Aufgaben - Institut für Theoretische Physik (Frankfurt)

Dr. J. Reinhardt
Wintersemester 2014/15
Theoretikum zur Vorlesung
Theoretische Physik III für Lehramtskandidaten
Blatt 7
Aufgabe 1 (DeBroglie-Wellenlänge)
h
. Benutzen Sie
p
die Energie-Impuls-Beziehung um zu berechnen, welche Wellenlänge (in Angström) ein
Elektron der kinetischen Energie T (in Elektronenvolt) besitzt
a) nichtrelativistisch (T ≪ mc2 ),
b) relativistisch (T ≃ mc2 ),
c) extrem relativistisch (T ≫ mc2 ).
Zahlenwerte: h = 6.626 · 10−34 Js, m = 0.511 · 106 eV/c2 , 1eV = 1.602 · 10−19 J, 1Å =
10−10 m.
Die deBroglie-Wellenlänge von Materiewellen ist gegeben durch λ =
Aufgabe 2 (Klassischer Limes des Wasserstoffatoms)
In der quantenmechanischen Beschreibung des Wasserstoffatoms kann das Elektron nur
diskrete Energiezustände
En = −ER
1
n2
mit der Rydberg-Energie ER =
m
e4
2h̄2 (4πǫ0 )2
annehmen, wobei die Quantenzahl n = 1, 2, . . . eine ganze Zahl sein muss. Ein angeregtes
Atom kann Strahlung abgeben, indem es von einem Anfangszustand ni zu einem Endzustand nf < ni “springt” und dabei ein Photon der Energie h̄ωf i = Eni − Enf emittiert.
a) Wie groß ist die Frequenz der Quantenstrahlung beim Übergang zwischen zwei benachbarten Energiezuständen, ni = n und nf = n − 1? Was ergibt sich im Grenzfall sehr hoher
Quantenzahlen n → ∞?
b) In der klassischen Physik bewegt sich das Elektron auf einer Trajektorie (Kepler-Bahn)
um den Kern herum, wobei beliebige Energiewerte möglich sind. Wie groß sind Bahngeschwindigkeit v und Winkelgeschwindigkeit ωkl bei vorgegebenem Abstand r vom Kern?
Der Einfachheit halber sollen nur Kreisbahnen betrachtet werden.
c) Welche Abstände rn gehören zu den von der Quantenmechanik erlaubten Energiezuständen En ?
d) Zeigen Sie: Im Limes n → ∞ stimmt die zum Abstand rn gehörende klassische Umlaufsfrequenz ωkl mit der in a) berechneten quantenmechanischen Übergangsfrequenz n → n−1
überein.
Aufgabe 3 (Der Compton-Effekt)
Beim Compton-Effekt streut elektromagnetische
Strahlung an geladenen Teilchen (z.B. Elektronen). Dabei kann der Prozess so beschrieben werden: Ein Photon mit Energie Ek = h̄ω und Impuls
p~k = h̄~k wird von einem ruhenden Elektron absorbiert. Anschließend wird ein Photon mit veränderter Energie Ek′ = h̄ω ′ und Impuls ~pk ′ = h̄~k ′ unter
einem Winkel θ emittiert und das Elektron bewegt
sich mit Energie E ′ und Impuls ~p ′ unter einem
Winkel φ.
y
Photon
®
k’
Photon
®
k
q
f
x
®
p’
Elektron
Zeigen Sie, dass das auslaufenden Photon eine verringerte Frequenz (ω ′ < ω) bzw. vergrößerte Wellenlänge (λ′ > λ) aufweist, gemäß der Compton-Formel
λ′ − λ =
h
(1 − cos θ) .
mc
Hinweis: Benutzen Sie die relativistische Bedingung für die Energie-Impuls-Erhaltung
p + pk = p′ + p′ k mit den Viererimpulsen p = (mc, ~0 ), pk = (h̄ω/c, h̄~k) vor dem Stoß und
p′ = (E ′ /c, ~p ′ ), p′ k = (h̄ω ′/c, h̄~k ′ ) nach dem Stoß. Dabei sind noch die relativistischen
Energie-Impuls-Beziehungen für Elektronen bzw. Photonen zu beachten: p · p = p′ · p′ =
m2 c2 und pk · pk = p′ k · p′ k = 0.