Blatt 4 : Einfache zweidimensionale Systeme 1. SIR

Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie
Michael Rosenblum
Nichtlineare Dynamik, WS13/14
Blatt 4 : Einfache zweidimensionale Systeme
1. SIR-Model : Das SIR-Model beschreibt die Dynamik einer Infektion innerhalb einer
Population. Hierbei ist S die absolute Größe des suszeptiblen Teils der Population,
welcher sich potentiell anstecken kann, I beschreibt den infizierten und ansteckenden
Teil der Population und R den recovered Teil, welcher nicht mehr infiziert, und nicht
mehr wiederinfizierbar ist. Die Dynamik der Populationsanteile im SIR-Model lautet
Ṡ = µ (S + I + R) − βSI − µS
I˙ = βSI − (µ + γ) I
Ṙ = γI − µR
mit S, I, R ≥ 0 und µ, γ, β > 0.
(a) Interpretieren Sie die einzelnen Terme der Dynamik
(b) Zeigen Sie, dass die Gesamtpopulation erhalten bleibt und reduzieren Sie die Dynamik auf S und I.
(c) Finden Sie Eine Skalierung x = S/S0 , y = I/I0 und τ = t/T0 derart, dass die Koeffizienten in der Gleichung für dx/dτ eins werden. Die Koeffizienten der Gleichung
für dy/dτ seien die neuen, dimensionslosen Systemparameter a und b.
(d) Die Nullklinen des Systems sind Linien, auf denen dx/dτ oder dy/dτ null werden.
Dort, wo sich die Nullklinen für x und für y schneiden befinden sich die Fixpunkte
des Systems. Zeichnen zwei Diagramme mit den Nullklinen in den beiden qualitativ
unterschiedlichen Fällen.
(e) Welche Bifurkation tritt auf, und unter welcher Bedingung, kann die Infektion
permanent in der Population vorhanden sein?
(f) (*) Zeichnen Sie eine Karte des Parameterraumes und markieren Sie die Bereiche, in denen die Infektion permanent im System bleibt bzw. der entsprechende
Fixpunkt qualitativ unterschiedliche Eigenschaften hat.
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