Analysis und Lineare Algebra für Informatiker Merkblatt 4a Lineare

Analysis und Lineare Algebra für Informatiker
Merkblatt 4a
Lineare Abbildungen L : R2 → R2
1. Lineare Abbildungen:
Eine Abbildung L : R2 → R2 heißt lineare Abbildung, falls Summen
und skalare Vielfache unter L erhalten bleiben, d.h.
~ 2) = L~a1 + L~a2
L(~
a1 + a
L(k~
a) = kL~a
∀~a1, ~a2 ∈ R2,
∀~a ∈ R2 ∀k ∈ R.
BEISPIELE
(a).
L1(x1, x2)T = (x1, 0)T
(b).
L2(x1, x2)T = (x1, −x2)T
(c).
L3(x1, x2)T = (0, 0)T
(Projektion auf die x1-Achse)
(Spiegelung an der x1-Achse)
(die Null-Abbildung)
2. Der Nullraum:
Sei L eine lineare Abbildung L : R2 → R2. Der Nullraum oder Kern N
von L besteht aus allen Vektoren, die auf den Nullvektor ~0 abgebildet werden:
N = {~x | L~x = ~0}.
N ist entweder die einpunktige Menge {~0} oder ein eindimensionaler Teilraum oder der ganze Raum
R2.
BEISPIELE
(Fortsetzung.)
(a).
N1 = {(x1, x2)T | x1 = 0} = die x2-Achse = L(0, 1)T
(b).
N2 = {(x1, x2)T | x1 = 0, x2 = 0} = {~0}
(c).
N3 = R2
3. Das Bild:
Das Bild, LR2, von R2 unter L ist die Menge aller Vektoren der Form L~x :
LR2 = {L~x | ~x ∈ R2}.
LR2 ist entweder {~0} oder ein eindimensionaler Teilraum oder R2.
BEISPIELE
(a).
(Fortsetzung.)
L1R2 = L(1, 0) = die x1-Achse
(b).
L2R2 = R2
(c).
L3R2 = {~0}
4. Die Singulärwertzerlegung:
Für jede lineare Abbildung L : R2 → R2 gibt es orthonormale
~
~
~ 2} und {b1, b2} und Zahlen σ1 ≥ σ2 ≥ 0 mit
Basen {~a1, a
L~
a1 = σ1~b1
L~a2 = σ2~b2.
Die Struktur von L ist besonders transparent, wenn ~x mit der {ai}-Basis und L~x mit der {bi}-Basis
ausgedrückt wird:
~ 2) = σ1u1~b1 + σ2u2~b2.
~ 1 + u2a
L(u1a
Mit Hilfe dieser Darstellung lassen sich der Nullraum und das Bild von L unmittelbar ablesen:
(i). Wenn σ1 ≥ σ2 > 0
gilt
N = {~0} und
(ii). Wenn σ1 > σ2 = 0
gilt
N = L~a2 und
LR2 = L~b1.
(iii). Wenn σ1 = σ2 = 0
gilt
N = R2 und
LR2 = {~0}.
LR2 = R2.
L bildet den Einheitskreis in eine Ellipse (möglicherweise entartet zu einer Strecke oder einem Punkt)
~ 1 und ~a2 sind die Radiusvektoren des
ab. Die Hauptachsen der Ellipse sind σ1~b1 und σ2~b2 und a
Kreises, die in die Hauptachsen der Ellipse abgebildet werden.
σ1~b1
~1
a
1
2
σ2~b2
0,5
0
0
-1
-0,5
1
0
0,5
-2
1
~2
a
-1
0
-1
-0,5
-2
-1
1
2