Aufgaben Runde 1 der Klassenstufe 11/12/13

Lange Nacht
der Mathematik
23./24. November 2012
Aufgaben für die Oberstufe 1. Runde
Liebe Teilnehmer an der „Langen Nacht der Mathematik“, ihr freut euch darauf, in dieser Nacht an
Aufgaben zu knobeln und zu versuchen, mit logischem Denken, mit geometrischem Vorstellungsvermögen, mit schnellem und richtigem Rechnen und Pfiffigkeit einigen Problemen zu Leibe zu rücken.
Dazu ist Ausdauer und Hartnäckigkeit vonnöten. Ihr arbeitet in Gruppen bis zu vier Personen an den
folgenden Aufgaben. In dieser Nacht gibt es drei Runden. Bitte achtet darauf, dass jede Aufgabe zunächst von jedem einzelnen Gruppenteilnehmer bearbeitet und eine Lösung entwickelt wird. Dann
tauscht ihr eure Ergebnisse in der Gruppe untereinander aus, einigt euch auf eine Lösung und schreibt
sie mit der Herleitung und allen Begründungen in euer Heft. Es ist Ehrensache, dass ihr die Aufgaben
löst und nicht die Erwachsenen. In dieser Klassenstufe sind Taschenrechner oder Programme erlaubt.
Damit oder mit Abschreiben/Kopieren aus dem Internet kann aber kein Beweis geführt werden. Bei
Verständnisproblemen in der Aufgabenstellung diskutiert ihr untereinander. Vokabeln kann euch ein
Erwachsener erklären. Sollten die Erwachsenen Fragen haben, gibt es für sie eine Hotline. Um in die
nächste Runde zu kommen, müssen genügend Aufgaben richtig gelöst werden. In der dritten Runde
schickt ihr eure Ergebnisse via Internet an uns ein. Es kann sein, dass ihr in der letzten Runde aufgefordert werdet, den Lösungsweg einzelner Aufgaben aus den vorherigen Runden einzuschicken.
N heißt: natürliche Zahlen (einschließlich der Null),
Z heißt: ganze Zahlen,
Q heißt: gekürzte Brüche z. B. 3/7,
Als Antworttyp gibt es:
R(5) heißt: gerundet auf 5 Stellen, z. B.: -321,01234
Wort(4) heißt: Zeichenfolge mit 4 Zeichen, z. B. 7+ab.
Im Allgemeinen ist eine Stellenanzahl nicht gegeben.
Viel Erfolg.
Aufgabe 1: Waldschlösschenbrücke in Dresden
Ihretwegen geriet das Elbtal auf die Rote Liste des gefährdeten
Welterbes. Der Brückenbogen oberhalb der 140 Meter langen
Fahrbahn (x-Achse) sei ein Teil einer quadratischen Parabel und
habe die Höhe von 13 m (y-Achse). Bestimme die Funktionsgleichung der Form f (x) = a · x2 + b · x + c und gib als Antwort
die Summe a+b+c an.
Antworttyp: R(3)
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Aufgabe 2: Chaos im Sudoku
Fülle die leeren Kästchen mit den Zahlen von
bis
so auf, dass, nach vollständiger Lösung in
jeder Zeile, in jeder Spalte und in jedem der neun
fett umrandeten Bereiche jede Zahl von
bis
genau einmal vertreten ist.
Die Zellen seien jeweils zeilenweise von links
nach rechts (also von 1 bis 9) nummeriert. Von
oben nach unten notiert ergeben die Ziffern der
Zellen, in denen eine 8= steht, eine neunziffrige
Zahl, die als Antwort eingegeben werden soll.
Antworttyp: N
Aufgabe 3: Ein Dreieck
Ein Dreieck ∆ ABC mit |AC| = 5cm, |BC| = 6cm und γ = 56◦ wird durch eine zentrische Streckung
am Punkt Z mit dem Streckfaktor k [ϑ(B;k) ] auf das Dreieck ∆ A’B’C’ abgebildet. Bekannt sei ferner,
dass k>1 und |CC0 | = 2, 5cm sind. Z und B seien 7,26 cm voneinander entfernt und bilden mit C ein
rechtwinkliges Dreieck.
