Beispielklausur

Quantenmechanik I
Prof. Dr. Michael Bonitz
Abschluss-Klausur (Beispiel)
I. Theoriefragen (20 Punkte)
1. Bei der Begründung der quantenmechanischen Wellengleichungen wird die
Analogie zu freien elektromagnetischen Wellen ausgenutzt. Der Ansatz für
die Wellenfunktion freier Teilchen (Formel 1) führt dann auf die zeitabhängige
Schrödingergleichung. Demonstrieren Sie das. Zeigen Sie danach, welche
Form die Schrödingergleichung für Teilchen mit der Dispersion E(p) = α · p4 ,
α =const, haben würde. (5 Punkte)
2. Berechnen Sie die Kommutatoren [x̂3 , p̂2y ] und [L̂x σ̂z , σ̂x L̂y ], sowie den Aus−[r̂ ,
∂
]
druck e k ∂rl , k, l = x, y, z. Geben Sie für den zweiten Fall die Struktur
des Hilbertraums (der Zustandsvektoren) an, in dem die betreffenden Operatoren wirken (Spin-Bahn-Kopplung sei vernachlässigt). (7 Punkte)
3. Der Pauli-Hamiltonian ist die Summe eines spinfreien und eines spinabhängigen Anteils. Mit der Annahme, dass beide kommutieren (wann ist das
der Fall? Man gebe dafür eine hinreichende Bedingung an.), lässt sich die
zeitabhängige Pauligleichung deutlich vereinfachen. Demonstrieren Sie das.
Hinweis: man verwende einen Produktansatz für die zeitabhängige Spinorwellenfunktion (s. Formeln 3). (8 Punkte)
II. Aufgaben (25 Punkte)
1. Ein Teilchen befindet sich im Potential U (x), das gegeben ist durch U =
U0 , (a ≤ x ≤ b; c ≤ x ≤ d), U = ∞, (x ≤ 0; b ≤ x ≤ c) und U =
0, (0 ≤ x ≤ a; x ≥ d). Formulieren Sie die Lösung der Schrödingergleichung
für dieses Problem (Ansatz). Welche Struktur besitzt die Wellenfunktion
im Bereich −∞ < x < ∞? Welche Bedingungen sind an die Koeffizienten zu stellen, wie lautet die Normierungsbedingung und welche Aussagen
lassen sich zu den Energie-Eigenwerten treffen? Skizzieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ρ(x) für einen typischen Fall (für einen fixierten
Energie-Eigenwert). (10 Punkte)
2. Man berechne für das Wasserstoffatom im 2s-Zustand (s. Formeln 2) den
Erwartungswert der Wechselwirkungsenergie des Elektrons mit dem Kern
sowie den Erwartungswert des Operators ~ˆr. (5 Punkte)
3. Ein Elektron befinde sich im Grundzustand eines wasserstoffähnlichen Ions
(Z-fach positiv geladener Kern), das radioaktiv instabil gegen α−Zerfall ist.
Man berechne mit Hilfe der stationären Störungstheorie die Korrektur zur
Grundzustandsenergie, die entsteht, wenn der Kern ein α−Teilchen (Heliumkern) emittiert. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Resultat für
einen (Z − 2)−fach geladenen Kern. Diskutieren Sie, wie die Genauigkeit
der Störungsrechnung von Z abhängt. Die Änderung der Masse des Ions
sowie Abweichungen von der Punktform des Kerns sind zu vernachlässigen.
Hinweis: das Störpotential bestimmt man aus der Differenz der Hamiltonoperatoren nach bzw. vor der Emission (vgl. Formeln 2). (10 Punkte)
III. Formeln
i
1. Wellenfunktion eines freien Teilchens: Ψ(~r, t) = Ψ0 e h̄ (−Et+~p~r)
2. Wasserstoffähnliches Atom (Ion): 1s- und 2s-Wellenfunktion:
ψ1,0,0 (~r) =
1/2
1
πa30
R∞
Hilfsintegral:
e−ρ ;
ψ2,0,0 (~r) =
dx xk e−βx =
0
3. Pauligleichung:
=
1
8πa30
1
2m
ER =
~
pˆ~ − ec A
Eigenzustände des Operators ŝz : χ+ =
Pauli-Matrizen: σ̂x =
1/2 1−
ρ
2
e−ρ/2 , ρ =
r
a0
k!
,
β k+1
Energieeigenwerte: En = − n12 ER ,
ih̄ dtd |ψi
0 1
1 0
!
, σ̂y =
2
mZ 2 e4
2h̄2 (4π0 )2
+ eφ −
1
0
=
Ze2
4π0 2a0
e
~ ~ˆs
gB
2mc s
!
und
0 −i
i 0
χ− =
!
, σ̂z =
|ψi
0
1
!
1 0
0 −1
!
,
Der Spinanteil der Wellenfunktion genügt im homogenen Magnetfeld der Gleiˆ χ(t).
~ ~σ
chung ih̄ dtd χ = −sign(e)µB gs B