Elektrodynamik
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Ein Skript der Vorlesung Experimentalphysik 2 Elektrodynamik (studentische Mitschrift der Vorlesung) Prof. Winfried Petry TU München 2. Semester, SS 2000 Datum: 01.03.2001 von Michael Wack, Christoph Moder, Manuel Staebel (© 2000) http://www.skriptweb.de Hinweise (z.B. auf Fehler) bitte per eMail an uns: [email protected] – Vielen Dank. Seite 2/57 Inhaltsverzeichnis 1.6 Anwendungen des Gaußschen Satzes und der Wirbelfreiheit..........................................3 1.6.1 Plattenkondensator....................................................................................................3 1.6.2 Koaxkabel.................................................................................................................4 1.6.3 Homogen geladene Kugel.........................................................................................5 1.6.4 Frei bewegliche Ladung (Leiter) im E-Feld..............................................................5 1.6.5 Faradayscher Käfig...................................................................................................6 1.6.7 Influenz.....................................................................................................................7 1.7 Energiedichte des elektrischen Feldes..............................................................................8 1.8 Abschirmung des E-Feldes in leitenden Medien..............................................................9 Quantitativer Zusammenhang..........................................................................................11 C.2 Dielektrikum im elektrostatischen Feld..............................................................................13 2.1 Dieletrizitätskonstante....................................................................................................13 2.2 Dielektrische Verschiebung D........................................................................................15 2.3 Orientierungspolarisation...............................................................................................18 C.3 Elektrischer Strom..............................................................................................................20 3.1 Klassifizierung von (elektrischen) Leitern.....................................................................21 Supraleitung.....................................................................................................................21 3.2 Ionenleitung in Elektrolyten...........................................................................................22 3.3 Elektromotorische Kraft.................................................................................................22 3.4 Galvanisches Element, Batterie......................................................................................22 3.5 Austrittsarbeit gegen Vakuum, Thermospannung..........................................................24 „Thermoelektrische“ Spannungsreihe.............................................................................25 3.6 Kirchhoffsche Regeln.....................................................................................................26 C.4 Das magnetische Feld.........................................................................................................28 4.1 Quellenfreiheit des magnetischen Feldes, Zirkulation des magnetischen Feldes...........30 Anwendung des Ampèreschen Gesetzes.........................................................................31 Typische Magnetfelder....................................................................................................31 4.2 Biot-Savartsches Gesetz.................................................................................................31 4.3 Hall-Effekt......................................................................................................................32 4.4 MHD-Generator (Magnetohydrodynamischer Generator).............................................33 4.5 Generator + Motor..........................................................................................................33 4.6 Zyklotronfrequenz..........................................................................................................34 4.7 Das Faradaysche Induktionsgesetz.................................................................................34 4.8 Zum Vorzeichen im Faradayschen Induktionsgesetz bzw. der Lenzschen Regel..........35 4.9 Relativistischer Zusammenhang zwischen E- und B-Feld.............................................36 4.10 Beispiele zum Induktionsgesetz...................................................................................37 4.11 Selbstinduktion.............................................................................................................38 4.12 Magnetische Feldenergie..............................................................................................39 4.13 Schwingkreis................................................................................................................40 Komplexer Wechselstromwiderstand..............................................................................41 4.14 Erzwungener Schwingkreis..........................................................................................42 Leistungsabgabe am ohmschen Widerstand für Wechselstrom.......................................43 C.5 Materie im Magnetfeld.......................................................................................................44 Was verursacht auf mikroskopischer Ebene m?..............................................................44 Welche Kräfte wirken auf magn. bzw. elektr. Dipolmoment?........................................44 5.1 Paramagnetismus............................................................................................................45 5.3 Feldgleichungen (für Dia-, Para-, Ferromagnetismus)...................................................48 http://www.skriptweb.de 1.6 Anwendungen des Gaußschen Satzes und der Wirbelfreiheit Seite 3/57 5.4 Diamagnetismus.............................................................................................................49 C.6 Maxwellsche Gleichungen, elektromagnetische Wellen....................................................51 6.1 Maxwellsche Gleichungen.............................................................................................51 6.