Ex.1-3 - WWZ - Universität Basel

Einführung in die Spieltheorie
Prof. Dr. Aleksander Berentsen
Universität Basel
HS 2016
Tutorium - Kapitel 1-3
26.09.2016
Kapitel 1-3 im Überblick
Die Spieltheorie ist die mathematische Modellierung von Situationen, in welchen rationale Individuen miteinander interagieren. Durch diese Interaktion ist
die eigene Auszahlung unter anderem davon abhängig, wie sich die anderen
Individuen verhalten. Um eine optimale Handlungsalternative, gegeben seinen
Präferenzen, zu wählen, muss diese Wechselwirkung von einem Spieler richtig
antizipiert werden.
Als Gefangenendilemma, Koordinations- oder Chicken-Spiel werden Spielklassen bezeichnet, welche eine bestimmte Auszahlungs- und Anreizstruktur besitzen.
Ein Spielbaum ist die extensive Darstellung eines Spieles und setzt sich aus
(Entscheidungs-) Knoten, Handlungsalternativen und Auszahlungen zusammen.
Die Strategie eines Spielers ist ein detaillierter Plan welcher für jeden eigenen
Entscheidungsknoten die zu wählende Handlungsalternative angibt.
Mittels Rückwärtsinduktion werden, von den letzten Entscheidungsknoten ausgehend, all jene Handlungsalternativen eliminiert, die von rationalen Spielern
niemals gespielt werden.
action node
battle of the sexes
cell-by-cell inspection
coordination game
dominance solvable
enumeration
first-mover advantage
game matrix
incomplete information
mixed strategy
node
payoff
pure strategy
second-mover advantage
strategic form
strategy
zero-sum game
asymmetric information
best response
chicken
decision
dominant strategy
equilibrium
focal point
game tree
initial node
Nash equilibrium
noncooperative game
perfect information
rational behavior
sequential moves
strategic game
successive elim. of d. s.
1
backward induction
branch
cooperative game
decision node
dominated str. (d. s.)
extensive form
game
imperfect information
iterated elim. of d. s.
never a best response
normal form
prisoners’ dilemma
rollback equilibrium
simultaneous moves
strategic uncertainty
terminal node
Einführung in die Spieltheorie
Prof. Dr. Aleksander Berentsen
Universität Basel
HS 2016
Die aufgeführten Aufgaben sollten jeweils im Vorfeld der Veranstaltung bearbeitet werden. Dort werden diese ausführlich besprochen.
Aufgabe 1
Nehme an, in einem sequentiellen Spiel existieren zwei Spieler: Spieler A und
Spieler B. Spieler A kommt als erster zum Zug, Spieler B als zweiter und jeder
Spieler hat nur einen Zug.
a) Zeichne einen Spielbaum für ein Spiel in welchem Spieler A an jedem
Knoten zwei mögliche Aktionen (U oder D) und Spieler B drei mögliche
Aktionen (T, M oder B) hat. Bezeichne den Anfangsknoten mit I, die
Entscheidungsknoten mit D und die Endknoten mit X. Wie viele Knoten
existieren jeweils?
b) Zeichne einen Spielbaum, für welchen Spieler A und Spieler B jeweils drei
mögliche Aktionen (sitzen, stehen oder hochspringen) haben. Bezeichne
die Knoten wie in a). Wie viele Knoten existieren jeweils?
c) Zeichne einen Spielbaum für welchen Spieler A vier mögliche Aktionen
(Norden, Osten, Süden oder Westen) und Spieler B zwei mögliche Aktionen (bleiben oder fortgehen) besitzt. Bezeichne die Knoten wie in a). Wie
viele Knoten existieren jeweils?
Aufgabe 2
Stelle dir folgende Situation vor: Von einem Kuchen sind noch drei gleich grosse
Stücke übrig. Die beiden Brüder John und Paul möchten beide am liebsten zwei
Stücke essen. Die Mutter erlaubt John, als Erster zu wählen, ob er ein oder zwei
Stücke haben will. Er bekommt diese aber nur, wenn Paul mit der Aufteilung
einverstanden ist. Falls nicht, isst die Mutter alle drei Stücke selber und die
Brüder kriegen nichts.
a) Stelle dieses Szenario mithilfe eines Spielbaumes dar. Die Auszahlungen
entsprechen dabei der Anzahl Küchenstücke, die ein Bruder essen kann.
b) Finde das Gleichgewicht dieses Spiels mithilfe von Rückwärtsinduktion.
c) Erkläre, ob und weshalb John in diesem Spiel einen Vorteil hat.
2
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Aufgabe 3
3.1
1
L
R
2
2
r
l
r
l
1
1
(0, 2)
L
(1, 0)
R
(1, 3)
L
(0, 2)
(0, 1)
R
(2, 4)
Das Gleichgewicht mittels Rückwärtsinduktion dieses Spielbaumes lautet:
{(L, R, R), (r, l)}
{(L, L, R), (l, r)}
{(R, L, R), (l, r)}
Es kann nicht eindeutig bestimmt werden.
3.2
(0, 1)
O
1
(2, 3)
O
1
1
o
U
2
o
U
u
(4, 5)
O
2
o
U
u
(5, 4)
(3, 2)
(1, 0)
2
u
(2, 2)
Das Gleichgewicht mittels Rückwärtsinduktion dieses Spielbaumes lautet:
{(U, U, O), (o, o, u)}
{(O, O, U), (u, u, o)}
{(O, U, O), (u, o, u)}
{(U, U, O), (u, u, o)}
3
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Aufgabe 4
Schreibe für jeden Spieler alle reinen Strategien auf. Wie viele reine Strategien
stehen jedem Spieler zur Verfügung? Bestimme mittels Rückwärtsinduktion das
jeweilige Gleichgewicht.
a)
(0, 2)
t
B
N
b
(2, 1)
A
S
(1, 0)
b)
(1, 1, 1)
t
B
N
b
N
S
A
S
(2, 3, 2)
A
(0, 0, 2)
(3, 3, 3)
u
C
N
(1, 2, 4)
A
d
S
4
(0, 2, 0)