genau dann keine ausgehende Kante in G,
wenn S + s ein s-t-Schnitt von Gst endlicher Kapazität ist.
ii) Finden Sie eine Knotenteilmenge S ⊆ V maximaler Profitsumme, die alle Abhängigkeiten bedient, d.h. keine ausgehende Kante hat.
Aufgabe 4: Flusszerlegungen
Sei f ein Fluss von G und M die Menge der positiven Flusskanten in G. Dann heißt
f Pfadfluss, wenn M ein st-Pfad in G ist, Kreisfluss, wenn M ein Kreis in G ist und
azyklisch, wenn M keinen gerichteten Kreis enthält.
i) Beweisen Sie, dass es zu jedem Fluss f einen azyklischen Fluss f 0 mit |f 0 | = |f |
gibt (d.h., es gibt immer einen azyklischen maximalen Fluss).
ii) Beweisen Sie, dass jeder azyklische Fluss als Summe von O(m) vielen Pfadflüssen in G geschrieben werden kann.
iii) Zeichnen Sie einen Fluss, der nicht als Summe von Pfadflüssen geschrieben
werden kann.
iv) Beweisen Sie, dass jeder Fluss als Summe von O(m) vielen Pfad- und Kreisflüssen in G geschrieben werden kann.