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum........................................................................51 6.3 Intensität der elektromagnetischen Welle, der Poynting Vektor....................................53 6.4 Elektromagnetische Welle in Materie............................................................................53 6.5 Reflexion einer elektromagnetischen Welle...................................................................53 6.6 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Metallen, Skineffekt................................55 6.7 Strahlung eines oszillierenden Dipols............................................................................57 1.6 Anwendungen des Gaußschen Satzes und der Wirbelfreiheit 1.6.1 Plattenkondensator Zunächst: unendlich ausgedehnte Platte, positiv geladen + + + + + + + + + - - + -- + -+ + + + + + + + + Kondensator Gaußscher Satz: ADeck E Deck ARück E Rück Q 2 ASeite E Seite E 0 1 2 0 Q A 1 2 0 ; : Ladung pro Fläche - K o n d e n s ato - r d + + + + + + + + S u p e rp o s itio n E 1 ; 0 Spannung = Potenzialdifferenz = Arbeit, welche benötigt wird, die beiden Platten zu trennen. U E d oer 0 d d 0 . http://www.skriptweb.de A Q Q U d 0 A C Kapazität Farad "! Coulomb Volt # As Volt 1.6 Anwendungen des Gaußschen Satzes und der Wirbelfreiheit Parallelschaltung Seite 4/57 Serienschaltung - C2 + + + + + + + + C1 gleiche Ladung gleiche Spannung Q $ Q1 % Q 2 & C1 U C . C1 / C 2 ' C2 U (*) U C1 + C 2 , U 1 C 0 U1 1 U2 2 7 1 C1 8 Q C1 3 Q C2 1 C2 1.6.2 Koaxkabel Einfaches Kabel, unabgeschirmt: einfaches, ungeschirmtes Kabel + + + + + + + + + + + Zylindervolumen + + + + + Leiter, unendlich lang Gaußscher Satz: 9 E : d ;A Zylinderboden < E = d >A ? Zylindermantel l @BA C ; 0 d DA : Vektor in Richtung E n (Flächennormale); l JLK l EG2 H r lI M ; EN ; 2 OQP 0 r 0 F : Ladung pro Länge abgeschirmtes Kabel: geschirmtes Kabel + Superposition des E R -Feldes http://www.skriptweb.de S kein Feld außen; innen doppeltes Feld 4 Q 1 C1 5 1 C2 6 1.6 Anwendungen des Gaußschen Satzes und der Wirbelfreiheit X r2 U U E d Vr T W Y[Z r1 C ` Q U r2 0 r1 bdc l e a ln f[g 0 1 dr r hjiQk 0 r2 r1 ln 1 \ ln ]_^ 0 Seite 5/57 r2 ; r1 l r2 ; r1 1.6.3 Homogen geladene Kugel a) r l R 0 : analog zur Gravitation kann die homogen verteilte Ladung auf der Kugel als im Zentrum vereint gesehen werden. 1 p Q Em ; 4 n[o 0 r 2 R0 b) r q r R 0 : Gaußscher Satz E d sA t E u 4 E r E 1 r2 0 r 1.6.4 Frei bewegliche Ladung (Leiter) im E-Feld Metallischer Leiter http://www.skriptweb.de z 1 4 {_| 0 } v Q~ r ; R 30 r 2 w x Q r3 3 0 R0 y 1.6 Anwendungen des Gaußschen Satzes und der Wirbelfreiheit freie Beweglichkeit der Ladungsträger Einstellung des Kräftegleichgewichts = Kräftefreiheit bei Anlegen des E-Feldes ++++++ + + ++ ++ + + ++ + + + +++ + + E 1 0 0 E-Feld im Inneren = 0 wegen Gaußschem Satz eingeschlossene Ladung = 0 sein! alle Ladungsträger auf äußerer Oberfläche Leiteroberfläche = Äquipotenzialfläche E Oberfläche 0 , Q A E E Oberfläche ; 0 0 Q 4 +++++++ E ++ + metallischer Leiter im E-Feld Für Kugel: Seite 6/57 0 R 2 0 R0 ; : Potenzial Verallgemeinerung: E auf Äquipotenzialfläche (ohne Beweis, für jede Oberfläche) R Die elektrostatische Feldstärke ist umgekehrt proportional zum Krümmungsradius. Beispiel hierzu: Feldionenmikroskop fluoreszierender, leitender Schirm z.B. Wolfram Einkristallspitze Vakuum-Pumpe + Leiter hohe Spannung Erstes Mikroskop mit atomarer Auflösung! 1.6.5 Faradayscher Käfig E-Feld verschwindet in jedem (metallischen) Leiter, sofern er keine Ladung enthält. http://www.skriptweb.de muss 1.6 Anwendungen des Gaußschen Satzes und der Wirbelfreiheit Seite 7/57 Gedankenexperiment massiver metallischer Leiter Loch +++ --- Weg für Zirkulation ¡ Bisher bekannt wegen Gaußschem Satz. Gesamtladung auf Hohlrauminnenfläche = 0 ¢ Kann z.B. durch Verteilung positiver und negativer Ladung realisiert werden £ wegen Wirbelfreiheit ª da auf eingezeichnetem Weg kein Betrag zur Zirkulation erlaubt « gedachte Ladungstrennung nicht möglich ¬ Hohlraum auch E-Feld frei ­ Faradaykäfig ¤ d ¥s E § d ¨A © 0 rot E ¦ 1.6.7 Influenz ® Plattenkondensator Im Metall findet Ladungstrennung statt zum Aufbau des kompensierenden E i : --- - + + + - + + - ¯ leitendes Objekt durchschneide Metall und räumliche Trennung http://www.skriptweb.de + + + + + 1.6 Anwendungen des Gaußschen Satzes und der Wirbelfreiheit --- + - + + ° Seite 8/57 - + + + + + nehme Metall aus Plattenkondensator ± --- + + + + + Influenzladung + + - + - + - + - - Influenzladung 1.7 Energiedichte des elektrischen Feldes ¹»º r0 µ W el ² U pot ³ ´ F d ¶s · 4 r’ ¼¾½B¿ÁÀÃr’’ Â Ä È ¸ Å [ Æ 0 Ç r’ ÉËr’’ Ê Ì d V’ d V’’ ; im Prinzip bekannt, hier für allgemeinen Fall der Ladungsverteilung http://www.skriptweb.de 1.7 Energiedichte des elektrischen Feldes Seite 9/57 dV’ î r’ ïñr’’ ð ì dV’’ r’ í r’’ 0 Ursprung Frage: Gibt es allgemeinen Zusammenhang zwischen Energiedichte und Feldstärke? Speziell: Plattenkondensator 2 Ñ 2 2 Q q 1 1 E 0A d 1 2Ô 1 2 Ð 2 d W el Í U d qÎ d qÏ CQ E 0V Õ CU ; Ò Ó 2 2 2 2 0 C 0 A bekannt: Q Ö E Þ A , C ÛÝÜ 0 d Q C. U ß ×ÙØ 0 Ú A, Ohne Beweis: gilt allgemein für Energiedichte eines beliebigen E-Feldes W el V à 1 2 E 2 á 0 1.8 Abschirmung des E-Feldes in leitenden Medien â ã -Feld (bzw. Potenzial bisher nur E é für viele Anwendungen ( ë Wie sehen die Feldverteilungen im Medium aus? Gedankenexperiment: http://www.skriptweb.de ê äæå ç r è ) im Vakuum behandelt Biophysik) ist dieser Ansatz zu eng 1.8 Abschirmung des E-Feldes in leitenden Medien Seite 10/57 + ++ ++++ ++++ ++ leitende Fl. (NaCl-Lösung) Isolation Wand + Na neutrale Flüssigkeit + Na + Na + Na Cl- ++ + Cl- Cl- Cl- ++ http://www.skriptweb.de Cl- ++ ++ - Cl- 1.8 Abschirmung des E-Feldes in leitenden Medien Seite 11/57 + + im Vakuum im Vakuum Quantitativer Zusammenhang Näherung: Kugel groß, Krümmung zu vernachlässigen Weit weg von der Kugel: n+ ò x ó ô n- õ x ö ÷ n ø ù ú Annäherung positiver Ionen an die Kugel hängt ab vom Verhältnis U pot thermischen Energie k B T : n + x n e U+ kBT U+ kBT q n e $ q x kBT û q üBýæþ x ÿ ; %&' x ( kB)T ; n x n e n ! " #e (wie barometrische Höhenformel: Boltzmannverteilung) - n- n9 : ; x n+ für k B T * q +-,/. x 0 („hohe“ Temperatur, Zimmertemperatur ist bereits relativ hoch) e-Funktion entwickeln: q 243 q 748 exp 1 16 ; kB T 5 kB T http://www.skriptweb.de zur 1.8 Abschirmung des E-Feldes in leitenden Medien < =?> x @BA q C n+ D x EBF n- G x H qJ n I Seite 12/57 q P4QSR x T kB T 1O KML?N n 1Z VMWYX U q [4\ kB T ; h/i ]_^ x `badc n 2 q2 xj ; kB T eMf?g k E lnm grad o p qnrtsbu und div E Eindimensionales Problem: { v dy dE und E wnx dx z | 0 dx 0 d } 2 ~ d x ? x 2 d x d 2 dx 0 x 2 2 q2 n -Y 0 kB T Ansatz: x D x Bd 0 e ; x¢ d 1 0 §©¨ e ª dx £ D 2 ¤ ¥/¦ 2 S¡ x D ¬ « 2 q2 n ­-®?¯ ° 0 kB T ³ 0 ´©µ e¶ x D ; · ± ² Debyesche Abschirmlänge: 0 º kB » T ¹ D¸ 2 q2 ¼ n ½ ¾ ¿ Beispiele: DNS - - Ohne Beweis: Potenzialverlauf Beispiel: Fremdatome im Metall http://www.skriptweb.de À - 1 Á r (Vakuum) -  1 à r eÄ rÅ D (Medium) 4 x ; C.2 Dielektrikum im elektrostatischen Feld Seite 13/57 C.2 Dielektrikum im elektrostatischen Feld 2.1 Dieletrizitätskonstante - + Ladung auf Kondensator unverändert: C ( Ë r Æ QÇ U ; C ist größer geworden. È Dielektrizitätszahl: CH ÉÊ CV relative Dielektrizitätskonstante) Atomistische Erklärung: Ì E - - x - - - + - - induziertes Dipolmoment Í E + http://www.skriptweb.de Ausrichtung permanenter Dipole 2.1 Dieletrizitätskonstante - + + + + + + + + + + + Seite 14/57 + + + + + + + + + + Oberflächenladung sättigt einen Teil der Feldlinien ab und schwächt so das äußere Feld. - Polarisation (Beschreibung durch ...) Î p Ï q Ð ÑÒÔÓÖÕ×ÐÙØ 0 Ú E ; Ü : Polarisierbarkeit Û n polarisierte Atome pro Volumeneinheit Ý ß an den Oberflächen entsteht Flächenladungsdichte Þ p : A cot ã ná qâ n å q æèçêé n p ; A: Kondensatorfläche p à ä A Definition: Polarisation (einer Probe, eines Dielektrikums) = Dipolmoment der Probe pro Volumeneinheit. Kondensatorinhalt: Ladung mal Abstand: ë4ì ò P ó ôèõdö ÷ ø n ù ú p Vektor in Feldrichtung p í A îðï L ñ p ; P û P n ÿý ü þ 0 E ; = dielektrische Suszeptibilität Ohne Beweis: Für dicke Medien: Clausius-Mosotti: n X n ; 1 3 Ohne Dielektrikum: Mit Dielektrikum: E p V p 0 P !#"%$'& E 0 0 E( E . 