13 - Institut für Theoretische Physik

Theoretische Physik III für Lehramt
Universität Heidelberg, Sommersemester 2012
Priv.–Doz. Dr. T. Weigand
Übungsblatt 13
Keine Abgabe.
Die Bearbeitung der Aufgaben wird empfohlen. Die Aufgaben werden in den Übungen
am 17.7. besprochen.
Übergangswahrscheinlichkeit
Aufgabe 1 Ein Teilchen befindet sich im Grundzustand des Potentials



falls x ≤ 0,

∞
.
V1 (x) = 
1


 mωx2 falls x > 0
2
1
Zum Zeitpunkt t = 0 wird das Potential augenblicklich zu V2 (x) = mωx2 geändert. Wie
2
groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung der Energie den Wert ~ω/2 zu erhalten?
Hinweis: Für x ≤ 0 ist jede Wellenfunktionen zum Potential V1 gleich Null. Anderseits
stimmt die Schrödingergleichung mit dem Potential V1 für x > 0 mit dem harmonischen
Oszillator überein. Insofern führt jede Lösung ψ(x) des harmonischen Potentials, welche
für x ≤ 0 stetig in null übergeführt werden kann, zu einer Lösung
φ(x) = θ(x)ψ(x)
der Schrödingergleichung mit dem Potential V1 .
Drehimpuls–Kommutatoren
Aufgabe 2 Ausgehend von der Definition
L̂i =
3
X
ijk X̂j Pˆk
j,k=1
der Bahndrehimpulsoperatoren und der bekannten Gleichung [X̂i , Pˆj ] = i~δij , beweisen
Sie, dass
3
X
[L̂i , L̂j ] = i~
ijk L̂k .
j,k=1
2
Aufgabe 3 Beweises Sie die Kommutatorrelationen
[Jˆ+ , Jˆ− ] = 2~Jˆz ,
[Jˆz , Jˆ± ] = ±~Jˆ± und
2
[Ĵ , Jˆ± ] = 0
für die entsprechenden Komponenten des Drehimpulses.
Aufgabe 4 Die Zustände {|1, −1i, |1, 0i, |1, 1i} bilden eine Basis zur Beschreibung eines
Spin–1 Teilchens. Finden Sie eine Matrixdarstellung von Jˆx , Jˆy und Jˆz , in welcher Jˆz diagonal ist und
Jˆz |1, mi = m~|1, mi .
Hinweis: Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen von Jˆ+ und Jˆ− und berechnen aus dem
Resultat die Matrixdarstellungen von Jˆx und Jˆy .
Gleichzeitige Messung der Drehimpulskomponenten
Aufgabe 5 Nehmen Sie, an eine Sping-Messung zeigt, dass sich ein Elektron im SpinZustand |1/2, 1/2i befindet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Messung von
Ŝx den Wert +~/2 zu erhalten? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Ŝz
Messung (nach der Ŝx Messung) den Wert −~/2 zu erhalten?
Aufgabe 6 Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Jˆx und Jˆy für ein
System im Zustand |j, mi (mit m wie üblich der Jˆz -Quantenzahl).
Verschränkung
Aufgabe 7 Der Zustand zweier identischer Spin–1/2 Teilchen wird im Ursprung so präpariert, dass die Teilchen in zwei verschiedene Richtungen zu zwei räumlich getrennten
Beobachtern Alice und Bob fliegen. Der Spinanteil der Wellenfunktion kann in der Basis
{| ↑↑i, | ↑↓i, | ↓↑i, | ↑↑i}
beschrieben wobei der erste Pfeil für den Spin des ersten Teilchen (↑: +~/2, ↓: −~/2) und
der zweite entsprechend für den Spin des zweiten Teilchens steht. Da die Teichen ununterscheidbar sind, sind nur Zustände sinnvoll, die unter Vertauschung der Teilchen bis
auf eine globale Phase invariant bleiben. Betrachten Sie folgende Zustände,
1 |ψi = √ | ↑↓i − | ↓↑i
2
1 |ξi = √ | ↑↑i + | ↑↓i + | ↓↑i + | ↓↓i .
2
Zeigen Sie, dass |ψi die gewünschte Symmetry besitzt. Welcher der beiden Zustände beschreibt ein verschränktes System?