Prof. Dr. F. Marohn ¨Ubungen zur Statistik für Studierende der

Prof. Dr. F. Marohn
Übungen zur Statistik für Studierende der Sozialwissenschaften
Wintersemester 2010/2011
Blatt 7
Aufgabe 1. 15 Versuchspersonen (Vpn) unterzogen sich vor und nach einem
Lehrkurs einem bestimmten Test. Es ergaben sich folgende Punktzahlen
Vp
Nr. i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Punktzahl vorher Punktzahl nachher
x1i
x2i
40
48
60
55
30
44
55
59
55
70
35
36
30
44
35
28
40
39
35
50
50
64
25
22
10
19
40
53
55
60
Es wird unterstellt, dass die Punktzahlen normalverteilt sind.
(i) Bestimmen Sie für µ1 (Mittelwert ,,vorher”) ein 0.95–Konfidenzintervall
basierend auf Stichprobe 1 (,,vorher”).
(ii) Bestimmen Sie für µ2 (Mittelwert ,,nachher”) ein 0.95–Konfidenzintervall (basierend auf Stichprobe 2 (,,nachher”).
(iii) Überschneiden sich die beiden Intervalle? Wenn ja, welche Interpretation könnte dies im Hinblick auf die Frage haben, ob sich der Lehrkurs
positiv auf das Testergebnis ausgewirkt hat?
(iv) Bestimmen Sie ein 0.95–Konfidenzintervall basierend auf den Paardifferenzen. Wie beantworten Sie jetzt die Frage, ob sich der Lehrkurs
positiv auf das Testergebnis ausgewirkt hat? Wenn Sie zu einer anderen Anwort als in (iii) kommen, woran könnte dies liegen?
1
Aufgabe 2: Nach einer Untersuchung von Miller und Bugelski (1948),
J. Psychol. 25, 437–452, ist zu erwarten, dass Personen in ihren Einstellungen gegenüber neutralen Personen negativer werden, wenn sie zwischenzeitlich frustriert werden (Sündenbockfunktion). Für 9 Versuchspersonen
(Vpn) mögen sich vor und nach einer Frustration folgende Einstellungswerte
ergeben haben:
Vp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
vorher
38
32
33
28
29
37
35
35
34
nachher
33
28
34
26
27
31
32
36
30
Zunächst soll geklärt werden, ob der Unterschied zwischen den durchschnittlichen Einstellungswerten vorher/nachher nur auf die Zufälligkeit der Stichproben zurückzuführen ist. Bestimmen Sie dazu ein 0.95–Konfidenzintervall
für µ1 −µ2 . Unterstellen Sie dabei, dass die Differenzen der Einstellungswerte
normalverteilt sind.
Aufgabe 3: Gegeben sei die Situation von Beispiel 9.3 der Vorlesung.
(i) Bestimmen Sie für µ1 ein 0.95–Konfidenzintervall.
(ii) Bestimmen Sie für µ2 ein 0.95–Konfidenzintervall.
(iii) Vergleichen Sie diese beiden Intervalle und interpretieren Sie.
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Aufgabe 4: Von zwei Siedlungen A und B möchte man wissen, ob sie sich
hinsichtlich ihres Durchschnittsalters des Haushaltsvorstandes unterscheiden.
Dazu wurden in beiden Siedlungen 10 Haushalte ausgesucht. Es ergaben sich
folgende Stichproben (Siedlung A = Stichprobe 1, Siedlung B = Stichprobe
2):
Stichprobe 1: 37, 46, 53, 50, 48, 27, 65, 39, 28, 42
Stichprobe 2: 48, 63, 62, 51, 46, 43, 39, 21, 57, 60
Man hat gute Gründe anzunehmen, dass das Alter normalverteilt ist und dass
die Populations–Varianzen gleich sind. Bestimmen Sie ein 0.90–Konfidenzintervall. Sind Unterschiede nur auf die Zufälligkeit der Stichproben zurückzuführen?
Aufgabe 5: Telefonieren Frauen mit ihrem Handy länger als Männer? Eine
Umfrage unter 200 Frauen (Stichprobe 1) und Männern (Stichprobe 2) ergab
durchschnittliche tägliche Sprechzeiten (in Minuten) von
x̄1 = 65 und x̄2 = 32
bei einer Standardabweichung von
s1 = 20 bzw. s2 = 12.
Gibt es einen Unterschied (der einer Interpretation wert ist)? Bestimmen Sie
dazu ein 0.99–Konfidenzintervall.
Aufgabe 6: Man könnte doch im Fall der Varianzhomogenität auf die folgende Idee kommen: Als Schätzung für σ 2 wird nicht die gepoolte Varianz
genommen, sondern die empirische Varianz der vereinigten Stichprobe
x11 , . . . , x1n1 , x21 , . . . , x2n2
Als Schätzung wird also vorgeschlagen
s2 =
(x11 − x̄)2 + · · · + (x1n1 − x̄)2 + (x21 − x̄)2 + · · · + (x2n2 − x̄)2
n1 + n2 − 1
Dabei bezeichnet x̄ das arithmetische Mittel der n1 + n2 Beobachtungswerte
x̄ =
x11 + · · · + x1n1 + x21 + · · · + x2n2
n1 + n2
Was halten Sie von dieser Idee? (Kurzer Antwortsatz mit Begründung genügt!)
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