1 /%0213 E 0 ; http://www.skriptweb.de 0 p V 0 ; ; 0 E ) E 0 *+-, E ; V : Ladungsdichte auf den Platten 2.1 Dieletrizitätskonstante Seite 15/57 E0 1 56 ; E 4 Wegen E 7 U 8 d (Kondensator!) ist E 0 U 0 Q ; CV CM . E 9 U : Q < C M = C V >@? CM 1 DE ; C V A@BCA 2.2 Dielektrische Verschiebung D Wir definieren einen Vektor D F in Richtung von E G , dessen Betrag gleich der Flächendichte der erzeugenden Ladung ist: HJI K L M , N D DO E P dielektrische Verschiebungsdichte Q D RTS C 2 m As 2 m U ; V , W , E X : Zusammenhang D QV A U; ^ Q V Y[Z 0 \ d ] A a _ ` 0 U b D c V d@e 0 E; f D V g@h 0 E i Mit Dielektrikum vergrößert sich – bei gleicher angelegter Spannung U – die Flächendichte der Ladung an den Kondensatorplatten wegen C M j@kml C V um den Faktor n . D M oaprqsp 0 t E u Beim Übergang vom Vakuum ins Dielektrikum hat man v { P |%}~ 0 E 1 0 0 E w durch xyx 0 DV ; E D D D V P ; : einfache Formulierung von Feldgleichung Grund zur Einführung von D 1 E d A dV d A D dV F 0 V http://www.skriptweb.de E z zu ersetzen. 2.2 Dielektrische Verschiebung D Seite 16/57 % ; div D Folgerungen: + + + + + + · » E E + + + + + + ---¹ ½ ¼ ¸ D D d d U º const U ¾ const U E¡ EV £ E M ; d ¢ QM QV ; DV ¥ ; D M ¦¨§ DV ; DM ¤ A A ² D© Q A ª D V ¬[­ EM D M « DV ; E V ® D M ¯@°±° 1´ EV ; ³ 0 ---- 0 EM ; Für die Erzeugung der D µ -Linien sind die wahren Ladungen des Kondensators verantwortlich; für die Erzeugung der E ¶ -Linien sind die nicht kompensierten freien Ladungen des Kondensators verantwortlich. Die Tangentialkomponente des E-Feldes verläuft an der Grenzfläche Vakuum/Dielektrikum stetig, während die des D-Feldes einen Sprung aufweist. Z.B. Grenze zwischen zwei Dielektrika: http://www.skriptweb.de Die Normalkomponente des D-Feldes verläuft an der Grenzfläche Vakuum/Dielektrikum stetig, während die des E-Feldes einen Sprung aufweist. 2.2 Dielektrische Verschiebung D Seite 17/57 D ¿ ist stetig D 2 ÀÂÁ D 1 à D Ä unstetig D 2 ÅÇÆÉÈÊ 2 1 D1 ò D1 î ð D1 ó 1ï 1 2ñ 5 D2 D2ô D2õ E Í ist unstetig E 2 ÎÂÏÑÒÐ E1 û E2ü E2ý å dq ; d D ëaì±ì A http://www.skriptweb.de 0 E1 Ó ø ö 1÷ 1 2ù 5 tan Ù 1 Ü 1 tan Ú 2 Û Ý 2 Wichtig: D Þ 1 , 2 bleibt ß zu E à 1, 2 d W el á dDê 2 E1 ú E1 E2 1 E Ô stetig E 2 Õ×Ö E1 Ø d E; í Energiedichte im Kondensator: U d qâ E d d qã E d Ad Dä 1 1 2 é EV d Dæ E D V; 0 E 2 çèç 2 Ë D1 Ì 2.3 Orientierungspolarisation Seite 18/57 W 1 E D; V þ 2 2.3 Orientierungspolarisation Beitrag zweier Prozesse im Dielektrikum: a) Verschiebungspolarisation, Wärmebewegung kaum/kein Einfluss, da Verschiebung instantan (10-15 sec) im Vergleich zur Wärmebewegung (10-12 sec): ÿ verschieb pVerschiebung elektronische T-unabhängig; 10 33 C m (typisch!) 1,1 A b) Orientierungspolarisation: Beispiel H2O O 2- 104° H+ H+ permanentes Dipolmoment auf Grund der Ladungsverteilung im Molekül pOrientierung 1,1 10 10 m 1,6 10 19 C 10 29 C m pOrientierung pVerschiebung ; Brownsche Molekularbewegung stört Ausrichtung der permanenten Dipolmomente im äußeren E -Feld.; orient stark T-abhängig C Cl 2 H 2 stark T-abhängig p C Cl H 3 C Cl 4 CH 4 hochsymmetrisch kein perm. Dipol 1 T Achtung CO2: O C O kein permanentes Dipolmoment Anwendung: Pyroelektrizität: Viele Mineralien zeigen bei Temperaturänderung an ihren entgegengesetzten Enden Ladung. Ursache: Orientierungspolarisation auf molekularer Ebene; bei Normaltemperatur bereits Orientierungspolarisation vorhanden: Kompensation durch Anlagerung freier Ladungsträger in „feuchter“ Luft. T-Absenkung Orientierungspolarisation wächst in trockener Atmosphäre, Unterschuss an kompensierender Ladung E äußeres E -Feld T-Erhöhung in trockener Atmosphäre http://www.skriptweb.de umgekehrter Prozess Überschuss an 2.3 Orientierungspolarisation Seite 19/57 kompensierender Ladung E-Feld umgekehrt gepolt Piezoelektrizität: Beispiel Quarzkristall SiO2,, ebenfalls polar Si ! Projektion in Ebene + " O- O- Si + Si + zur optischen Achse Helix-förmige Anordnung der Atome elektrische Neutralität im ungestörten Fall O- Druck # zur optischen Achse: Si + O Si+ - O- Si Si+ + O- O- O- Si + Si + O- longitudinaler Piezoeffekt $ transversaler Piezoeffekt Anlegung von Druck erzeugt Spannung % Anlegung einer Spannung verursacht mechanische Umformung & Anlegung einer Wechselspannung, Schwingung in Resonanz, Ultraschallgeber, Eichmaß für Frequenzen Anlegung einer Gleichspannung: mechanisches Stellglied z.B. in Kraftmikroskop Messung einer Spannung: Druckmessung ' ( http://www.skriptweb.de C.3 Elektrischer Strom Seite 20/57 C.3 Elektrischer Strom * ) Stromdichte j = Zahl der Ladungen / sec + n , q - .v / j 01 2 nq v ; 3 v4 5 Mittlere Geschwindigkeit; Achtung: durch Einheitsfläche 0 im Gleichgewicht. Driftgeschwindigkeit: Strom aus geschlossener Fläche muss Ladungsänderung in umschlossener Fläche entsprechen. dQ d jd A dV; dt dt A 6 7 8:9 ;=< > ? @ Ohmsches Gesetz: U R I ; 1 V 1 Ohm 1 ; A Siemens A G R 0 CED F l ; A spezifischer Widerstand 0 N O R P Q S U IT ; R UWV R 1 r 0 0 B K HJI L cm ; Achtung: Ladungsdichte M ! spezifische Leitfähigkeit X YWZ 1 l ; A 0 0 0 ; I A [R\ U ; l 0 ] j ^W_ E` acbed v fhg Ei ; 0 j Mikroskopisches Modell für Ohmsches Gesetz: k zunächst Elektronen als Ladungsträger l s thermische Bewegung von e- in Leiter ohne E -Feld, t y z q { E| t }v~ m Anlegen des E -Feldes: Integration d v m q E v dt u v w x 0 m vn o 0 (Achtung pvq r 2 0 !) ; Interpretation der Zeit t als Beschleunigungszeit zwischen zwei Stößen an Ionenrümpfen: t q E mittlere Driftgeschwindigkeit v m q v Beweglichkeit m E c e J R Verallgemeinerung auf ionische und elektronische Leiter: n q Jev E 0 http://www.skriptweb.de e n+ ¡ + n- ¢ £ - ¤ ¥ m + e2 n+ + n- ¦ - m- ; C.3 Elektrischer Strom Seite 21/57 § Elektrische Leistung: geleistete Arbeit deim Durchlaufen einer Potenzialdifferenz W el U q mit dq dW U2 2 ; U I P I R I dt dt R Diese Leistung wird im Widerstand des Verbrauchers verzehrt. ª © ¨ « ­ ® ¬ ¯ ° ± 3.1 Klassifizierung von (elektrischen) Leitern ² Isolatoren ´ Leiter ³ Halbleiter Supraleiter » pro Atom Metalle: nur ein e- an Leitung beteiligt NA 1 6,02 1023 0,97 e ne 2,5 1022 ; 3 M 23 cm g cm 3 ¶¸· µ ¾ ¿ÁÀ n ÅÇvÆ - m- e - e e 2 ÈÊÉ º ¹  3 à 10Ä 14 ½ ¼ s mittlere freie Weglänge m 10 s 6 Ë Ì 300 A Konstantan: 25 % Nickel, 75 % Kupfer Supraleitung Kamerlingh-Onnes (1911) Einige elementare Metalle und Legierungen zeigen völlig widerstandsfreie Stromleitung unterhalb einer Sprungtemperatur T C . Element Nb Pb V Ta TC [K] 9,46 7,2 5,3 4,48 Í ) Sn Al 4,15 3,72 1,18 Hg( Intermetallische Legierungen der Struktur A3B haben höhere T C : Legierung Nb3Ge TC [K] Supraleitung in Oxiden: http://www.skriptweb.de Nb3Sn 23,2 V3Ga 18,05 V3Si 16,5 17,1 3.1 Klassifizierung von (elektrischen) Leitern Seite 22/57 Î Ï Material TC K LOCO = La1,85Ba0,15CuO4 36 YBCO = YBa2Cu3O7 95 BSCCO = Bi2Sn2CaCu2O8 110 TBCCO = Tl2Ca2Ba2Cu3OX 120 HBCCO = Hg2Ba2Ca2Cu3O8 130 Supraleitung in Fullerenen: C60A3 (A: Alkalimetall); höchstes TC für C60Rb2Cs = ca. 31 K Organische Supraleiter: (BEDT-TTF)2Cu(CNS)2 TC = 10,4 K 3.2 Ionenleitung in Elektrolyten Õ ÐÒÑ ÓÔ 0,5 mm s Leitfähigkeit durch Beweglichkeit positiver und negativer Ladungsträger vD + Ladungstransport über Massetransport, Dissoziation der Moleküle NaCl Na Cl . Ö 1 . Absenkung der Dissoziationsenergie auf thermische Energie der Ionen Abschirmung der Coulombwechselwirkung Kationen = positive Teilchen, wandern zur Kathode Anionen = negative Teilchen, wandern zur Anode × 3.3 Elektromotorische Kraft Ú Û Ü Ø offener Schalter, Heizung ein e- dampfen