Lineare Algebra: Übungsblatt 2

Prof. Dr. A. Beliakova
Herbstsemester 2010
Lineare Algebra: Übungsblatt 2
Abgabe bis Montag, 4. Oktober 2010, 13:00 Uhr im Fächlein des Assistenten.
Aufgabe 1 (1 Punkt).
(a) Beweise mittels Induktion, dass für jedes n ∈ N die folgende
Formel gilt:
n
X
k=1
k3 =
n X
2
l .
l=1
(b) Was stimmt nicht mit dem folgenden Beweis? Wir zeigen dass alle Menschen Mathematiker sind. Dafür zeigen wir mittels Induktion, dass für jedes n ∈ N, in einer
Menge aus n Menschen, die mindestens einen Mathematiker enthält, stets sogar alle
Elemente Mathematiker sind. Für n = 1 stimmt die Aussage. Also ist die Induktionsverankerung erfüllt. Nehmen wir nun an, dass jede Menge aus n Menschen nur aus
Mathematikern besteht. Gegeben sei nun eine Menge M von n + 1 Menschen. Für eine
beliebige Teilmenge von M mit n Menschen gilt gemäss Induktionsvoraussetzung,
dass jeder darin bereits ein Mathematiker ist. Wir tauschen nun den (n + 1)-ten
Menschen mit einem beliebigen anderen Menschen der Teilmenge aus. Es folgt, dass
auch dieser Mensch ein Mathematiker ist.QED.
Aufgabe 2 (1 Punkt). Welche der folgenden Relationen auf R sind symmetrisch, transitiv
oder reflexiv?
(a) R = ∅
(b) R = {(x, y) ∈ R2 |y = 0}
(c) R = {(x, y) ∈ R2 |xy + 1 = 0}
(d) R = {(x, f (x)) ∈ R2 | x ∈ R und f : R → R eine Funktion }
Aufgabe 3 (1 Punkt).
(a) Sei R eine Relation auf den reellen Zahlen und betrachte R als
Teilmenge der (x, y) -Ebene. Erkläre die geometrische Bedeutung der symmetrischen
und der reflexiven Eigenschaft.
(b) Seien R1 und R2 zwei Äquivalenzrelationen auf M. Sind R1 ∩ R2 ⊂ M × M und
R1 ∪ R2 ⊂ M × M ebenfalls Äquivalenzrelationen?
Aufgabe 4 (2 Punkte).
(a) Finde alle Untergruppen von (Zn , +).
(b) Sei Rn = {e2π ik/n |k ∈ Z}. Überzeuge Dich, dass Rn eine Gruppe ist. Gibt es einen
Homomorphismus von (Zn , +) nach (Rn , ·)? Falls ja, ist er bijektiv?
Aufgabe 5 (1 Punkt). Beweise, dass die Menge der rationalen Zahlen Q abzählbar ist.
Aufgabe 6 (2 Punkte). Sei X eine Menge und sei A∆B Í (A \ B) ∪ (B \ A). Zeige:
(a) Es gilt A∆B = (A ∪ B) \ (B ∩ A).
(b) Die Menge aller Teilmengen von X bildet zusammen mit ∆ und ∩ einen Ring.
Aufgabe 7 (2 Punkte). Zeige, dass es keinen Körper mit sechs Elementen gibt.