Fertige eine Skizze an und berechne |A0C0 |.
Antworttyp: R(2)
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Aufgabe 4: Mannheims Altstadt
Martina möchte zur Haltestelle am Strohmarkt.
Wie viele verschiedene Wege stehen ihr zur Verfügung, wenn sie - bei Start beginnend - nur den eingezeichneten Straßen entlang und immer nur nach
‚Osten‘ oder ‚Süden‘ gehen darf?
Antworttyp: N
Aufgabe 5: Lineares Optimieren
Ein Schullandheim schafft für maximal 5600e Fahrräder an. Es sollen mindestens 3 Kinderräder für
je 150e und mindestens 6 Jugendräder für je 450e angeschafft werden. Wegen der Altersverteilung
der Gäste soll die Zahl der Jugendräder größer als die Anzahl der Kinderräder sein.
Antworttyp: N
Wie viele Räder können maximal angeschafft werden?
Aufgabe 6: Nicht überall gibt es Grünbrücken
Straßen durch Wälder sind gefährlich, wenn sie in der
Brunftzeit befahren werden. Es ist ein Rehunfall gemeldet
worden. Da der Förster für die Strecke eine Stunde benötigen würde, lässt er sich von seiner Frau zum Unfallort fahren. Den Rückweg macht er zu Fuß. Seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem Rückweg beträgt dabei 6, 5 km
h . Das ist
seinem Jagdhund zu langsam, weil er doppelt so schnell ist
wie sein Herr.
Der Jagdhund läuft zum Forsthaus vor und läuft dann zum Förster zurück. Wenn er den Förster erreicht, dreht er um und läuft in Richtung Forsthaus usw., bis beide gemeinsam im Forsthaus ankommen.
Antworttyp: N
Wie viele Kilometer läuft der Hund?
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Aufgabe 7: Domino
Bei einem Dominospiel dürfen an einen Stein nur Steine
angelegt werden, wenn die berührenden Seiten dieselbe Farbe besitzen. Die Dominosteine seien gleichseitige Dreiecke.
Ein solches Dominospiel mit nur zwei Farben besteht aus
vier verschiedenen Steinen. (Kein Stein darf doppelt vorkommen.)
Aus wie vielen Steinen besteht ein Spiel mit sieben verschiedenen Farben?
Antworttyp: N
Aufgabe 8: Relation
Für die Relation x4 − y4 = 2145 gibt es ein Paar aus N × N .
Antworttyp: N
Wie lautet der y-Wert?
Aufgabe 9: Logarithmen
Berechne alle Lösungen der Gleichung bezüglich der Grundmenge G = R.
2 · log20 x + log20 (x2 + 9) = 2
Antworttyp: N
Aufgabe 10: Der Brei
Susanne hat ihrem Kleinkind Maike einen Brei zubereitet. Kleine Kinder verletzen sich aber fürchterlich, wenn sie zu heißen Brei essen. Der heiße Brei hat zur Zeit t=0 die Temperatur 70◦ C. Er
kühlt durch die umgebende (konstant) 18◦ C warme Zimmerluft ab. Dabei nimmt die Temperatur pro
30 Sekunden um 10% ab.
a) Berechne rekursiv die Temperatur nach 30, 60 und 90 Sekunden.
b) Stelle eine Temperaturgleichung der Form T (t) = c + a · qt auf.
c) Wie hoch ist die Temperatur 10 Minuten nach Beginn der Abkühlungsphase?
d) Wann ist der Brei auf 30◦ C abgekühlt?
e) Berechne die Zeitspanne, in der die Temperatur um die Hälfte der Ausgangstemperatur
(Halbwertszeit für d(T)) abnimmt.
Einzutragen ist die Antwort zu e).
Antworttyp: R(3)
Die Weihnachtsaufgaben können eure Mathematiklehrer/innen ab dem Nikolaustag herunterladen:
www.weihnachtsaufgaben.de
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