schlagen sich an Anode von Kathode ab nieder bis e U A k B T Gleichgewicht von thermischer Emissionsenergie und aufgebautem Potenzial (Thermospannung) Ù Ý Schalter schließen I über hochohmigen Verbraucher I U R , kontinuierlich aus thermischer Energie wird elektrische elektromotorische Kraft Energie Nutzung z.B. in Raumfahrt: Parabolspiegel 1 m² liefert ca. 100 W kontinuierlich; typische Effizienz: 20 % Þ ß à â á 3.4 Galvanisches Element, Batterie ã Eintauchen von Metallelektroden in Elektrolyten Lösung von Metallionen in polare Flüssigkeit ergibt energetische Absenkung. Es gehen keine Elektronen in Lösung. Dessen Austrittsarbeit zu hoch. http://www.skriptweb.de 3.4 Galvanisches Element, Batterie ä Seite 23/57 Metall lädt sich negativ auf bis Potenzial die Lösungsenergie kompensiert Diese Skala ist normiert auf Pt-Elektrode, umgeben von H+. Cu++ +0,34 und Zn++ -0,76 ergibt 1,1 Volt Primärelemente: erzeugen aus chemischer Reaktion zweier Stoffe elektrische Energie Sekundärelemente: speichern elektrische Energie „reversibel“ mit Hilfe einer chemischen Reaktion å Beispiele für Primärelemente: æ „Nasselemente“ „Trockenelemente“: für Taschenlampen, Uhren, tragbare Geräte Braunstein-Zink-Element (1,5 V): Elektrolyt: Ammoniumchlorid (NH4Cl + H2O); es entsteht H2O Allgemeine Charakterisierung: +C/MnO2/NH4Cl, H2O/ZnQuecksilberoxid-Zink Silberoxid-Zink Lithium-Zink ç Beispiele für Sekundärelemente: é è Bleiakku: Kathode: PbSO4 + 2 e- → Pb + SO4-Anode: PbSO4 + 2 H2O → PbO2 + SO4-- + 4 H+ + 2 eSummenregel: 2 PbSO4 + 2 H2O Laden/Entladen Pb (Kathode) + PbO2 (Anode) + 2 H2SO4 NiCd (NC-Akku): alkalisch (KOH-Elektrolyt): Cd(OH)2 + 2 Ni(OH)2 Laden/Entladen Cd + 2 Ni(OH)2 Brennstoffzelle: Theoretisch: Differenz der freien Enthalpien zwischen Reaktionsprodukt und Reaktionspartnern: G U p V T S ; G H T S; H : Heizwert; S : Wärme ê ô ëWìîí ï ð ñ ò ó õWö ÷ ø ù ú Beispiel „Knallgaszelle“: O2 ü Elektrolyt KNO H 2O http://www.skriptweb.de û H2 3.4 Galvanisches Element, Batterie Seite 24/57 Negative Elektrode: 2 H2 + 4 OH- → 4 H2O + 4 ePositive Elektrode: O2 + 2 H2O + 4 e- → 4 OHSumme: 2 H2 + O2 → 2 H2O Leerlaufspannung ý 1 V ; im Betrieb ca. 0,6 þ 0,8 V PEM-Brennstoffzelle (Polymer-Elektrolyt-Membran 3.5 Austrittsarbeit gegen Vakuum, Thermospannung Leitungselektronen im Metall sind „frei“ beweglich, aber im Metall gebunden. Um sie aus diesem Verband zu lösen, muss Arbeit gegen die Coulombkräfte aufgebracht werden (Austrittsarbeit). Veranschaulichung: x Metall x Messung: z.B. durch Photoeffekt (Lösen von Elektronen aus dem Material durch Absorption von Lichtquanten h ). ÿ Austrittsarbeit hat für alle Metalle dieselbe Größenordnung (ca. 1,9 - 4,8 eV): K, Na, Al, Zn, Pb, Sn, Bi, Fe, Cu, W (in Reihenfolge aufsteigender Austrittsarbeit) noch geringer: BaO (0,99 eV) Austrittsarbeit ist temperaturabhängig („Elektronengas“, „Fermisee“) Kalium k Wolfram 1,9eV W http://www.skriptweb.de 4,6eV 3.5 Austrittsarbeit gegen Vakuum, Thermospannung Seite 25/57 Kalium Wolfram "! # W k 1,9eV W K 2,7eV 4,6eV Die Kontaktspannung könnte man messen, indem man die Teile wieder trennt und die Ladungen auf beiden Seiten bestimmt. Besser geht es, wenn man ihre Temperaturabhängigkeit ausnutzt: kalt warm Grobe Abschätzung: e U U k T eB 10 4 V ; grad kB T; „Thermoelektrische“ Spannungsreihe Meist: Blei als „Nullelement“, für die anderen Elemente ist die Thermospannung gegen Blei angegeben. a) Seebeck-Effekt (1822): Anwendungen: Thermoelement (dient zur Temperaturmessung; z.B. Kupfer-Konstantan 41 V grad ) Bi Bunsenbrenner 20° b) Peltier-Effekt: (Jean Peltier, 1785 - 1845) Energetische Umkehrung des Seebeck-Effekts http://www.skriptweb.de 3.5 Austrittsarbeit gegen Vakuum, Thermospannung Seite 26/57 Sb Bi warm Bi kalt U Elektronen haben in verschiedenen Materialien verschiedene spezifische Wärme; wenn man sie durch Spannung von einem Material in ein anderes treibt, entsteht eine Temperaturdifferenz. 3.6 Kirchhoffsche Regeln a) Knotenregel In einem Knoten ist die Summe der hineinfließenden Ströme gleich der Summe der hinausfließenden Ströme. In $ 0 ; n b) Maschenregel In einer Masche ist die Summe der Spannungsabfälle gleich der Summe der Spannungsquellen. U EMK % I j Rj ; U 0; EMK & R j Anwendung: a) Serienschaltung von Widerständen: Maschenregel: U ' I ( R 1 ) R 2 * R 3 +-, I R ; R . R1 / R 2 0 R 3 ; b) Parallelschaltung von Widerständen: Maschenregel: I 1 R1 1 I 2 R 2 2 0 ; I 2 R2 3 I 3 R3 4 0 ; I 1 R1 9 I 3 R 3 : 0 ; 5 I 1 R1 6 I 2 R 2 7 I 3 R 3 8 U ; Knotenregel: I R ; H I1 < I2 = I 3 > 0 1 R1 I 1 R2 J ? I @ U R1 A U R2 B U R3 C I D U 1 R1 E 1 R2 F 1 R3 G 1 ; R3 c) Wheatstonesche Brücke (zur Messung von Widerständen): Regelung des Schiebewiderstandes derart, dass I 0 K 0 . Gemessen werden soll R 2 . http://www.skriptweb.de U 1 ; R 3.6 Kirchhoffsche Regeln Seite 27/57 Knotenregel: I3 L I1 M I0 ; I0 N I4 O I2 ; R1 U R2 I http://www.skriptweb.de R1 V R 2 R1 ; kann R3 R4 R3 Schiebewiderstand ausmessen Da I 0 T 0 und U 0 U 0 : R0 R4 Maschenregel: U0 P U2 Q U1 ; U0 R U3 S U4 ; R3 man am (Stellung). C.4 Das magnetische Feld Seite 28/57 C.4 Das magnetische Feld W N S X Das nach Norden zeigende Ende eines frei beweglichen Magneten bezeichnet man als Nordpol, das nach Süden zeigende als Südpol. Gleichnamige magnetische Pole stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Y N S N S Z Magnetische Feldlinien gehen von Nord nach Süd. \ [ Magnetpole lassen sich nicht trennen. Ein Magnet ist ein magnetischer Dipol. Auf eine ruhende Ladung wirkt im Magnetfeld keine Kraft. Eine bewegte Ladung wird im Magnetfeld senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Bewegungsrichtung abgelenkt. „Rechte-Hand-Regel“: U-V-W (Ursache-Vermittlung-Wirkung): Der Daumen zeigt in die technische Stromrichtung (Strom = Ursache), der Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes (Feld = Vermittlung), der Mittelfinger zeigt dann in Richtung der Kraft (Kraft = Wirkung). Diese Kraft heißt Lorentzkraft F ] ^ b . q _ `v a B Da die Lorentzkraft senkrecht zu c v wirkt, ändert sich unter Einfluss der Lorentzkraft nur die Richtung, nicht der Betrag von v . E kin des geladenen Teilchens bleibt konstant. http://www.skriptweb.de C.4 Das magnetische Feld Seite 29/57 I I I h Kraft auf stromdurchflossenen Leiter: F d l A n q e v f B g ; l A n q : Ladungsmenge im Leiter im B-Feld. q F i l j kI l Bm mit n I o n q A pv . Ein stromdurchflossener magnetischer Leiter ist von geschlossenen, ringförmigen magnetischen Feldlinien umschlossen. Diese verlaufen senkrecht zu r I in Form konzentrischer Kreise. Richtung der magnetischen Feldlinien ist definiert durch „rechte-Hand-Regel“: Der Daumen zeigt in die technische Stromrichtung, dann zeigen die gekrümmten anderen vier Finger in Richtung des B-Feldes. B 0 s 2t u 0 Ir ; 2v wy x const ; ~ z I r B{ | 0 ; 2} r2 I B F Absolutbestimmung des B-Feldes über Ausmessung der Kraft zwischen zwei Strom durchflossenen Leitern. 2 in gleiche Richtung durchflossene Stromleiter ziehen sich an. Der linke Draht erzeugt am Ort des rechten Drahtes 0 I B , 2 d dieses B bewirkt Lorentzkraft auf rechten Draht 2 0 I F l I B l . 2 d 1 T(esla) 1 http://www.skriptweb.de N m A Vs ; 1 G(auß) 10 m2 4 T. C.4 Das magnetische Feld 0 4 10 7 Seite 30/57 N Festlegung durch Kraftmessung bei stromdurchflossenen Leitern. A B 0 als Achtung: In manchen anderen Lehrbüchern, z.B. Grimsehl, ist die Größe H dagegen als magnetische Flussdichte oder magnetische Feldstärke definiert, die Größe B magnetische Induktion. 