newtonschen beschleunigung

Wiederholung
Kriterien einer physikalischen Messung
1. reproduzierbar
(Vergleichbarkeit von Messungen an verschiedenen Orten und Zeiten)
2. quantitativ
(zahlenmäßig in Bezug auf eine Vergleichsgröße, die Maßeinheit)
3. genau
(Angabe eines Meßfehlers)
Grundgrößen der Mechanik : Meter, Kilogramm, Sekunde (MKS)
Naturkonstanten
Lichtgeschwindigkeit :
Avogadro-Konstante:
Fehlerstatistik
c = 3 ⋅108 m / s
NA=6,022·1023/mol
Einführung in die
Experimentalphysik für Pharmazeuten
Joachim Rädler
e-mail [email protected]
Experimentelle Vorlesungsbegleitung : Christian Hundschell
Vorlesung: Montags 11.15 bis 12.45, Liebig HS
Übung : Montags 10.00 bis 11.00, Liebig HS
Klausur: am 31. Juli. 2006 von 11.15 bis 12.45
erster Montag nach Semesterende !
Web-Seite zur Vorlesung :
http://www.physik.uni-muenchen.de/kurs/PPh
MECHANIK
Bewegungslehre (Kinematik)
Gleichförmige Bewegung
Beschleunigte Bewegung
Kräfte
Geschwindigkeit
Geschwindigkeit v ist das Verhältnis des zurückgelegten Weges
∆s zur dazu benötigten Zeit, ∆t.
s[m]
s[m]
∆s
∆t
t[s]
m
∆s 10 m
=
=5
v=
s
2 s
∆t
t[s]
∆s ds
=
∆t → 0 ∆ t
dt
v = lim
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes nach der Zeit
Die Beschleunigung
Die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit nennt man
Beschleunigung.
Auch die Beschleunigung ist ein
Vektor.
v[m/s]
r
r
r
∆v dv ⎡ m ⎤
a = lim
= ⎢ 2⎥
t →0 ∆t
dt ⎣ s ⎦
dv
a=
und
dt
t[s]
d 2s
ds
⇒a=
v=
dt
dt
a
[ ]
m
s2
Die gleichförmig beschleunigte Bewegung
a( t) = a
a
[ ]
t[ s]
t
v ms
v (t ) =
∫ a ⋅ dt
0
v (t ) = a ⋅ t + v 0
v0
t[ s]
s [m
]
t
s (t ) =
∫ (a ⋅ t +
v 0 )dt
0
s0
t[ s]
s (t ) =
a
⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + s0
2
In der Natur vorkommende Geschwindigkeiten
Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) :
3 ⋅108 m / s
Schallgeschwindigkeit :
3 ⋅10 m / s
Wasserstoff bei T=300K (im Mittel) :
2 ⋅103 m / s
Elektronen in der Fernsehröhre :
1 ⋅10 m / s
Schuss aus einer Gaspistole :
2
6
?
Prinzip eines linearen Flugzeitmassenspektrometers
(time of flight) TOF Analysator
(
)
Fel
≈ 1010 − 1014 m / s 2
Beschleunigung : a =
m
Weg-Zeit Diagramm
s(t)
freier Flug
Beschleunigung
t0
t1
t2
[µs]
Quelle : Lottspeich
Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe
Ein Vektor hat einen Betrag (Länge des Pfeils) und eine Richtung.
v ⎛2⎞ m
v=⎜ ⎟
⎝ 3⎠ s
m2
m2
m
v
2
2
v = v x + v y = 9 2 + 4 2 = 13
s
s
s
y
m
vy = 3
s
v
v
vx = 2
m
s
x
Die x- und y-Komponenten erhält man
durch Projektion auf die Achsen
Gleichzeitig verlaufende Bewegungen überlagern sich
ungestört und addieren sich geometrisch
Beispiel: Bewegung eines Boots
v
v ges
v
v Fluß
v
v Fluß
v
v Boot
v
v Boot
v
v
v
v ges = v Fluß + v Boot
Der waagrechte Wurf
y
v0
a= g
h0
x
Wie weit entfernt landet der Ball ?
Welches ist der Aufschlagwinkel ?
