Beschleunigte Bewegung in der SRT und Ehrenfest`sches Paradoxon

Beschleunigte Bewegung in der SRT
und Ehrenfest‘sches Paradoxon
Felix Martins
Seminar der theoretischen Elektrodynamik
bei Georg Wolschin
Gliederung
1.  Beschleunigte Bezugssysteme
2.  Formulierung der Mechanik
3.  Ehrenfest‘sches Paradoxon
Beschleunigte Bezugssysteme
—  Betrachtung aus Inertialsystem
(t , x(t ))
—  Zeitabhängige Lorentz-Transformation
—  Aktive/Passive LT: Beschleunigung des Teilchens /der
Umgebung

uG (t ) = Λ(β (t ))uG (0)

uU (t ) = Λ(−β (t ))uU (0)
Allgemeine Lorentz-Transformation
—  Forderung: Metrik invariant
ΛT gΛ = g
⇒ det( ΛT gΛ) = det( Λ) 2 det( g ) = det( g )
⇒ det( Λ) = ±1
: eigentlich
—  sgn( Λ0 0 ) = 1 : orthochron
—  det( Λ ) = 1
—  Ansatz: infinitesimale Transformation
Λ = 1+ ω L
Konstante Beschleunigung
—  Allgemein: u 2 = c 2
a u = ∂τ (u )u = ∂τ (u u ) − u∂τ (u ) = ∂τ (c 2 ) − u a
= −a u
⇒a⊥u
a = g e1
a2 = g 2
0 = a u = a 0u 0 − a1u1
—  ⇒ a 0 = ∂τ u 0 = g u1
a1 = ∂τ u1 = g u 0
Hyperbolische Bewegung
x 0 = ( g −1 + ξ 1' ) sinh( g −1ξ 0' )
x1 = ( g −1 + ξ 1' ) cosh( g −1ξ 0' )
x 2 = ξ 2'
x 3 = ξ 3'
Formulierung der Mechanik
—  Betrachtung in beliebigem Koordinatensystem x = (t , x(t ))
⎛ ct ⎞
x = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ x ⎠
dx ⎛ c ⎞
x =
= ⎜⎜ ⎟⎟
dt ⎝ v ⎠
—  Ausgangspunkt: relativistische Wirkung
2
S = ∫ − mc
2
v
1 − 2 − V ( x)dt
c
Formulierung der Mechanik
—  Hamiltonfunktion:
p 2 − m 2c 2
H ( x, p , N ) = N
+V
2m
p µ = −∂ µ H = −∂ µV
x = ∂ pµ H = N
µ
—  Wirkung:
S=∫
mx 2 mc 2
+
−V
2
2
dτ
pµ
m
p 2 − m 2c 2
0 = ∂N H =
2m
Das Ehrenfest‘sche Paradoxon
—  Physikalische Zeitschrift 1909:
—  „Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie“
—  Rotierender Zylinder mit Symmetrieachse als Drehachse
—  Lorentzkontraktion des Scheibenumfangs
2πR' < 2πR
—  Radius senkrecht zu Geschwindigkeit
R' = R
Die rotierende Scheibe
—  Annahme: Stabile Scheibe, d.h. kein Wölben oder Reissen
R ⊥ v ⇒ R = const .
U LS = const.
—  Kette aus Maßstäben auf dem Scheibenrand
—  LS: Maßstäbe kontrahieren à Umfang wird größer
—  RS: Umgebung kontrahiert à Umfang wird größer
—  Verwendung von Maß aus anderem System
—  U ≠ π
D
Die rotierende Scheibe
U
= γπ
D
U
⇒
D
γ=
1
2
v
1− 2
c
=
1
( wr ) 2
1− 2
c
r – abhängig
Nichteuklidische Geometrie
Die rotierende Scheibe
—  Metrik der Scheibe
t = t'
dt = dt '
r = r'
dr = dr '
ϕ = ϕ '+ω t ' dϕ = dϕ '+ω dt '
z = z'
dz = dz '
⇒ ds 2 = dt 2 − dr 2 − r 2 dϕ 2 − dz 2
= (1 − ω 2 r '2 )dt '2 −dr '2 −r '2 dϕ '2 −2r '2 ω dϕ ' dt '−dz '2
g 00 = (1 − ω 2 r '2 )
g rr = −1
⇒
gϕϕ = −r '2
g 0ϕ = −r '2 ω = gϕ 0
g zz = −1
Die rotierende Scheibe
—  Umformulierung Metrik:
= (1 −
ω 2 r '2
c2
2π
U=
∫
0
r'
)(cdt '−
r ' dϕ
2
1−
ω r'
c2
2
2
ω
r '2
2
2
c dϕ ' ) 2 − dr '2 −
d
ϕ
'
−
dz
'
ω 2 r '2
ω 2 r '2
1− 2
1− 2
c
c
=
2π r '
2
1−
ω r'
c2
2
= NLγ
Quellen
—  Georg Wolschin : Vorlesungsskript zur Elektrodynamik
—  Jackson: Klassische Elektrodynamik 11-12
—  Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation p169ff
—  Jörg Main: Vorlesungsskript zur speziellen Relativitätstheorie
—  Iring Bender: Vorlesungskript zur ART, Kapitel 6