4.1 Quellenfreiheit des magnetischen Feldes, Zirkulation des magnetischen Feldes Aus der Tatsache, dass die magnetischen Feldlinien stets in sich geschlossen sind, folgt: geschlossene Fläche B d ¡A ¢ 0 ; Quellenfreiheit des magnetischen Feldes. Zirkulation des magnetischen Feldes: £ B d ¤s ¥¦ §©¨ I 0 0 geschlossener Weg ª j d «A ¬ rot B ­ d ®A Ampèresches Gesetz (sofern elektrischer Leiter eingeschlossen) Vergleich mit elektrischem Feld: ¯ 1 ³ E d °A ± ² d V (Gaußscher Satz); ´ E d µs ¶ A 0 das elektrische Feld ist also wirbelfrei, hat aber Quellen. r1 s · d ¸A ¹ 0 ; rot E 2 s1 r2 º B d »s  B d Ãs Ë ¼¾½ 20¿ I s1 r1 I Ä 2Å Æ 0 r Ç 2 È B d Ì s ÍÏÎ 0 I ÐÏÑ Ò 0 å æ á 0â jã Û ä Bä ; http://www.skriptweb.de A À s2 r2 r Á ÉÊ 0; 0 j d ÓA Ô I; ÙØ Ú Ø Û Õ d ÖA × rot B A B d ÜA ; a elektrisch: ÞÝ ß Ý à 0; E 4.1 Quellenfreiheit des magnetischen Feldes, Zirkulation des magnetischen Feldes Seite 31/57 Anwendung des Ampèreschen Gesetzes 1) Magnetfeld innerhalb und außerhalb eines homogenen Stromleiters Im Inneren: ç B d è s é B ê r ëíì 2 î r ïñð ò Ir B ó r ôöõ¾÷ 0 2 ; 2 ø R0 r2 0I0 R 20 Außen: r ù R 0 ú 2) B-Feld im Koaxkabel B d û s ü B ý r þíÿ 2 r I B r 0 0 ; 2 r 0 I0 ; äußerer Leiter für sich kreiert laut Ampèreschem Gesetz kein inneres B-Feld innerer Leiter kreiert B-Feld in umgekehrter Richtung wie äußerer Leiter wegen Superposition nur B-Feld zwischen den beiden Leitern, außen B = 0 3) B-Feld einer langen homogen gewickelten Spule B d s B innen L B außen L 0 I 0 N ; (N: Anzahl der Windungen); da B außen 0I0N B innen I n; L 0 0 (n: Windungszahl pro Länge) B innen ; Typische Magnetfelder a) Erdmagnetfeld 0,3 - 0,5 Gauß b) wassergekühlte Magnetspulen maximal 25 Tesla (wegen ohmscher Heizung ist Kühlung nötig) c) supraleitende Magnetspulen, gängige Felder 5 - 15 Tesla d) gepulste Magnetfelder 100 Tesla 4.2 Biot-Savartsches Gesetz Ampèresches Gesetz ist geeignet für Berechnung von B in einfachen Symmetrien, z.B. Zylindersymmetrie. Im Praktischen: Berechnung von B für komplizierte Stromleitung eignet sich besser http://www.skriptweb.de 4.2 Biot-Savartsches Gesetz Seite 32/57 ! 0 I 3 d # l $&% r ; Biot-Savartsches Gesetz: d B 4" r Gesamtfeld durch Addition/Integration über alle d ' l , Superposition gilt! Beispiel: Feld im Zentrum einer Ringspule ( B) 2 *,+ 0 0 I 4 - r3 d . l /&0 r 1 2 3 2 4 R 5 R 687 2 RI 43 R 0 I 0 9 : 0 I ; R2 2 < R3 > 0 m? = 2 @ R 3 ; mit I A Fläche B m C magnetisches Moment senkrecht auf Fläche D , wenn Strom in Uhrzeigersinn durch Schleife fließt: Man schaut in Richtung von m 4.3 Hall-Effekt E F l G H I I BJ sagt nichts über Polarität der Stromträger aus. Kraft auf stromdurchflossenen Leiter F Hall-Effekt gibt Vorzeichen der Ladungsträger für Strom an. K IN L I x ; jx M q n vD ; BO By ; q P q+ ; Lorentzkraft wirkt (UVW) und bewirkt Anhäufung von Ladungsträgern in z-Richtung von E z durch Strom I x und B y . Insgesamt gilt Kräftegleichgewicht in z-Richtung: q R E z S q T vD B y U 0 ; E z V&W v D B y mit jx X n q vD ; jx B nq y Hallgleichung [ E z YZ _ \ Richtung von E z gibt Polarität des Ladungsträgers an E z , B y , jx bekannt bzw. gemessen ergibt Ladungsträgerdichte n z.B. ist für alle Alkalimetalle n ] 1 e-^ Atom ; E z , jx , n bekannt bzw. gemessen ergibt B y Versuch GaAs http://www.skriptweb.de ` Hallsonde als Magnetometer Q Aufbau 4.4 MHD-Generator (Magnetohydrodynamischer Generator) Seite 33/57 4.4 MHD-Generator (Magnetohydrodynamischer Generator) a Verbrennung bei sehr hohen Temperaturen c b Plasma (Ionisation der Verbrennungsprodukte) Plasmastrom wird in B-Feld wegen Lorentzkraft in positive und negative Ladungsträger getrennt d EMK abgreifbar 4.5 Generator + Motor e f rechteckige Leiterschleife in B-Feld h durch Drehung von außen bewegen sich Ladungsträger im Leiter g zu B l Wirkung k EMK p i Ladungstrennung j E-Feld im Gleichgewicht gilt qm E n q v B o 0 ; Gesamt-EMK l q E d r s st B v l 0 kann als werden Generatorleistung abgegriffen Nachtrag: B-Feld ist in der Ringspule kreisförmig eingeschlossen. Wieso gibt es ganz innen und ganz u außen kein B-Feld? Antwort: Ampèresches Gesetz: B d v s wyx 0 N I . z Umkehrung des Prinzips: Anschluss von Strom / Spannungsquelle an Leiter (Grafik siehe oben): Lorentzkraft bewirkt Drehmoment auf a { Drehmoment D | F Lorentz } b ~ sin Normalenvektor der Fläche) (wobei A , B Winkel zwischen B-Feld und D I B a b sin m B I a b n a , b ; n A A ; magnetisches Dipolmoment m n ist der Normaleneinheitsvektor. Anwendung: a) Motor: bei Gleichstrommotor Kommutator notwendig für konstante Drehung Drehung durch Stromfluss bewirkt gleichzeitig eine EMK (wie bei Generator), welche der von außen anliegenden Spannung entgegengerichtet ist. Diese EMK kann max. Betrag der von http://www.skriptweb.de 4.5 Generator + Motor Seite 34/57 außen angelegten Spannung sein. ¡ Dann hat Motor max. Drehzahl. Bei maximaler Drehzahl kann Motor keine Leistung mehr aufnehmen, und daher keine Arbeit mehr verrichten. b) Drehstromgalvanometer: kein Kommutator, Spiralfeder als Gegenkraft zum Drehmoment, Winkel ¢ dient als Strommessung. c) Präzession von Atomen in Magnetfeldern: £ ¥ ¤ Kreisstrom der Elektronen um Atomkern bewirkt m Auf Grund des Bahndrehmoments richtet sich magnetisches Moment nicht längs B ¦ aus, aus ( Kreisel). sondern führt Präzessionsbewegung um B § ¨ 4.6 Zyklotronfrequenz © ¬ ª -Feld homogenes B e- mit v­ e ® ¯ B ° F Lorentz ± q ² v ³ B « zur Zeichenebene ´ Kreisbahn m µ 2 r ¶ v2 m r (Zentrifugalkraft) ·¹¸ » unabhängig von r : r ¼ qº B Zyklotronfrequenz m mv ; q½ B Anwendung: Zyklotron zur Beschleunigung von geladenen Teilchen ¾ Á ¿ B Å À Zeichenebene halbkreisförmige Polschuhe entgegengesetzt geladen mit Wechselspannung der qÄ B Kreisfrequenz ¹à m geladene Teilchen werden im E-Feld Æ BFeld beschleunigt, vergrößern Radius bei gleichem Ç bis zur Extraktion Massenseparator: Separation von Isotopen È 4.7 Das Faradaysche Induktionsgesetz Bis jetzt: Erzeugung von B durch I (Ampèresches Gesetz) http://www.skriptweb.de É 4.7 Das Faradaysche Induktionsgesetz Seite 35/57 Kraftwirkung auf bewegte Ladungen (Lorentzkraft) Ê Neu: Umkehrung: Erzeugung von I bzw. EMK durch d B Ë d t alles in Ruhe Ï Bewegung der Leiterschleife oder des Magnetfeldes U Ò Ì ÓA Ô BÕ Í Î U Bewegung Ö 0 U × ÐÑ 0 0 Ø Ersatz des Stabmagneten durch Elektromagneten, gleiche Effekte Ù Ein- und Ausschalten des Elektromagneten Ý Verdoppeln der Schleifenzahl, U größer Ú U ÛÜ 0 In einer Leiterschleife wird eine Spannung U induziert, wenn sich der durch die Leiterschleife hindurchgreifende magnetische Fluss zeitlich ändert: U ind Þß á â ãA ä dàB dt å æ d dt ç B d èA éê A magn. Fluss dë dt Faradaysches Induktionsgesetz ì 4.8 Zum Vorzeichen im Faradayschen Induktionsgesetz bzw. der Lenzschen Regel ï An Leiterschleife anliegende Spannung U bezeichnet Strom I der Leiterschleife) í U î R ( R : Innenwiderstand ò ð I induziert wiederum Magnetfeld Energieerhaltung gilt: Stromfluss produziert Leistung P ñ I 2 R (Erwärmung der Leiterschleife). Woher kommt diese Leistung? Aus kinetischer Energie des bewegten Teiles. Auf die muss also Bremskraft wirken. Das durch den Induktionsstrom in der Drahtschleife erzeugte B ind muss also jeweils die Bewegung abbremsen: Lenzsche Regel: Die durch die Änderung magnetischer Flüsse erzeugten Induktionsströme fließen derart, dass ihre eigenen Magnetfelder der Induktionsursache entgegenwirken. Welche Kräfte wirken? http://www.skriptweb.de 4.8 Zum Vorzeichen im Faradayschen Induktionsgesetz bzw. der Lenzschen Regel ó Leiterschleife ô v õ B ö : U d û B l xü Bldx I÷ R øúù R d t ýþ R d t ÿ Seite 36/57 Bl v; R induzierter I bewirkt Lorentzkraft: F Lorentz B B 2 t2 v R l I Prinzip der Wirbelstrombremse. induzierte Spannung U ind Blv Koeffizientenvergleich: B v E ; q B v B2 v 1 R 2 2 l oder n E d s ; B v E; q E ; Lorentzkraft = elektrostatische Kraft 4.9 Relativistischer Zusammenhang zwischen E- und B-Feld Bisher: Kräfte der Elektrostatik (Coulombgesetz) und magnetische Kräfte (Lorentzkraft) ohne Zusammenhang nebeneinander. Naturkonstanten für beide Kräfte: 1 Nm 8,987 109 ; 4 As2 0 N 4 10 7 2 ; 0 A " # ! & ' () * + , - . 