Galileo Galilei
(1564-1642)
Winkelmessungen
b
Das Bogenmaß
b
ϕ=
r
Obwohl das Winkelmaß einheitenfrei ist,
verwendet man die “Einheit” rad
ϕ
r
Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß:
Für
360°
ϕ = 2π
(Vollkreis) gilt :
b = 2πr ⇒ ϕ =
b 2π r
=
= 2π
r
r
ϕ°
360°
z.B. 45° = 0.785 rad
y
Die Kreisbewegung
s
y = r ⋅sin ϕ
ϕ
x = r ⋅ cosϕ
v ⎜⎛ r ⋅ cos(ϕ )⎞
s=
⎝ r ⋅sin(ϕ ) ⎠
x
Während der Kreisbewegung wächst der Winkel gleichförmig mit der Zeit an.
ϕ (t) = ω ⋅t
ω : Winkelgeschwindigkeit
2π
ω = 2π f =
T
f: Frequenz, Drehzahl (Einheit: 1/s oder Hz)
T: Umlaufszeit, Periodendauer
Experimentelle Grundlage des Dynamischen Grundgesetzes
v
v
F = m⋅a
Masse [kg]
Beschleunigung[m/s2]
Newton (N) =[kg·m/s2]
Die Newtonschen Grundgesetze
1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip)
Ein Körper, der sich völlig selbst überlassen ist, verharrt im Zustand der
Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung.
2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)
Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als
F = m⋅a
[N=kg·m/s2= 1 Newton]
m : „träge Masse“
3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip)
Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern
wechselwirken, ist die Kraft F12 auf den einen Körper entgegengesetzt
gleich der Kraft F21 auf den anderen Körper.
F12 = −F21
(actio=reactio)
Schwere und träge Masse
Die Materie besitzt neben der Trägheit auch noch
die Eigenschaft der Schwere.
Aber : schwere und träge Masse sind identisch!
FGewicht = ms ⋅ g
FBeschl = mt ⋅ a
=1
ms
g=g
a=
mt
„Äquivalenzprinzip“
Fundamentaler Zusammenhang zwischen Trägheit und Gravitation
Der Mond „fällt“
wie der Apfel
Das Newtonsche Gravitationsgesetz
r
m⋅M
FG = −G
r2
G=6,673 ·10-11 Nm2/kg2
(Gravitationskonstante)
v2
m⋅M
=m
G
2
r
r
4π
T =
⋅ r3
G⋅M
2
Ansatz : FG=FP
(Gravitationskraft=Zentripetalkraft)
mit v = 2π r / T
folgt
2
Dritte Keplersche Gesetz
Newtons Physik vereinigt die Mechanik des Himmels
und die Mechanik auf der Erde
von der Wurfbahn
Fp<FG : Parabel
zur Planetenbahn
Fp=FG : Ellipse
zur Kometenbahn
Fp>FG : Hyperbel
Originalabbildung aus Newtons
"Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" (1728)
„Alle Massen ziehen sich an“
Karikatur über Newtons Lehre der Gravitation
Impulserhaltungssatz
m1
v1
m2
m2
m1
v2
Aus dem Wechselwirkungssatz (Actio=Reactio) folgt:
Die Kräfte auf Wagen 1 und Wagen2 sind zu jedem Zeitpunkt gleich groß aber
entgegengerichtet.
m1 ⋅ v1 = p1 = ∫ F1dt = − ∫ F2 dt = − p2 = −m2 ⋅ v 2
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = 0
In einem abgeschlossenen System (keine äußeren Kräfte) bleibt der
Gesamtimpuls konstant
Impuls
p = m⋅v
Definition des Impulses
als „Bewegungszustand“ (Newton)
Exakte Formulierung des 2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)
Ursache für eine Änderung des Bewegungszustands ist eine Kraft. Sie
ist definiert als die Ableitung des Impulses nach der Zeit
d
F= p
dt
Beweis :
r
r
F ⋅ dt = dp
für m=const.
F = m ⋅a
d
d
d
F = p = (m ⋅ v ) = m ⋅ v = m ⋅ a
dt
dt
dt
Kraftstoß=Impulsänderung
Der zentrale elastische Stoß
v2
v1
nachher
vorher
m1 v1 + m2 v 2 = m1 v1′ + m2 v′2
Impulserhaltungssatz
In einem abgeschlossenen System (keine äußeren Kräfte)
bleibt der Gesamtimpuls konstant
∑m ⋅v
i
i
= const
Die Raketengleichung
0 = (m − ∆m ) ⋅ ∆v R + ∆m ⋅ v Gas
Impulserhaltung
∆m ⋅ ∆v R ≈ 0
∆v R = − v Gas ⋅
ve
∆m
m
me
1
∫v dv R = − v Gas m∫ m dm
a
a
v Rakete
⎛ me ⎞
= − v Gas ln⎜⎜ ⎟⎟ + v 0
⎝ ma ⎠