1 0 0 $ % / 0 10 N m A 6 4 12 103 4 A s 5 N 4 9 2 7 2 2 7 2,998 108 m s 8 c (Vakuumlichtgeschwindigkeit); 9 1: ; 0 c2 ; 0 Empirisch hängen die die beiden Kräfte bestimmenden Konstanten über Lichtgeschwindigkeit zusammen. Suggestiv wirft sich die Frage auf, ob Elektrostatik und Magnetismus über Wahl des Bezugssystems zusammenhängen! Beispiel: stromdurchflossenener Leiter und Ladung q im Abstand r . http://www.skriptweb.de 4.9 Relativistischer Zusammenhang zwischen E- und B-Feld Lorentzkraft wirkt: < =?> q @ B A v D q 2E FHIG v I B C 1 I OQP R A S v , T U V c ; 0 2 ; I 2 JLK Coulombkraft wirkt q - A v Komprimierung von ’- . r c2 von - M 1 0 F r 0 N r Coulombkraft wirkt nicht, da ^ a _ ` d b ’c , g ’ Q h i j 1k 1e v f c v2 ; 2 2 c2 Ohne Herleitung: Ladungsträgerkonzentration ändert sich wegen relativistischer Dilatation/Komprimierung von Längen. + 2 0 wegen relativistischer ’ + und Dilatation + [ \!] + 0 - Seite 37/57 W XZY + - . l m no t pq ’ r ’+ Ladungsträgerdifferenz ’ 2 2 v c ; + 1 v2 c 2 q A + v2 1 F’ q E’ ; 2 2 0 r c 1 v2 c2 rs u w x y E’ 2 ! v z!{ 0 r - | }~ . Es wirkt keine Lorentzkraft, da q und ruhen. - Vergleich: 1 F’ F . 1 v2 c2 Beim Übergang von S S’ werden magnetische Kräfte zu elektrostatischen Kräften transformiert. F F’ . Kräfte sind nicht invariant gegenüber „Lorentztransformation“. Wird werden jedoch später invariante Schreibweise der elektromagnetischen Wechselwirkung kennenlernen. 4.10 Beispiele zum Induktionsgesetz Induktionsgesetz inkl. Lenzscher Regel bedeutet, dass gut leitende Schleife im Magnetfeld eigenes Magnetfeld aufbaut, und zwar so, dass der Fluss durch die Schleife nahezu konstant bleibt (bei Bewegung!). Ein guter Leiter zieht also B-Feld mit sich. a) Asymmetrie des erdmagnetischen Feldes durch Plasmawind. b) Drehstrommotor Wechselstrom, Drehstrom, jeweils 120° Phasenverschiebung im Zentrum entsteht rotierendes B-Feld mit drehendes B-Feld nimmt leitenden Rotor mit c) Magnetschwebebahn http://www.skriptweb.de 50 Hz 4.10 Beispiele zum Induktionsgesetz Seite 38/57 4.11 Selbstinduktion Bei Formulierung der Lenzschen Regel bereits festgestellt, dass der durch eine äußere d t induzierte Strom selbst wieder ein B-Feld erzeugt/induziert. Flussänderung d Diese Induktion ist aber keinesfalls auf eine äußere Flussänderung beschränkt, sondern wird durch eine Änderung des eigenen Magnetfeldes/Magnetflusses hervorgerufen. U ind , selbst d dt eigen L Vs A dI , V dt A s £ , 1 Vs A ¡ ¢ 1 H Henry , wobei der eigene magnetische Fluss I ist. Die Proportionalitätskonstante L heißt Selbstinduktivität, hängt von der Geometrie der Leiterschleife ab. Negatives Vorzeichen drückt aus, dass die selbstinduzierte Spannung der angelegten Spannung entgegenwirkt. Selbstinduktion in Spule bei Ein- und Ausschalten: Kirchhoffsche Maschenregel: U U ind R I ; R dI dI I R I; U L dt dt L ¤ ¥ ¦ ¨ © § ª ¬ « Einschalten: zur Zeit t 0 ist I Lösungsansatz: R t U I t 1 e L , R Beweis durch Einsetzen in DGL. ® ¯±° ­ U Differenzialgleichung. L 0. ² ³ ´ µ Ausschalten: zur Zeit t 0 ist U 0 : I t I dI R dI R I; d t ; ln I0 dt L I d t 0 L ¶ · ¸ ½ I ¾ t ¿?À I eÁ ¹º 0 R t L R t; L . 0 Berechnung von L für Spule: ÆÈÇ É ÊZË »¼ ÂZÃ Ä Å ÔÕ Ö bekannt aus § C.4.1: B-Feld in Spule B 0 I N l N A für eine Windung; B A 0 I l d dI N2 d I U ind , selbst N L A 0 dt l dt dt ÌÍ Î ÏÑÐÓÒ LSpule L Ù ×Ø 0 N2 A. l N 2 , da N einmal über Flusserzeugung und einmal über Wegintegral eingeht. Anwendung: Transformator http://www.skriptweb.de 4.11 Selbstinduktion Ú Seite 39/57 Zwei Kupferdrähte werden parallel zu einer Spule gewickelt Û Ü d I d t in Spule 1 bewirkt Induktion in Spule 2 und umgekehrt. Ý Þ wechselseitige Induktion technische Realisierung im Trafo mit Trennung der beiden Spulen und „Transport“ des B-Feldes über Weicheisenjoch. ß U ind , 2 ä Analog zur Selbstinduktion é àá âã Lå d I1 , U ind , 1 dt L 21 L12 d I2 ; dt æ N 2 gilt: L 21 N1 N2 ç L 21 è L12 Annahme: vollständige magnetische Kopplung: L12 1. L1 L 2 ë ê U1 U2 ìí òó d I1 mit L1 L1 dt d I1 mit L 21 L 21 dt îï ð ôZõ ö 0 r 0 ñ N 12 A ( r relative Permeabilität > 1 mit Weicheisen als Joch) l N1 N2 A r l ÷ ø ù U2 N 2 U1 N 1 Trafogleichung 4.12 Magnetische Feldenergie Bei (Gleich)stromdurchfluss durch Spule gibt es Leistungsbedarf zwecks Kompensation der ohmschen Verluste. Dies hat nichts zu tun mit der Energie, welche benötigt wird, um B-Feld aufzubauen. Beim Einschalten der Spule liegt Spannung U L an (obwohl widerstandsfrei!), um U ind zu überwinden. Hierzu wird Leistung benötigt. úû dW ü UL U ind ; ý UL I d t þ L dI I dt dt ÿ W http://www.skriptweb.de LI dI 1 L I 20 wird benötigt zum Aufbau des B-Feldes. 2 4.12 Magnetische Feldenergie W 1 2 0 Seite 40/57 2 N2 B Al A I 20 l 2 0 L Formel für B in Spule. W B2 V 2 0 Energiedichte des magnetischen Feldes Beim Ausschalten des magnetischen Feldes oder des Stromes bewirkt diese Energie, dass I langsam abklingt bzw. in ohmschem Widerstand verheizt wird. Die in die ohmsche Heizung nach Abschalten gesteckte Leistung beträgt 2Rt d W 2 2 I R I0 R e L ; dt 2Rt L 2 q.e.d. W I0 R e L I 20 2 0 Die in ohmscher Heizung nach Abschaltung verbrauchte Energie entspricht der im Magnetfeld gespeicherter Energie. 4.13 Schwingkreis U L UR UC 0 ; Q dI R I 0 L dt C d Q d I d2 mit I ; ; d t dt d t2 Differenzialgleichung 2. Grades: dQ für Q t : d t2 R dQ L dt Q 0; LC d2 I " d t2 R dI # L dt I 0; LC $ Differenzieren nach d t : für I t ! : Beide Gleichungen sind bereits bekannt aus der Mechanik: vgl. gedämpfter harmonischer Oszillator. usw. für U C % t & , U L ' t ( , U R ) t * http://www.skriptweb.de 4.13 Schwingkreis Seite 41/57 Elektrodynamik 2 R dI , I d I 0; 2 + L dt LC dt Mechanik A 2 dx B d x 2 @ mdt dt I . t /10 A1 sin 2 0 t 3 A2 cos 4 8:9 R L , ;=< ; 2L R > 2 0 ? t e 576 0 t 1 LC elektrische Energie: 1 1 2 Q 2 C k xC 0; m x D t E1F A1 sin G 0 t H A2 cos I LNM O S m , PRQ ; 2m T 2U k ; 0 m potenzielle Energie: 0 t eJ7K t ; 1 k x2 2 1 1 2 LI m v2 kinetische Energie: 2 2 Das Hin- und Herpendeln zwischen magnetischer und elektrischer Energie im Schwingkreis kann am ungedämpften Schwingkreis V R W 0 X sichtbar gemacht werden. magnetische Energie: I Y I 0 cos Z 1 U C [ t \^] C UL b L h 0 0 t t I d t_ 0 dI Lf c d dt e t ikjml ` 0 I0 sin a t 0 0 sin g 0 t n 0 to 0 p 0 2 t qsr 2 t Komplexer Wechselstromwiderstand { Ohmscher Widerstand U u t v und I w t x sind in Phase; U y R z I ; ~ U | i } L I; Induktiver Widerstand i drückt hier eine Drehung um 90° aus, da sie Spannung um 90° vorauseilt; Kapazitativer Widerstand 1 U k i I; C die Spannung hinkt um 90° nach Zusammenfassend: U R I U’ Z’ I’ , Z : komplexer Widerstand, wobei Phasenverschiebung durch komplexe Schreibweise ausgedrückt wird. Analog gibt komplexe Leitfähigkeit Y’ 1 Z’ . http://www.skriptweb.de 4.13 Schwingkreis Seite 42/57 Komplexer Gesamtwiderstand in Reihenschaltung von L , R , C : i 1 Z’ Z’ R Z’ L Z’C R i L R i L . C C 4.14 Erzwungener Schwingkreis Maschenregel R,L,C: für Serienschaltung U L U R U C k U 0 cos IL IR IC ; t; Q dI R I ¡ U cos ¤ t ¢ £ 0 dt C k 2 U0 © d I R dI § I sin ª LC ¨ L d t2 ¦ L d t von L ¥ t; Differenzialgleichung 2. Grades, analog zu periodisch angetriebener mechanischer Schwingung. I « t ¬1­ I 0 sin ®°¯ t ±³²µ´ ; Lösungsansatz: ¼1½ 1 L tan ¶¸· ¹»2º ¾À¿ 2 ; Á 20  ; ÃÅÄ ; L C R 0 º U 0 ÇÉÈ L I0 Æ Ê 2 ËÀÌ 2 2 ÍÏÎ 2 Ð 2 ; 0 Spannung und Strom sind phasenverschoben. Wie beim gedämpften Oszillator sind U L Ñ t Ò und U C Ó t Ô um 180° phasenverschoben. Der Betrag des gesamten komplexen Wechselstromwiderstands: 2 Õ 1 Ú 2 Ù ; Z ÖØ× R LÛ LC Wie groß kann U L maximal werden? dI L I0 cos âäã UL Ü L d t ÝÏÞ I ß I à á UR 0 0 , max ° UL U0 ñ ò 0 R 0 L óÏô 0 t åkæèç1éëê 0 L U0 cos ìäí R U t îkïµð õ÷ö Q Gütefaktor Q bekannt aus der Mechanik Knotenregel L,R,C für Parallelschaltung I R ø I L ù I C ú I û tü ; U R ý UL þ UC ; Resonanzfrequenz http://www.skriptweb.de ; ° L von 4.14 Erzwungener Schwingkreis ÿ 1 ; LC 2 0 Seite 43/57 R C; Z (Impedanz = komplexer Wechselstromwiderstand): Z tan Z 1 R Q R 0 2 1 L C im Resonanzfall tan 2 RC! C L #%$ i i L 1 C 1 ; ; 1 1 LC 1 R 1 2 ; R ; L C " & ' ( 0 , maximaler Z minimales I , maximales U . Leistungsabgabe am ohmschen Widerstand für Wechselstrom ) *,+ P t 9 ; = : - .0/ 1 243 U t I t 5 6 U t R 2 2 7 U 20 cos 2 R 8 t; 1 U0 P 2 R Gleichspannung mit Amplitude U 0 2 ergibt selbe Leistung U 0 220 2 311 Volt 220 V U eff Wechselspannung > < ? Leistungsabgabe am ohmschen Widerstand: @ A Leistungsabgabe am L , R , C -Kreis: Negative Leistungsaufnahme bedeutet, dass elektrisch oder magnetisch gespeicherte Energie in dem L , R , C -Gliedern wieder ins Netz abgeführt wird. Es kann auch null Leistungsaufnahme 90 ° . stattfinden, wenn Phase BDC http://www.skriptweb.de C.5 Materie im Magnetfeld Seite 44/57 C.5 Materie im Magnetfeld Bekannt: Rückwirkung von Materie im E-Feld auf das E-Feld selbst. E F G induziertes elektrisches Dipolmoment p Ausrichtung von permanenten elektrischen Dipolmomenten Neu: Für Materie im B-Feld gilt Analoges H Was verursacht auf mikroskopischer Ebene m? J I magnetisches Dipolmoment m M N I O PA Achtung: Quantenmechanik sagt, dass viele Atome im Grundzustand m Q 0 haben. R T e m S r UpV WYX[Z \L ; 2m ] ^ e _ 9,3 a 10b A m ; Bohrsches Magnetron. 2m ` c Elektronenspin: Quantenmechanik d Elektron hat Eigendrehimpuls (Spin) e 1 f 2 g Bahndrehimpuls: e- kreisen um Atomkern, L i i B 24 2 K Ringstrom L m e 0 e damit Träger eines magnetischen Moments. l m Achtung: Gemäß Pauliprinzip sind Elektronen jeweils zu Spin m 0. n Kernspin: Nukleonen haben gleichen Spin wie Elektronen h i gepaart oqp 1 r 2 s j , und ist Gesamtspin = 0 , aber wegen [...] Welche Kräfte wirken auf magn. bzw. elektr. Dipolmoment? Magnetismus t } u v w x y z {| Elektrostatik ~ Gesamtmoment im homogenen Feld M m B mit m I A ; m : magnetisches Dipolmoment d F M p E M q d mit p + U pot m B http://www.skriptweb.de p q d - Potenzielle Energie U pot p E mit U pot 0 für p , B¡ E E k C.5 Materie im Magnetfeld Seite 45/57 Magnetismus Elektrostatik Kraft auf Dipolmoment im homogenen Feld = 0 Kraft auf Dipolmoment im inhomogenen Feld Stern-Gerlach-Versuch: + + ¢ F © ª F £ ¤ m grad B ; ¥ Diamagnetismus, induziertes m ¹ « F+ FdE qd dr º » r - ¬ ­ q E® ¯ ° r ± ² ¼ p grad E ; ³ ´µ ¶ ¦ ½ qE r ·¸¹ d r Paramagnetismus, permanentes m wird in B- Dielektrizität, induziertes p Feld ausgerichtet Paraelektrizität, permanentes p wird im E-Feld Ferromagnetismus, permanentes m ist ohne ausgerichtet äußeres Feld der Festkörper ausgerichtet, Ferroelekrizität, dito Ausrichtung wegen WW zwischen m § ¾ ¨ 5.1 Paramagnetismus Wahrscheinlichkeit der Ausrichtung in einem äußeren Feld des permanenten Dipolmoments kB T . gegeben durch Brownsche Wärmebewegung, hier U pot ¿ À eÁ U pot kBT  1 à U pot kB T http://www.skriptweb.de ÄYÅ 1 Æ p E cos kB T Ç 5.1 Paramagnetismus Seite 46/57 Gesamtmagnetisches Moment Volumen É M Ò Í Ê n 6 Î 1 Ë m B cos kB T Ì Gesamtelektrisches Moment V Í Ï m B cos n 1 6 kB T n 2mB m; 6 kB T È Magnetisierung Ð Ó Ñ mÒ n 6 é 1 ê ë Õp Ô ì p E cos k T í n 6 n 6 n 6 n 6 n 6 Ö Ú å M m Û × 1 î ï ð p E cos k T ò ñ Ø Ù n m2 B n p2 E M ; P ; 3 kB T 3 kB T n m2 P n p2 0 M ; ; 0 e B 3 kB T 0 E 0 3 kB T Curie-Gesetz Temperaturabhängigkeit Ü æ n ç mè ÝÞ ß à á ä â ã spontane Magnetisierung für Ferromagnete Spontane Magnetisierung wird zunächst makroskopisch (meistens) nicht von außen beobachtet. Makroskopisch ausgerichtete Domänen kompensieren sich gegenseitig. Fe-Blech Weißsche Bezirke (magn. Domänen) Blockwände http://www.skriptweb.de 5.1 Paramagnetismus Seite 47/57 ó ôõ Anlegen des äußeren B-Feldes lässt M B auf Kosten der anderen Domäne anwachsen. e,m ~ 1 T T Dauermagnet: große Sättigungsmagnetisierung, große Koernitivkraft, große Hystereseschleife: Hartmagnet (FeCoVCr, AlNiCr, CrCoFe, seltene-Erdmagnet Co??) Trafokern: geringe Hysterese: Weichmagnete Fe1-xSi (x = 0,05-0,20) Temperaturabhängigkeit der Sättigungsmagnetisierung ö ù ÷ ø Ms T , sowohl Materialgrößen oberhalb von Paramagnet Tc B T Sättigung Restmag. Neukurve B0 m T Koerzitivkraft Stoff ú û TC K Fe http://www.skriptweb.de 1043 m üþý ÿ B pro Atom 2,22 Sättigungsmagnetisier ung 0 A s als ist auch Tc Ferromagnet sind ein 5.1 Paramagnetismus Seite 48/57 Co 1388 1,72 Ni 627 0,61 Gd 292 7,63 Dy 88 10,2 EuO 63 6,8 5.3 Feldgleichungen (für Dia-, Para-, Ferromagnetismus) Materie (dia-, para-, ferromagnetisch) wird in Magnetspule eingebracht: homogenes Feld in Spule ohne Materie: B 0 0 n I Magnetisierung der Materie und B 0 werden sich addieren Messung des „neuen“ B-Feldes U ind U ind 0 A 0 dB dt AB Feststellung: B B B B 0 ferromagnetisches Material B 0 paramagnetisches Material B 0 diamagnetisches Material Wegen axialem B 0 in Spule zeigen matomar in B 0 , matomar = Kreisstrom A atomarer Abstand http://www.skriptweb.de B 5.3 Feldgleichungen (für Dia-, Para-, Ferromagnetismus) B gesamt 0 n I !" 0 Seite 49/57 # i a2 ; a3 i : atomarer Kreisstrom $ B %'& ( )+* n I 0 B0 3 B 4'5 nI 0 687 , 0 0 0 1 a M i Q -/B. 0 1 M2 ; 0 0 :<B; => M? 0 0 9 B B @A Q B HR BC M DFEHG I HB J K M P T S U'VXW [ Y 1 Z \ B0 0 M 0 r 0 0 r B0 mit H L B0 MON 0 0 r 0 0 m _ Magnetismus + Materie ] ^ 0 Quellenfreiheit c l d ms B d d s egf h I i i j mit i k M d A A 0 C Elektrostatik + Materie ` a b d V Gaußscher Satz n D d o s p 0 Wirbelfreiheit Dd A A Ampère C 5.4 Diamagnetismus Auch solche Stoffe, welche abgeschlossene Elektronenschalen haben, bzw. Bahndrehmoment und Gesamtspin = 0, zeigen Rückwirkung auf äußeres B 0 . Grund: Elektronen reagieren auf äusseres Magnetfeld mit Präzession, die Präzession entspricht Kreisstrom, welcher B induziert. Lenzsche Regel induziertes B-Feld ist B 0 entgegengesetzt. s B r q B 0 für Diamagnetismus diamagn t 0 , ferner nicht temperaturabhängig u Diamagnetismus baut im Material M auf, welches B 0 entgegengesetzt ist. Idealer Diamagnetismus im Supraleiter http://www.skriptweb.de 5.4 Diamagnetismus Seite 50/57 B0 T y x 4,2 K Idealer Diamagnetismus und Supraleitung bewirken, dass induziertes kompensieren. Meissner-Effekt, Verdrängung des B-Feldes beim Übergang T > TC. http://www.skriptweb.de B0 0 T v Mw 0 { z 0 300 K exakt induziertes B0 C.6 Maxwellsche Gleichungen, elektromagnetische Wellen Seite 51/57 C.6 Maxwellsche Gleichungen, elektromagnetische Wellen 6.1 Maxwellsche Gleichungen Integralform Gaußscher Satz § 1.5 Ladungen = Quellen des EFeldes Quellenfreiheit Feldes § 4.1 des magn. Operatorform in Materie | E} d A~ 1 d V B d A 0 E d s d B¢ d A£ d t ¡ r r div D 0 div B 0 0 div E div E 0 A Operatorform im Vakuum 0 div B A Faradaysches Induktionsgesetz, § 4.7, zeitl. änderndes B-Feld verursacht elektr. Wirbelfeld C ¤ ¥§¦©« ¨ tBª ³ B´ d µs ¶¸· I ¹»º d E¾ d ¼ dt ½ ¿»À Á j ÂÄà dd EtÅ d AÆ Ampère-Maxwellsches Gesetz, § 4.1+§ 6.1, zeitl. Änderndes E-Feld verursacht magn. Wirbelfeld 0 0 0 C A 0 ¬ ­®°² ¯ tB± rot E A 0 rot E Ç È É Ê j ËÍÌ Î Ð Ñ Ò j ÓÕØ Ô×tDÖ rot M rot B 0 0 Ï E t Ù Ú»Û Ü Ý ß rot B 0 0 Wieso Erweiterung des Ampèrschen Gesetzes? Ladung auf Kondensatorplatte q Strom I ä å A ãæ ç dq dt 0 d E d t verallgemeinerte Form I èÄé 0 d d t à A ãá â 0 E ë ì ê Ed A A í 6.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum î Behauptung: in x-Richtung ausbreitende Welle ist Lösung der MG im Vakuum Feststellung: longitudinale Welle keine Lösung der MG I Stromschleife ----------------- õ Ex nur transversale Wellen E-Feld ++++++++++ widerspricht 1. MG im Vakuum ï bekannt: der fortschreitenden Welle § A.10.4 ð E 1Definitionsgleichung ó E ñxò c ôt 2 2 y y 2 2 http://www.skriptweb.de x Þ E t 6.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum Seite 52/57 öø÷úù t Differenzialgleichung 2. Ordnung mit c Wellengeschwindigkeit = Ausbreitungsgeschwindigkeit = Phasengeschwindigkeit mit einer Lösung Ey û ü E y0 sin ý t x c y Ey 0 x Bz Bz 0 z Entspricht dies einer Lösung der Maxwellschen Gleichungen ? 3. MG angewandt auf x,y-Ebene þ Eÿ d s c B A d A Ex B d x d y z d x d y x E y x d x d y E y x d y B z B x ! B y " 0 # B-Feld 1 Ey x t senkrecht zu E-Feld B z $ E y 3. MG angewandt auf z,x Ebene % d A & Bx B d ' s ( B z ) x * d z + B z , x - d x . d t /1034 2 d xd z7 5 6 x C A E ;=< B x > = ? 0 @ 0 B y 2D x t C 0 8 0 Bx 9 : t d xd z Differenzieren von (1) nach x Differenzieren von (2) nach t E 2 F Ey x 2 K GIH 0 J 2 L 0 Ey t 2 Wellengleichung für EM q.e.d. Umgekehrtes Differenzieren von (1) und (2) N 2 O Bz x 2 T PRQ 0 S 0 U 2 Bz t 2 Wellengleichung für BV q.e.d. Vergleich mit Wellengleichung der Mechanik: 1W c 2 XRY 0 Z 0 Die elektromagnetische Welle propagiert mit Lichtgeschwindigkeit B z und E y sind in Phase zueinander Lösung in (1) einsetzen [ \ Ey E y ^ cos t _ x ] c x c ` 0 B z dRegf d B z hji E k http://www.skriptweb.de 0 a3b B z c l c cos m t tn x c d to E p 0 c sin qsr t t x cu 6.2 Elektromagnetische Wellen im Vakuum Seite 53/57 Ey cw Bz v x 1 0 y 0 6.3 Intensität der elektromagnetischen Welle, der Poynting Vektor Elektrische Energiedichte: 1 2 0 E ; 2 z Magnetische Energiedichte: 1 1 2 B ; | 2 { 0 W V w ~ } 0 2 E 2y 1 2 B 2z 0 2 Bz 0 2 0 Ey 0 E 2y 1 B 2z 0 Energiedichte wegen propagierender Welle Energiestromdichte S Einheitsfläche durchtretende Energie. w c entspricht pro Zeiteinheit durch Vektorielle Schreibweise: S 1 B E Poynting Vektor 0 1 0 Da S c2 E y ; B : B 2z Ey c E 2y variiert S mit doppelter Frequenz wie E y oder B z . 6.4 Elektromagnetische Welle in Materie 0 0 ¢¡ r £ 0 0 Ey Bz 1 ¤ ¥¥ 0 ¦ ¨ r § 0 c « ©7ª u¬ r c n ( n : Brechungsindex) ­ ¯ Ausbreitungsgeschwindigkeit v ® c ±7² r Brechungsindex n ° ³ für sichtbares Licht ´ , da außer für Ferromagneten 6.5 Reflexion einer elektromagnetischen Welle http://www.skriptweb.de µ r¶ 1. 6.5 Reflexion einer elektromagnetischen Welle Seite 54/57 Transp. Medium mit Brechungsindex Ee n á âäã 1 Be Ed Bd Br Er in Streu(Reflexions)ebene n ß 1 n à 1 Eb Ú Ú Ú Ed Er Brechung zum dichteren Medium hin: E c im Vakuum B » E c im Medium B ¼ n · Vakuum Û ¸1¹ n º 1 vak ÜÞÝ Med . Randbedingungen: ½ Stetigkeit des tangentialen E ¾ und H ¿ É Ê Stetigkeit der Normalkomponente von D von Vakuum Ï (1) × Ô 1 ÁÃÂÅÄ r Ee c Ò Ee Ó Er ; Ù Er (1') c bezieht sich auf Amplituden: (2) in (1') einsetzen: http://www.skriptweb.de 0Ç ËÍÌjÌ 0 EÕ cÖ n ; Ed nØ c Æ B È -Feldes beim Übergang E und B Î Feldes beim Übergang Medium erfordert reflektierte Welle Es muss gelten: B d Ð B e Ñ B r (1); E d ferner: B À 6.5 Reflexion einer elektromagnetischen Welle Er Ee Ed Ee Seite 55/57 næ 1 R Reflexionskoeffizient nç 1 è 2 D ì 1 í R Transmissionskoeffizient nê 1 ë å é für Intensitäten (= Amplituden2) gilt: 2 ó r î R2 nñ 1 so dass gilt: n d ï n ð D2 nò 1 2 2 õ 1. nô 1 Sinnvoll wegen Energieerhaltung. 6.6 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Metallen, Skineffekt zwei Grenzfrequenzen bestimmen Beweglichkeit von e- in Metallen - 0 ö 1ú ÷ùø mit ûüþý , 1 0 - m- n e2 , p (EM Welle) (§ 3 und 3.1, Beweglichkeit von Ladungsträgern) ohmsches Gesetz gilt, ÿ j 0 E , Strom durch stationäre Driftgeschwindigkeit bestimmt, viele Stöße während einer Periode der EM-Welle 1 3 10 12 Cu 300 K Hz Bis zu dieser Frequenz ist Wechselstromleitfähigkeit = Gleichstromleitfähigkeit n e2 mit Plasmafrequenz, e- bewegen sich als freie Elektronen, da p 0 me Periode T der EM-Welle wesentlich kürzer als mittlere Stoßzeit , Eigenfrequenz p (Resonanzfrequenz) der freien erzwungenen Schwingung der Leitungselektronen. p Diese Grenzfrequenzen gibt es auch für andere leitende Medien, zum Beispiel Ionosphäre 1 normaler Skineffekt 2 3. M.G. d EdS Bd A dt A c mit gleichem Lösungsansatz wie in § 6.2 t E y E y sin t 2 % & ! "$# ' (1) ( 0 d Ey dx *+ d Bz dt 4. M.G. http://www.skriptweb.de ) 6.6 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Metallen, Skineffekt Seite 56/57 . / 0$1 j 354 d E6 d 7A ; 2 dt 8 j 9: E; ; Leitungsstromdichte AB d Bs C$D FE d GA ist dominant gegenüber Verschiebungsstromdichte < = d E> ? d t @ E wieder in Analogie zu § 6.2 Bd s 0 0 c 0 0 0 0 c A HIKJ L d Bz dx (2) 0 0 Ey (1) nach x differenzieren, (2) nach t differenzieren: d2 E y dx 2 M$N O 0 0 d Ey dt Achtung, keine ungedämpfte Wellengleichung wie in § 6.2 Lösungsansatz: gedämpfte Welle 1 E y E y e x sin t x P QSR 0 T U V Einsetzen in Differenzialgleichung, Koeffizientenvergleich WYX k Z [ \ ] 2 0 ^ 0 mittlere Eindringtiefe der EM-Welle f g 1 _ 1 b` a . Je größer c umso kleiner 1 dbe . cm für 100 Hz 12 0,1 m für 10 Hz h Cu selbst gute Leiter haben für Hochfrequenz ohmschen Widerstand wegen Skineffekt 1 p anomaler Skineffekt, Elektronen bewegen sich frei wie Plasma ikj5ljml npoqsrbt 1 w u vx 2 p 2 (ohne Beweis, Herleitung z.B. Physik II, S. 86) y{z | B d } s ~m Betrachten jetzt Metall wie Dielektrika, Verschiebungsstromdichte entscheidet im 4. M.G. 1 Achtung: 4. M.G. c 0 0 A dE d A dt Lösung in Analogie zu § 6.2 d Ey d x2 5 d2 E y 0 0 d t2 mit Lösungsansatz für stehende Welle Ey Ey e 0 S x sin http://www.skriptweb.de t 6.6 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Metallen, Skineffekt Seite 57/57 1 w c c c Für negatives ¡ erhalten wir reellen Eindringkoeffizienten 1 ¢b£¤ c ¥b¦ §m¨ª©« 2 ¬®­ ¯±° Eindringtiefe 1 ²´³sµ ¶ , in Metallen ca. 4 · 10¸ cm ¹ 50 nm º entspricht einer Reflexion c) »¼5» Durchlässigkeit von Metallen bei hohen Frequenzen Jetzt ½¿¾ 0 , Wellengleichung führt zu ausbreitender Welle, Metalle werden bei hohen Frequenzen Einsetzen: 2 2 2 2 2 p 2 2 p 2 p 2 1 2 p 2 p p 6 p p wieder transparent! Bei Alkalimetallen bereits im ultravioletten Spektralbereich. Zusammenfassung: 1 0 1 0 1 1 0 0 Ê Ã Â 1 Å 2 À 4 Á a p ) 6 c b 8 ) ) ÆÈÇ É H 1 02 1 06 1 01 6.7 Strahlung eines oszillierenden Dipols http://www.skriptweb.de Ä 1 0 1 01 4 1 01 8 z p
